1.4《角平分线》教案

1、角平分线教案教学目标：一、知识与技能1. 证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理2. 能够证明三角形三边垂直平分线交于一点 , 并且这一点到三个顶点的距离相等 .3. 经历猜想、探索，能够作出符合条件的三角形和垂线二、过程与方法经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识三、情感、态度与价值观学会与他人合作， 并能与他人交流思维的过程和结果 培养学生积极探索证明思路的意识.教学重点：线段垂直平分线的性质定理和判定定理的推证以及应用 .教学难点：垂直平分线的性质定理在实际问题中的运用教学过程：一、导入新课提出问题：你还记得角平分线上的点

2、有什么性质吗 ?学生回忆回答：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.思考：你能证明这一结论吗 ?结合我们前面学习的定理的证明方法，你能写出这个性质的证明过程吗？ 引出本课课题：角平分线 .二、新课学习（一）证明角平分线的性质和判定定理1. 证明角平分线的性质师生共同分析，写出已知、求证和证明过程：已知： 如图，OC是/AOB的平分线，点P在 OC上，PDXOA, PEXOB, 垂足分另IJ为D, E.求证：PD = PE.证明：.一/ 1 = /2, OP=OP,/ PDO = Z PEO=90, . PDOAPEO(AAS).PD = PE(全等三角形的应边相等 )归纳：角平分线的性质定理：

3、角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.几何语言：,. OC 是/AOB 的平分线，PD OA, PEXOB, PD = PE.2.想一想：你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？学生分析，说出逆命题并判定：如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上.这个命题是假命题.角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点.思考：此命题填加什么条件可变为真命题呢？学生讨论归纳：在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上.提出问题：你能证明这个命题吗？学生分析命题，自主写出已知、求证和证明过程：已知：在/ AOB内部有一点 P,且PDXOA, PE

4、XOB,垂足分别为 D, E,且PD=PE,求证：点 P在/AOB的平分线上. 证明： PDXOA, PEXOB , ./ PDO = Z PEO=90 .在 RtAODP 和 RtAOEP 中 RtAODP 且 RtAOEP（HL）./ 1 = Z 2（全等三角形又应角相等）.归纳：角平分线的判定定理：在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上.几何语言:.如上图，PDXOA, PEXOB,且 PD=PE,分析:分析：只需证明 PD=PF即可.点P在/ AOB的平分线上.3.例题讲解:例1.如图，在4ABC中,BAC =60 , 点 D 在 BC 上,DF AC, 垂足分别

5、为巳 F, 且师生共同分析，写出证明过程:分析：运用角平分线的判定和直角三角形的性质求解解： DEXAB,DF XAC,垂足分别为E, F, 且DE =AD=10, DEXAB,DE = DF, 求DE的长.AD 平分/ BAC（在一个角的内部，到角的两边 距离相等的点在这个角的平分线上）又. / BAC=60, ./ BAD = 30 .在 RtAADE 中,/AED=90, AD=10,DE= -AD = - X 10 = 5 （在直角三角形中, 22如果一个锐角等于 30 ,那么它所对的直角边等于斜边的一半）（二）证明三角形角平分线的性质:例2.求证：三角形的三条角平分线相交于一点,并且

6、这一点到三条边的距离相等.学生分析题意，写出已知求证:已知:如图， 在 ABC中,角平分线BM与角平分线CN相交于点P,过点P分另作AB,BC, AC的垂线， 垂足分别是 D, E,F.求证:/ A的平分线经过点P,且 PD=PE=PF.夕E学生自主完成证明过程:证明：BM是4ABC的角平分线，点 P在BM上,PD=PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）同理，PE=PF.PD=PE=PF.点P在/ A的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平 分线上），即/ A的平分线经过点P.归纳：三角形角平分线的性质定理:三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离

7、相等.M3几何语言: BM ,CN,AH 分别是 ABC 的如图，在MBC中,三条角平分线，且PDLAB,PEBC,PFAC,BM ,CN ,AH 相交于一点 P,且 PD = PE=PF例3.如图，在 4ABC 中，AC=BC, /C= 90AD是4ABC的角平分线，DELAB,垂足为E.（1） 已知CD=4cm,求 AC 的长;（2） 求证:AB=AC+CD.师生共同分析：（1）运用角平分线的性 质和勾股定理.(2)证明 ADC叁 ADE即可.学生自主完成证明过程:（1） 解：.力口是4ABC的角平分线，DCAC, DE XAB,垂足为 巳DE=CD=4cm （角平分线上的点到这个角的两边

8、的距离相等）AC=BC,/B=/BAC （等边对等角）. ZC= 90,B=1/2 90 = 45 ./BDE =90 - 45 = 45 .BE = DE （等角对等边）.在等腰直角三角形 BDE中，BD = J2DE 2 = 4 72 cm （勾股定理） .AC = BC = CD + BD = （ 4 + 4 72 ） cm.（2）证明：由（1）的求解过程易知，RtAACDRtAAED （HL）.AC=AE （全等三角形的对应边相等） BE=DE=CD,AB=AE+BE=AC+CD.三、课堂练习1 .下列作法中，不能得到/ ABC的平分线的是（）A.在/ABC的边AB, BC上各取一段

9、BE=BF,连接EF的中点D和顶点B8 .在/ ABC内找一点D,满足点D到BC的距离等于BDC.在/ ABC 内找一点 D,使/ABD = /CBDD.在/ ABC内找一点D,使D到BC,BA的距离相等9 .在 RtABC 中，/C=90,若 BC=10,AD 平分/ BAC 交 BC 于点 D,且 BD:CD = 3:2 则点D到线段AB的距离为 .10 如图，已知： ADLOB 于 D, BCLOA 于 C, AD, BC 相交于 E,且 EA=EB.求证：EO为/ AOB的平分线.11 已知：如图,AABC的外角/ CBD和/ BCE的角平分线相交于点 F.求证：点F在/ DAE的平分线上.拓展：12 如图：直线11、12、13表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可