现代数学物理方法三

1、2021/8/21第三章第三章 曲线坐标曲线坐标 3.1. 局部标架局部标架3.2. 曲线坐标中的张量曲线坐标中的张量3.3. 平行移动与联络平行移动与联络3.4. 协变导数协变导数2021/8/22 平直空间平直空间 仿射空间仿射空间 真欧氏空间真欧氏空间 伪欧氏空间伪欧氏空间 平直空间的坐标系平直空间的坐标系 仿射坐标系仿射坐标系 曲线坐标系曲线坐标系 弯曲空间弯曲空间 弯曲空间的坐标系弯曲空间的坐标系 曲线坐标系曲线坐标系2021/8/233.1.3.1.局部标架局部标架曲线坐标曲线坐标局部标架局部标架拉梅系数拉梅系数体积元体积元梯度梯度 散度散度 旋度旋度2021/8/243.1.1.

2、3.1.1.曲线坐标曲线坐标(1)(1) 点的坐标点的坐标 三维欧氏空间三维欧氏空间直角坐标系直角坐标系;点点M坐标分坐标分量量 (X1, X2, X3) 曲线坐标曲线坐标 (X1, X2, X3) xi = xi (X1, X2, X3)(i = 1, 2, 3) (x1, x2, x3) Xi = Xi (x1, x2, x3) 2021/8/253.1.1.3.1.1.曲线坐标曲线坐标(2)(2) 例例: :球坐标球坐标 (X1, X2, X3) xi = xi (X1, X2, X3)当当22211233arccos, 0222221230,0132arccos32 ,0223212x

3、XXXXxxXXXXxXxxXXXpppp=+=+=+,123xrxxqj2021/8/263.1.1.3.1.1.曲线坐标曲线坐标(3)(3) 例例: :球坐标球坐标 (x1, x2, x3) Xi = Xi (x1, x2, x3) ,123xrxxqjpp=sincos1123sinsin2123cos3120,0,02123XxxxXxxxXxxxxx2021/8/273.1.1.3.1.1.曲线坐标曲线坐标(4)(4) 例例: :柱坐标柱坐标 (X1, X2, X3) xi = xi (X1, X2, X3)当当2211200122arccos22022221233xXXXxXxxX

4、XXxXppp=+=+=123,xxxzrj2021/8/283.1.1.3.1.1.曲线坐标曲线坐标(5)(5) 例例: :柱坐标柱坐标 (x1, x2, x3) Xi = Xi (x1, x2, x3) 11221233123cossi n0,02 ,XxxXxxXxxxxp=- 123,xxxzrj2021/8/293.1.1.3.1.1.曲线坐标曲线坐标(6)(6) 几个几个公式公式(1)(1) 证明证明 Xi = Xi (x1, x2, x3) 对对 Xj 求导求导; xi = xi (X1, X2, X3)31iijjXxxXaaad=抖=抖31,iiiijjjjXxXXxXXXa

5、aad=抖抖=抖抖2021/8/2103.1.1.3.1.1.曲线坐标曲线坐标(7)(7) 几个几个公式公式(2)(2) 证明证明 x = x (X1, X2, X3) 对对 x 求导求导; Xi = Xi (x1, x2, x3) 31,iiixxXxxXxxaaaabbbbd=抖抖=抖抖31iiixXXxaabbd=抖=抖2021/8/2113.1.2.3.1.2.局部标架（局部标架（1 1）直角坐标系的直角坐标系的坐标线坐标线相互垂直的直线相互垂直的直线(x轴轴)直角坐标系的直角坐标系的坐标面坐标面相互垂直的平面相互垂直的平面(yz平面平面)2021/8/212等面1X面增加1X1ev2

6、ev3ev3.1.2.3.1.2.局部标架（局部标架（2 2） 直角坐标系的直角坐标系的基矢基矢沿坐标线沿坐标线Xi, ,在在Xi增加方向上的单位矢量增加方向上的单位矢量垂直于等垂直于等Xi面的单位矢量面的单位矢量大小大小, ,方向都不变的常矢量方向都不变的常矢量 满足正交单位条件满足正交单位条件(1,2,3)iei=vijijeed =u v u v2021/8/2133.1.2.3.1.2.局部标架（局部标架（3 3） 曲线坐标曲线坐标(x1, x2, x3), 点的径点的径矢矢 坐标线坐标线 x 点点M , ,令一个令一个x 改变改变, ,其余两其余两个个 x ( ( ) )保持不变保持

