9.6多元函数微分学的几何应用

1、1小结小结 思考题思考题 作业作业空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线第六节第六节 微分法在几何上的微分法在几何上的应用应用一元向量值函数及其导数一元向量值函数及其导数2一、一元向量值函数及导数一、一元向量值函数及导数 )()()(tztytx 空间曲线空间曲线 的参数方程的参数方程 ,t 若写成向量的形式，记若写成向量的形式，记rkzj yi x 或或)(tfktjtit)()()( 则方程则方程(1)就成为就成为向量方程向量方程(1) r)(tf ,t 3确定一个从确定一个从, R3的映射，称为一元向量的映射，称为一元向量值函数。值函数。向量方程

2、向量方程 r),(tf ,t 数集数集D称为该函数称为该函数定义定义则称映射则称映射为为一元向量值函数一元向量值函数,设数集设数集D通常记为通常记为称称 t 为为 自变量自变量, ,为为因变量因变量。定义域定义域, ,R nRDf: r),(tfDt r4 )(tf在在R R3 3中，若向量值函数中，若向量值函数,)()()(321ktfjtfitf Dt Dttf ),( 的三个分的三个分向量函数分别为向量函数分别为),(),(),(321tftftfDt 则可记为则可记为或或 )(tf),(),(),(321tftftfDt 5向量值函数的图象向量值函数的图象Mxyzo rOM)(tr,当

3、当t t改变时，改变时，r终点终点MM的轨迹的轨迹称为向量值函数称为向量值函数 r),(tfDt 的的终端曲线或图象终端曲线或图象。反过来，反过来， )(tf),(),(),(321tftftfDt r称为曲线称为曲线 的的向量方程向量方程。跟着改变，跟着改变，6向量值函数的极限向量值函数的极限设向量值函数设向量值函数 的某一去心的某一去心在点在点0)(ttf邻域内邻域内有定义，有定义，),(0常常向向量量如如果果 r , 0 对对,00时时使当使当 tt 0)(rtf, 0 恒有恒有,)(00rtftt有有极极限限时时函函数数则则称称 ,)(lim00rtftt 记作记作).()(00ttr

4、tf或或7容易证明容易证明:向量值函数向量值函数)(tf必要条件是必要条件是:三个分量函数三个分量函数当当0tt 时的时的极限存在极限存在的充分的充分)(),(),(321tftftf当当0tt 极限都存在时，极限都存在时，其极限其极限时的时的)(lim),(lim),(lim()(lim3210000tftftftftttttttt 8向量值函数的连续性向量值函数的连续性设向量值函数设向量值函数 的的某某一一在在点点0)(ttf邻域内邻域内有定义，有定义，),()(lim00tftftt 若若则称则称 连续。连续。在点在点0)(ttf若向量值函数若向量值函数 Dttf ，)(在在D D中的每

5、一点都连续，中的每一点都连续， 则称则称 上的连续函数。上的连续函数。上连续或称其为上连续或称其为在在DDtf)(2)(1)9向量值函数的导数向量值函数的导数设向量值函数设向量值函数 的的某某一一在在点点0)(ttf邻域内邻域内有定义，有定义，ttfttftrtt )()(limlim0000如果如果存在，存在， 0)(ttf在在点点那么就称这个极限向量为那么就称这个极限向量为 处的导数或导向量处的导数或导向量。 记作记作 0)(0ttdtrdtf 或或(1)10(2) 如果函数如果函数存在导向量存在导向量,就称函数就称函数 r),(tfDt 在在D 内的每点处都内的每点处都在开区间在开区间

6、D上可导上可导.)(tf都在都在t0可导可导, ktfjtfitftr)()()()(0302010 容易证明容易证明:向量值函数向量值函数)(tf在在t0连续连续的充分必要条件是的充分必要条件是:都在都在t0连续连续; 在在t0可导可导的充分必要条件是的充分必要条件是且其导数为且其导数为三个分量函数三个分量函数)(),(),(321tftftf三个分量函数三个分量函数)(),(),(321tftftf11向量值函数的求导法则向量值函数的求导法则设设是可导的向量值函数，是可导的向量值函数，)(),(tvtuC是常向量，是常向量，c是任一常数，是任一常数，)(t 是可导的数量函数，则是可导的数量