7、不变, ,得到的点集合得到的点集合( (过过 线线) ) 坐标面坐标面( (等等x 面面) ) 点点M , ,固定固定x ,而让两个而让两个x ( ( ) )变变, ,得到的点集合得到的点集合( (过过 面面 ) )123( , ,)XX x x x=uvuv123(,)XXXX=uvXuvXuv123( , ,)XX x x x=uvuv123( , ,)XX x x x=uvuv2021/8/2143.1.2.3.1.2.局部标架（局部标架（4 4） 曲线坐标曲线坐标坐标线坐标线, ,坐标面一般都是曲线和曲坐标面一般都是曲线和曲面面. . 局部标架局部标架 点点M 过点过点M的的三条坐标线

8、三条坐标线过点过点M和坐标线和坐标线x 相切相切并并指向指向x 增加方向增加方向的的单位单位矢量矢量, ,用用 表示表示. .三个三个 形成一组形成一组坐标基矢坐标基矢, ,它们在空间它们在空间不同点有不同的方向不同点有不同的方向, ,称由它们组成的称由它们组成的坐标系坐标系为为局部标架局部标架.123( , , )XX x x x=uvuveau u v(1,2,3)eaa=u u v2021/8/2153.1.2.3.1.2.局部标架（局部标架（5 5） 正交曲线坐标正交曲线坐标任何点任何点M, ,局部标架基矢局部标架基矢 都互相正交都互相正交 例：例：()e Mav()()e Me Ma

9、babd=u u vu u v柱坐标柱坐标球坐标球坐标1X3Xerejze2XM2Xeqejre1X3XM2021/8/2163.1.3.3.1.3.拉梅系数拉梅系数(1)(1) 令一个令一个x 增加增加, ,其余两个其余两个 x ( ( ) )保持不变保持不变, ,得到得到坐标线坐标线 x 矢量矢量 或或 沿沿坐标线坐标线x 的切线的切线, ,指向指向x 增加的方向增加的方向; ; 据据 的定义的定义31231( , ,)XXX x x xdXdxxaaa=uvuvuvuvXdXdxxaa=uvuvdXuvXxauveau u v231()iiXXHxxaaa=抖uvXexHaaa=uvu

10、u v拉梅系数拉梅系数2021/8/2173.1.3.3.1.3.拉梅系数拉梅系数(2)(2) x = x (X1, X2, X3) x 为为标量场标量场 x 的梯度是指向等的梯度是指向等x 面的正法线方向的矢量面的正法线方向的矢量 正交曲线坐标正交曲线坐标等等x 面的法线方向就是坐标面的法线方向就是坐标线线x 的切线方向的切线方向xgradxXh eaaaa=u u vuvHXexaaa=uvu u vxXH hxXbababad=uvuv31iiixXxXbabad=抖1H haaab=1hHaa=2021/8/2183.1.3.3.1.3.拉梅系数拉梅系数(3)(3) 例例: 求求球坐标

11、的球坐标的拉梅系数拉梅系数231()iiXXHxxaaa=抖uv=sincos1123sinsin2123cos312XxxxXxxxXxx1,si nrHHrHrqjq=2021/8/2193.1.4.3.1.4.体积元体积元(1)(1) 体积元体积元(1)(1)正交曲线坐标正交曲线坐标， ( ( 1,2,3)1,2,3) 相互垂直相互垂直, ,因而因而dX ( ( =1,2,3) =1,2,3)形成一个形成一个长方体的三个边长方体的三个边. .这个这个长方体的体积长方体的体积 是曲线坐标中的是曲线坐标中的体积元体积元()dXH dxaaa=v3312311( , ,)XX x x xdXe

12、XdxdxxHaaaaaaa=邋uvuvuvu u vuvave331.1()ddXH dxaaaaat=照v2021/8/2203.1.4.3.1.4.体积元体积元(2)(2) 体积元体积元(2)(2) 例例: :球坐标球坐标 3.1dH dxaaat=1,si nrHHrHrqjq=tqq j=2sindrdrd d2021/8/2213.1.5.3.1.5.梯度梯度 散度散度 旋度旋度(1)(1) 标量场的梯度标量场的梯度 矢量场的散度矢量场的散度3311grad1eeHxXaaaaaaajjj=骣 抖=邋桫vvuv()dXH dxaaa=v( )Xjuv123231312123123(

13、di)()(v)1( )a H Ha H Ha H Ha XH H Hxxx骣抖=+抖桫vv( )a Xuvv2021/8/2223.1.5.3.1.5.梯度梯度 散度散度 旋度旋度(2)(2) 矢量场的矢量场的旋旋度度 拉普拉斯算子拉普拉斯算子( )a Xuvv()31roteaa HH Hxaabgggabgbgbe=轾犏=犏犏臌vvdi vgradV2331123111222123331HHHHH HHxHxxHxH HxHx骣骣抖抖鼢珑鼢=+珑鼢珑鼢珑抖抖桫桫骣抖+抖桫V2021/8/2233.2.3.2.曲线坐标中的张量曲线坐标中的张量 n 维曲线坐标维曲线坐标 坐标变换坐标变换 张

14、量的定义和运算张量的定义和运算 度规张量度规张量 弧长与体积弧长与体积2021/8/2243.2.13.2.1. .n 维曲线坐标维曲线坐标(1)(1) 点的坐标点的坐标 n维维欧氏空间欧氏空间 n维维直角坐标系直角坐标系;点点M坐标分量坐标分量 (X1, X2, , Xn) n维曲线坐标维曲线坐标 (X1, X2, , Xn) x = x (X1, X2, , Xn) ( = 1, 2, , n) (x1, x2, , x ) Xi = Xi (x1, x2, , x ) (i = 1, 2, , n) 点的径点的径矢矢: ,: ,n维坐标线维坐标线 n维坐标面维坐标面, 局部标架局部标架,

15、 ,拉梅系数拉梅系数, 体积元体积元12(,)nXXXX=uvL2021/8/2253.2.13.2.1. .n 维曲线坐标维曲线坐标(2)(2) 沿沿坐标线坐标线x 的切线的切线, ,指向指向x 增加的方增加的方向向. .局部标架中局部标架中, ,x 坐标基矢坐标基矢 一般一般n维空间维空间无点积无点积 x 坐标基矢坐标基矢无无正交正交性性和和单位长度性单位长度性, 协变协变和和逆变不等同逆变不等同121( ,)nnXXX x xxdXdxxaaa=uvuvuvuvLXxauvXxxaa=uvv2021/8/2263.2.2.3.2.2.坐标变换坐标变换(1)(1) 12121212(,)(

16、,),(1,2,)( , ,),(1,2,)(,)nnnnXXXXxxXXXnxxx xxnxxxxxaaaaaaaa=uvLLLLLLxa是另一个是另一个曲线坐标曲线坐标, ,即即12121212(,)(,)(,)(,)nnnnXXXXxxXXXxxxXX xxx 新曲线坐标系新曲线坐标系2021/8/2273.2.2.3.2.2.坐标变换坐标变换(2)(2) 局部标架基矢的变换局部标架基矢的变换12( , ,)nXX x xxXxxaa=uvuvvvuL12(,)nXX xxxXxx 1212( , ,),(,)nnxxx xxxxxxxaaaa=LL11nnxXXxxxxxxx11nnx

17、XXxxxxxxx 1niiiiieA e比较比较: 仿射系仿射系xxaa:线性线性iixAx2021/8/2283.2.3.3.2.3.张量的定义和运算张量的定义和运算(1)(1) 点点M的的 阶协变阶协变, 阶逆变阶逆变张量张量 中中, 点点M1nxxxxxxxaaaaaaaa=vvv()xx11,()aM1111111111,xxxxaaxxxx11,()aM比较比较: 仿射系仿射系(),()ijijxxAAMMxx2021/8/2293.2.3.3.2.3.张量的定义和运算张量的定义和运算(2)(2) 张量运算张量运算 代数运算代数运算 加法加法, 乘法乘法, 缩并缩并 仿照仿照仿射系