7、函数，则(1)0 Cdtd(2)(3)(4) )()(tuctucdtd )()()()(tvtutvtudtd )()()()()()(tuttuttutdtd 12 )()()()()()(tvtutvtutvtudtd (5)(6) )()()()()()(tvtutvtutvtudtd )()()(ttutudtd (7)13向量值函数导数的几何意义向量值函数导数的几何意义Mxyzo)(0ttf )(0tfN)(0tf OMON)(0ttf 不不是是零零向向量量设设)(0tf 的的指指向向）时时，向向量量（当当rt 00。相相反反移移动动的的走走向向一一致致增增大大时时点点与与)(Mt

8、的的增增长长方方向向一一致致的的指指向向总总与与怎怎样样但但不不论论ttrt ,故故trtft 00lim)(处的一个切向量，处的一个切向量，在点在点为曲线为曲线M的增长方向一致。的增长方向一致。且其指向总与且其指向总与t rMNtr 14向量值函数导数的物理意义向量值函数导数的物理意义设向量值函数设向量值函数 r)(tf是沿空间光滑曲线是沿空间光滑曲线运动的质点运动的质点M的位置向量，则的位置向量，则)()(tvdttrd 是质点是质点M的速度向量，的速度向量，曲线相切；曲线相切；其方向与其方向与)()(22tadttrd 是质点是质点M的加速度向量。的加速度向量。15例例1)(lim,)(

9、sin)(cos)(4tfk tjtittft 求求设设解解 )(lim4tft ktjtitttt)lim()sinlim()coslim(444 kji42222 16例例2向量。向量。处相应的点处的单位切处相应的点处的单位切在与在与求曲线求曲线的向量方程为的向量方程为设空间曲线设空间曲线2,),62 , 34 , 1()(022 tRttttttfr解解 )(tf)64 , 4 ,2( tt )2(f)2 , 4 , 4(6)2( f故所求单位切向量为故所求单位切向量为)31,32,32(0 r17设空间曲线的方程设空间曲线的方程)1()()()( tzztyytxx(1)式中的三个函数

10、均式中的三个函数均可导可导.M.),(0000tttzzyyxxM 对对应应于于;),(0000ttzyxM 对对应应于于设设M 1. 空间曲线的方程为参数方程空间曲线的方程为参数方程二、空间曲线的切线与法平面二、空间曲线的切线与法平面微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用Oxyz18考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置 xxx0t t t 上式分母同除以上式分母同除以, t MM 割线割线 的方程为的方程为MM ,000zzzyyyxxx yyy0zzz 0切线的过程切线的过程微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用Oxyz19,0,时时即即当当 tMM曲线在曲线在M处的切线方程处

11、的切线方程)()()(000000tzzztyyytxxx 切向量切向量法平面法平面0)()()(000000 zztzyytyxxtx切线的方向向量称为曲线的切向量切线的方向向量称为曲线的切向量.过过M点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面.MM 微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用Oxyz)(),(),(000tztytxT 20.0处的切线与法平面方程处的切线与法平面方程在在 t: 求曲线求曲线 ttuezttyuuex301cossin2dcos解解2, 1, 0 zyx,costext ,sincos2tty tez33 , 1)0( x, 2)0( y3)0( z切线方程切线

12、方程322110 zyx法平面方程法平面方程0)2(3)1(2 zyx0832 zyx)()()(000000tzzztyyytxxx 0)()()(000000 zztzyytyxxtx例例即即,0时时当当 t微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用21设曲线直角坐标方程为设曲线直角坐标方程为,)()(100000 xzzzxyyyxx . 0)()()(100000 zzxzyyxyxx法平面方程为法平面方程为2. 空间曲线的方程为空间曲线的方程为曲线的参数方程是曲线的参数方程是由前面得到的结果由前面得到的结果,在在M(x0, y0, z0)处处,令令)(),(xzzxyy )()(xzz