18、仿射系定义定义 微分运算微分运算协变导数协变导数, ,梯度梯度, ,散度散度, ,旋度旋度 下两节讨论下两节讨论2021/8/2303.2.4.3.2.4.度规张量度规张量(1)(1) 矢量矢量 和和 , ,局部标架基矢局部标架基矢 矢量的矢量的基矢基矢展开展开 矢量矢量点积点积 度规张量度规张量 点积公式点积公式abxav,xabaxb,()a bxa bxXXgxxxx,aagbgb 是二阶协变张量是二阶协变张量非欧氏欧氏2021/8/2313.2.4.3.2.4.度规张量度规张量(2)(2) 二阶逆变度规张量二阶逆变度规张量 证明证明iiixxgXXgg1niiiXXXXgxxxxxx,

19、 ,1,11ijiiiniji jnnjiiji jXxxXXxxXxggxXXxxXX 是二阶逆变张量是二阶逆变张量g31iijjXxxXaaad=抖=抖31iiixXXxaabbd=抖=抖2021/8/2323.2.4.3.2.4.度规张量度规张量(3)(3) 是是 的函数的函数, ,即即二阶张量场二阶张量场. .曲线坐标中曲线坐标中, ,一般一般不对角不对角 正交曲线坐标中正交曲线坐标中, , 对角对角证明证明gX,ggXH exaaa=vv2()XXxxH HgHeexxH H22(1/)()iiixxxxh heeXXXXghHxh eXaaa=vuv2021/8/2333.2.4.

20、3.2.4.度规张量度规张量(4)(4) 平直的仿射坐标系平直的仿射坐标系 是是常矢量常矢量 常张量常张量 欧氏欧氏空间空间, 斜交斜交坐标系，坐标系， 不是对角的，不是对角的， 坐标变换坐标变换 坐标基矢为单位矢量的坐标基矢为单位矢量的直角坐标系直角坐标系, 使使 对角对角, 且其且其对角元对角元为为()xXxe xxgee1niiiXx egg12021/8/2343.2.5.3.2.5.弧长与体积弧长与体积(1)(1) 1211( , ,)()nnnXXX x xxdXddxxxxaaaaaa=邋uvuvuvuvvLdXdXdXgdx dx 弧长弧长的微分的微分( (一级近似一级近似)

21、)2()dsgdx dx 区域区域D的体积的体积(1)(1) 直角坐标系直角坐标系12nDDVdX dXdX12(,),(1,2,)nXxxXXXnaaa=vLL直角坐标系变换到直角坐标系变换到曲线坐标系曲线坐标系2021/8/2353.2.5.3.2.5.弧长与体积弧长与体积(2)(2) 区域区域D的体积的体积(2)(2) 曲线坐标系曲线坐标系12nDDVJdx dxdx证明证明?detiXJx J的表达式的表达式(1)(1)1niiiXXXXgxxxxxx,detdetdetiiiiiiiXXXBxBCCxx2021/8/2363.2.5.3.2.5.弧长与体积弧长与体积(3)(3) 区域

22、区域D的体积的体积(3)(3) J的表达式的表达式(2)(2)22det ()()detdet(det)iiiiigBCBCXJxdetggJg12nDDVgdx dxdx2021/8/2373.3.3.3.平行移动与联络平行移动与联络 矢量平行移动与分量矢量平行移动与分量 矢量平行移动矢量平行移动 联络的变换规律联络的变换规律 克利斯托菲符号克利斯托菲符号2021/8/2383.3.1.3.3.1.矢量平行移动与分量矢量平行移动与分量(1)(1) 点点M, 给定给定矢量矢量,平行移动平行移动 仿射仿射坐标系坐标系 基矢是常矢量基矢是常矢量,与空间点无关与空间点无关 矢量分量不变矢量分量不变

23、曲线曲线坐标系坐标系 基矢是变矢量基矢是变矢量,与空间点有关与空间点有关 矢量分量变矢量分量变2021/8/2393.3.2.3.3.2.矢量平行移动矢量平行移动(1)(1) 矢量分量平行移动矢量分量平行移动公式公式(1)(1) 点点M处矢量处矢量 , 点点M处局部标架处局部标架 平行移动平行移动 平行移动平行移动: (1)(1) a()()XxMMx()()(XaxMaMxaMMa1211(,)(,)nnnM Xx xxN X xdxxdx0da 2()0dada xadxXxx2Xxxx, 联络联络2021/8/2403.3.2.3.3.2.矢量平行移动矢量平行移动(2)(2) 矢量分量平