13、xyyxx切线方程为切线方程为x为参数为参数,两个柱面两个柱面的交线的交线微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用)()()(000000tzzztyyytxxx 22例例 在抛物柱面在抛物柱面 与与 的交线上的交线上, 求对应求对应 的点处的的点处的切向量切向量.x为参数为参数,于是于是 , 1 x,12xy xz24 212xz 26xy 21 x解解 22126xzxyxx所以交线上与所以交线上与21 x对应点的切向量为对应点的切向量为: T).12, 6, 1(交线的参数方程为交线的参数方程为取取微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用23设空间曲线方程为设空间曲线方程为,0),(0)

14、,( zyxGzyxF3.空间曲线的方程为空间曲线的方程为确定了隐函数确定了隐函数(此曲线方程仍可用方程组此曲线方程仍可用方程组 两边分别对两边分别对.)()( xzzxyy )()(xzzxyyxx,0)(),(,(0)(),(,( xzxyxGxzxyxF表示表示.)x求全导数求全导数:两个曲面两个曲面的交线的交线微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用24 xydd 利用利用2.结果结果, 0dddd xzGxyGGzyxzyzyGGFFxzxzGGFFzyzyGGFFyxyxGGFF)()(100000 xzzzxyyyxx 两边分别对两边分别对,0)(),(,(0)(),(,( xz

15、xyxGxzxyxFx求全导数求全导数 0dddd xzFxyFFzyx)()(100000 xzzzxyyyxx 微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用 xzdd25. 0)()()(000000 zzGGFFyyGGFFxxGGFFyxyxxzxzzyzy法平面方程为法平面方程为,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx 切线方程为切线方程为,0),(0),( zyxGzyxF在点在点 M(x0, y0, z0)处的处的微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用26解解的的在在点点求求曲曲线线)2 , 3, 1(80222222Pzyxzyx 例例 切线方程

16、和法平面方程切线方程和法平面方程.法一法一 直接用公式直接用公式;8),(222 zyxzyxF令令222),(zyxzyxG ,2xFx ,2yFy ;2zFz ,2xGx ,2yGy .2zGz 微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用27. 0)()()(000000 zzGGFFyyGGFFxxGGFFyxyxxzxzzyzy法平面方程法平面方程,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx 切线方程切线方程微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用28切线方程切线方程 1x0dd2dd22 xzzxyyx33dd0 Pxy0dd0 Pxz 法二法二 将所给方

17、程的两边对将所给方程的两边对x求导求导的的在在点点求求曲曲线线)2 , 3, 1(80222222Pzyxzyx 切线方程和法平面方程切线方程和法平面方程.法平面方程法平面方程0)2(0)3(33)1(1 zyx. 0633 yx xzzxyyxdd2dd22 3 y2 z133 0微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用29设曲线设曲线)(),(),(tzztyytxx 证证)()(txXtx 因原点因原点)0 , 0 , 0(0)()()()()()( tztztytytxtx即即0 于是于是 )()()(222tztytx证明此曲线必在以原点为证明此曲线必在以原点为的的法平面都过原点法平

18、面都过原点,在任一点在任一点中心的某球面上中心的某球面上.曲线过该点的法平面方程为曲线过该点的法平面方程为),(),(),(tztytx故有故有)()(tyYty )()(tzZtz 0 C)()()(222tztytx 微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用 在法平面上在法平面上,任取曲线上一点任取曲线上一点0)()()(000000 zztzyytyxxtx30yxzO 0),( zyxF 今在曲面今在曲面上任取一条上任取一条1. 设曲面设曲面的方程为的方程为0),( zyxF的情形的情形隐式方程隐式方程三、曲面的切平面与法线三、曲面的切平面与法线微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用

19、),(000zyxM ,),(000 zyxM 函数函数),(zyxF的偏导数在该点连续且不同的偏导数在该点连续且不同 时为零时为零. ,0tt )(),(),(000tztytx 且且点点M 对应于参数对应于参数 不全为零不全为零.过点过点M 的的曲线曲线,设其参数设其参数方程为方程为),(),(),(tzztyytxx 31微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用),(),(),(000tztytxT yxzO 0),( zyxF),(000zyxM T 由于曲线由于曲线在曲面在曲面上上, 所以所以, 0)(),(),( tztytxF 在恒等式两端对在恒等式两端对t 求全导数求全导数,