24、行移动公式矢量分量平行移动公式(2)(2) 平行移动平行移动: (2)(2) 联络联络0da ()()xdxdaax daa dx 矢量分量平行移动公式矢量分量平行移动公式2Xxxx 对称性对称性仿射坐标系仿射坐标系00Xeaxd常矢量常矢量2021/8/2413.3.3.3.3.3.联络的变换规律联络的变换规律(1)(1) 联络变换公式联络变换公式(1)(1) 坐标系变换坐标系变换 联络变换联络变换(1)(1)12( , ,)nXX x xxXxxaa=uvuvvvuL12(,)nXX xxxXxx 1212( , ,),(,)nnxxx xxxxxxxaaaa=LL2Xxxx 2021/8

25、/2423.3.3.3.3.3.联络的变换规律联络的变换规律(2)(2) 联络变换联络变换公式公式(2)(2) 联络联络变换变换(2)(2)XXxxxxxxx222XxxxxxxxXxxxxx2xxxxxxxxx ,2021/8/2433.3.3.3.3.3.联络的变换规律联络的变换规律(3)(3) 联络变换联络变换公式公式(3)(3) 联络联络变换变换(3)(3) 联络不是张量联络不是张量由于联络变换由于联络变换公式的第一项公式的第一项22xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 2xxxxxxxxxxx 2021/8/2443.3.4. 3.3.4. 克利斯托菲符号克利斯托菲符号(1)(

26、1) 引入度规张量引入度规张量 度规张量与联络的关系度规张量与联络的关系(1)(1)XXgxxxx欧氏空间欧氏空间22,XXXXxxxxxxxxxx,xgxg 2,XXxxx gg2021/8/2453.3.4. 3.3.4. 克利斯托菲符号克利斯托菲符号(2)(2) 度规张量与联络的关系度规张量与联络的关系(2)(2)22xgXXXXXXgxxxxxxxx2,XXxxx ,gx ,gx ,gx +- -,1()2gggxxx 第一类克利斯托菲符号第一类克利斯托菲符号2021/8/2463.3.4. 3.3.4. 克利斯托菲符号克利斯托菲符号(3)(3) 度规张量与联络的关系度规张量与联络的关

27、系(3)(3),1()2gggxxx ,g1()2ggggxxx第二类克利斯托菲符号第二类克利斯托菲符号 正交曲线坐标正交曲线坐标2gH2(1/)gH222,1()2HHHxxx 22221 1()2HHHHxxx2021/8/2473.4. 3.4. 协变导数协变导数 一阶协变张量场的协变导数一阶协变张量场的协变导数 一阶逆变张量场的协变导数一阶逆变张量场的协变导数 高阶张量场的协变导数高阶张量场的协变导数 里契引理里契引理 协变微分协变微分 矢量场的散度和旋度矢量场的散度和旋度2021/8/2483.4.1.3.4.1.一阶协变张量场的协变导数一阶协变张量场的协变导数(1)(1) 张量场张

28、量场 点点 的变化的变化由由局部标架基矢变化局部标架基矢变化引起引起 的变化由的变化由张量本身张量本身变化变化引起引起 张量张量 代数运算代数运算 ( (加加, ,乘乘, ,缩并缩并) ) 张量场张量场 微分运算微分运算 ( (协变导数协变导数, ,梯度梯度, ,散度散度, ,旋旋度度) )112211(,)(,(,)i ini iiniM X xxMaaxx 1 2()i iiaM1 2()i iiaM1211(,)(,)nnnM Xx xxN X xdxxdx2021/8/2493.4.1.3.4.1.一阶协变张量场的协变导数一阶协变张量场的协变导数(2)(2) 直角坐标系直角坐标系 一阶

29、张量场的导数一阶张量场的导数二二阶张量场阶张量场 曲线坐标系曲线坐标系 一阶一阶张量场张量场的的导数导数 二二阶阶张量场张量场 引入引入协变导数协变导数 一阶张量场的一阶张量场的协变导数协变导数二二阶阶张量场张量场2021/8/2503.4.1.3.4.1.一阶协变张量场的协变导数一阶协变张量场的协变导数(3)(3) 坐标系变换坐标系变换 局部标架基矢局部标架基矢变换变换 一阶协变张量场一阶协变张量场 变换变换 一阶协变张量场的导数一阶协变张量场的导数变换变换1212( , ,),(,)nnxxx xxxxxxxaaaa=LL()aMxaaax1nxxxxx22()axxxaxaaxxxxxx