20、并令并令,0tt 则得则得 )(),(0000txzyxFx 若记向量若记向量),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 曲线曲线在点在点M处切线的方向向量记为处切线的方向向量记为 则则式可改写成式可改写成, 0 Tn即向量即向量 Tn与与垂直垂直. . 0)(),()(),(00000000 tzzyxFtyzyxFzyn32 因为曲线因为曲线是曲面是曲面上过点上过点M的的任意任意一条曲一条曲线线,所有这些曲线在点所有这些曲线在点M的切线都与同一向量的切线都与同一向量垂直垂直, 因此这些切线必共面因此这些切线必共面,称为曲面称为曲面在点在点M的的n微分法在几何上的应

21、用微分法在几何上的应用yxzO 0),( zyxF),(000zyxM n过点过点M且垂直于切且垂直于切法线法线, ,又是法线的方向向量又是法线的方向向量.向量向量n称为曲称为曲法向量法向量. .切平面切平面,由切线形成的这一由切线形成的这一平面平面,平面的直线称为曲面平面的直线称为曲面在在点点M的的面面在在点点M的的n33),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 曲面在曲面在M(x0, y0 , z0)处的法向量处的法向量:微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用切平面方程为切平面方程为0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFx

22、xzyxFzyx法线方程为法线方程为),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 所以曲面所以曲面上在点上在点M的的34解解,3),(33azxyzzyxF 令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程; 0 azx1010azayx ),0(),(aazyxFFFn )3, 0 ,3(22aa 例例处的切平面处的切平面上点上点求曲面求曲面), 0(333aaazxyz ).0( a和法线方程和法线方程,3yzFx ,3xzFy ,332zxyFz )1 , 0 , 1(. ayazx0)(1)(0)0(1 azayx切平面方程为切平面方程为0)(,()(,

23、()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法线方程为法线方程为),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 0),(: zyxF曲曲面面方方程程MzyxFFFn),(, 曲面在曲面在M处的法向量处的法向量:微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用35842232222 yzxzxyzyx在在曲曲面面上求一点的坐标上求一点的坐标,使此点处的切平面平行于使此点处的切平面平行于yOz平面平面.解解 设所求点为设所求点为),(zyx则切平面的法向量为则切平面的法向量为)32,22,(zyxzyxzyx 由题意由题意, n)32

24、,22,(zyxzyxzyx )0 , 0 , 1(由此得由此得022 zyx. 0,2 zyx所求之点所求之点:).0 , 2, 4()0 , 2 , 4( 及及 032 zyx),(2zyx n)(),22(2zyx )32(2zyx 微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用362. 曲面方程形为曲面方程形为 的情形的情形),(yxfz 曲面在曲面在M处的处的切平面方程切平面方程为为, 0)()(,()(,(0000000 zzyyyxfxxyxfyx曲面在曲面在M处的处的法线方程法线方程为为.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxF 令令,

25、xxfF . 1 zF,yyfF 或或,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx )1,( yxffn显式方程显式方程微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 37 例例过过上所有点处的切平面都上所有点处的切平面都证明曲面证明曲面xyxez .一定点一定点 证证,),(000是曲面上任一点是曲面上任一点设设zyx0000 xyexz 则法向量为则法向量为切平面方程切平面方程为为0)()()()1(000000000 zzyyexxexyxyxy),(yxfz )1,( yxffn,)1(0000 xyexy

26、n)(,00 xye1 微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用380)1()1(000000000000000 zyexexyzyexexyxyxyxyxy0 0)()()()1(000000000 zzyyexxexyxyxy, 0)1(000000 zyexexyxyxy所以这些平面都过所以这些平面都过00 0 xyxez 原点原点.过过上所有点处的切平面都上所有点处的切平面都证明曲面证明曲面xyxez .一定点一定点微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用39微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用04222 zyxyxz与与平平面面曲曲面面平行的切平面的方程是平行的切平面的方程是(

27、).542 zyx40 例例 证证, 0)().( aufczbyfaxz可可微微证证明明曲曲面面)均均为为常常数数、cb的所有的所有切平面都与一常向量切平面都与一常向量平行平行.则曲面在任一点处的则曲面在任一点处的法向量法向量:,azczbyfaxzyxF )(),(令令则则),( A nAbczbyfbcczbyfbcb )()(, 0 即即nA 所以所以,所有的切平面均与所有的切平面均与),(bcab 常向量常向量平行平行.0),(: zyxF曲曲面面方方程程MzyxFFFn),(, 曲面在曲面在M处的法向量处的法向量:1)( czbyf c n)(),(czbyfb ,ab取取, c

28、b微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用41 例例 0523zyxzyx8522222 zyx 证证85222),(22 zyxzyxF令令过直线过直线L的平面束方程为的平面束方程为523 zyx即即05)1()2()3( zyx 其其法向量法向量为为)1, 2,3( ,4xFx 2 zF,4yFy 0)( zyx 微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用求过直线求过直线L且与曲面且与曲面相切之切平面方程相切之切平面方程.42设曲面与切平面的切点为设曲面与切平面的切点为),(000zyx则则过直线过直线L的平面束方程其的平面束方程其法向量法向量为为,4xFx 2 zF,4yFy ,85222

29、),(22 zyxzyxF tyx 21424300 05)1()2()3(000 zyx 8522202020 zyx, 3, 121 tt因而因而7, 321 微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用)1, 2,3( 43过直线过直线L的平面束方程为的平面束方程为523 zyx0)( zyx 故故所求切平面方程为所求切平面方程为7, 321 523 zyx0)(3 zyx或或523 zyx0)(7 zyx即即526 zyx或或56510 zyx微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用448),(222 zyxzyxF令令)2 , 3, 1(2 )2 , 3, 1( 解解的的在在点点求求曲曲

30、线线)2 , 3, 1(80222222Pzyxzyx 切线方程和法平面方程切线方程和法平面方程.应应同时垂直于同时垂直于2222228zyxzyx 和和曲曲面面 分析分析)2,3, 1()2 ,2 ,2(zyx 1n曲线在点曲线在点 处切线向量处切线向量 s)2 , 3, 1(0P.210nnP和和的法向量的法向量在点在点微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用 例例 当空间当空间曲线方程为曲线方程为一般式时一般式时,求切向量曾求切向量曾采用了采用了推导推导法法.现采用现采用向量代数法向量代数法求切向量求切向量45 21nns)2, 3, 1()2 , 3, 1( )0, 4, 34( )0

31、 ,33, 1( 令令222),(zyxzyxG )2,3, 1()2,2,2(zyx )2, 3, 1(2 )2, 3, 1( 的的在在点点求求曲曲线线)2 , 3, 1(80222222Pzyxzyx 切线方程和法平面方程切线方程和法平面方程.)2 , 3, 1( 1n 2n微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用46)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 的的全全微微分分在在点点函函数数),(),(00yxyxfz 因为曲面在因为曲面在M处的切平面方程处的切平面方程:全微分的几何意义全微分的几何意义,),(),(00的全微分的全微分在点在点yxyxfz 表示表示处处的

32、的在在点点曲曲面面),(),(000zyxyxfz 切平面上的点的竖坐标的增量切平面上的点的竖坐标的增量.切平面切平面上点的上点的竖坐标竖坐标的增量的增量微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用47),(00yxffxx ),(00yxffyy 其中其中,1cos22yxxfff ,1cos22yxyfff .11cos22yxff 或或)1,( yxff法向量法向量 ,若若表示曲面的法向量的方向角表示曲面的法向量的方向角,并假定并假定法向量的方向是向上法向量的方向是向上的的,即使得它与即使得它与z 轴的正向所成的角轴的正向所成的角 是是锐角锐角, 则法向量的则法向量的方向余弦为方向余弦为nn微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用)1 ,(yxff 48因为因为(第三个分量为负第三个分量为负), 求旋转抛物面求旋转抛物面 在任意点在任意点P(x, y, z)处处向上向上的法向量的法向量(即与即与z轴夹角为锐角轴夹角为锐角的法向量的法向量).122 yxz解解, 1),(22 yxyxf而而Pyxff)1,( )1,2