30、xaxxxx二阶张量二阶张量2021/8/2513.4.1.3.4.1.一阶协变张量场的协变导数一阶协变张量场的协变导数(4)(4) 联络变换联络变换2 xxxxxxxxxxx 2 22xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 2 xxxxxxxxx 2021/8/2523.4.1.3.4.1.一阶协变张量场的协变导数一阶协变张量场的协变导数(5)(5) 一阶协变张量场的导数一阶协变张量场的导数变换变换2aaxxxaxxxxxx2aaxxxaxxxxxx2 xxxxxxxxx aaxxxxaxxxxxaxxx xaax2021/8/2533.4.1.3.4.1.一

31、阶协变张量场的协变导数一阶协变张量场的协变导数(6)(6) 一阶协变张量场的协变导数一阶协变张量场的协变导数 ()xxxxaaaaxx协变张量场协变张量场 的协变导数的协变导数a服从二阶协变张量的变换规律服从二阶协变张量的变换规律()()aaxxaaa()xx 求导运算求导运算( (一阶协变张量场一阶协变张量场) ) 协变运算协变运算()xx 2021/8/2543.4.2.3.4.2.一阶逆变张量场的协变导数一阶逆变张量场的协变导数(1)(1) 标量场标量场 的导数是一阶协变张量场的导数是一阶协变张量场证明证明: : 一阶逆变张量场的协变导数一阶逆变张量场的协变导数(1)(1)逆变张量场逆变

32、张量场 , ,协变张量场协变张量场缩并缩并标量场标量场: : 求导求导( )ix()( )(aaiiaiiaxxxxxxxxxxxx()aM()b M()()()MaM b Mbaabxxx2021/8/2553.4.2.3.4.2.一阶逆变张量场的协变导数一阶逆变张量场的协变导数(2)(2) 一阶逆变张量场的协变导数一阶逆变张量场的协变导数(2)(2)0abbaabba baabxxx()()baxxbaxab张量场张量场一阶协变一阶逆变张量一阶协变一阶逆变张量 一阶逆变张量场的协变导数一阶逆变张量场的协变导数2021/8/2563.4.2.3.4.2.一阶逆变张量场的协变导数一阶逆变张量场

33、的协变导数(3)(3) 一阶逆变张量场的协变导数一阶逆变张量场的协变导数(3)(3)()()aaaxaax()xx 求导运算求导运算( (一阶逆变张量场一阶逆变张量场) ) 协变运算协变运算2021/8/2573.4.3.3.4.3.高阶张量场的协变导数高阶张量场的协变导数(1)(1) 协变导数协变导数的运算的运算任意高阶张量场任意高阶张量场 类推类推 例：例：一阶协变一阶逆变张量场一阶协变一阶逆变张量场 axaaa协变协变逆变逆变2021/8/2583.4.4.3.4.4.里契引理里契引理(1)(1) 引入度规张量引入度规张量 里契引理里契引理证明证明(1)(1)XXgxxxx欧氏空间欧氏空

34、间0gggggx二阶协变张量二阶协变张量1()2ggggxxx第二类克利斯托菲符号第二类克利斯托菲符号2021/8/2593.4.4.3.4.4.里契引理里契引理(1)(1) 里契引理里契引理证明证明(2)(2)11()()22gggggggggggxxxxxxgx gg11()()22ggggggggxxxxxxx 11()() 022ggggggggxxxxxxx2021/8/2603.4.5.3.4.5.协变微分协变微分(1)(1) 导数导数( (全全) )微分微分 协变导数协变导数协变微分协变微分协变张量场协变张量场 的的协变微分协变微分逆变张量场逆变张量场 的的逆变微分逆变微分,ddaaxdxxaxada()aadxdxaxxDaada()adxdxaxxDada2021/8/2613.4.5.3.4.5.协变微分协变微分(2)(2) 协变微分与全微分的关系协变微分与全微分的关系 矢量平行移动的条件矢量平行移动的条件 协变微