有限维线性间的分解

1、毕业论文题目有限维线性空间的分解学院数学与统计学院姓名周吉强专业班级数学与应用数学学号20101010646指导教师邵海琴教授提交日期2014-5-28原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。本声明的法律责任由本人承担。论文作者签名：年月日论文指导教师签名：年月日目录1引言与预备知识 .12有限维线性空间的分解 .22.1按子空间的直和分解 .22.2按生成子空间分解 .32.3按特征子空间分

2、解，即按可对角化的线性变换分解.42.4按根子空间分解，即准素分解 .62.5按循环子空间分解 .72.6按线性变换的 Jordan 标准形分解 .9参考文献 . .12有限维线性空间的分解周吉强（天水师范学院，数学与统计学院, 甘肃，天水， 741000）摘要 总结了有限维线性空间按子空间、 生成子空间、特征子空间、根子空间、循环子空间以及线性变换的 Jordan 标准形等分解方法，并通过具体的例子加以说明 .关键词 线性空间 ; 直和分解；子空间；生成子空间；根子空间； 循环子空间；线性变换Decomposition of finite-dimensional linear spaceJi

3、qiang Zhou(School of Mathematics and Statistics, Tianshui Normal University, Tianshui 741000)Abstract In this paper, we summary decompositionmethods of finite dimensional Linear space by subspace, generating subspace, proper subspace, and root space, - cyclic subspace andJordan standard from of tran

4、sformation, we explain for the six decomposition methods by concrete examples.Keywords Linear space, straight and decomposition,subspace,generating subspace, root space, cyclic subspace, linear transformation有限维线性空间的分解1 引言与预备知识线性空间是线性代数中的重要知识点，线性空间也是线性代数中最为抽象的概念 . 子空间的和，尤其是直和虽然概念抽象，证明困难，但仍然有规律可循.只要掌

5、握了方法，便能得心应手.定义 1.1 1设 W1 与 W2 是有限维线性空间 V 的两个子空间，如果W1 与 W2 的和W1W212,1W1,2W2.中每个元素的分解式是惟一的，则称这个和为直和.定义 1.2 1设V 是数域 P 上的 n 维线性空间，L V,1 ,n 为 V 的一组基 . 在该基下的矩阵为A ，则有1 ,n1 ,nA设1P 是 A的特征值，令V 1V1, 则V 1 是V的子空间，且称其为的属于特征值1 的特征子空间 .定义 1.3 1设线性变换的特征多项式为f，它可以分解成一次因式的乘积fr1r2rs12s则 V 可分解成不变子空间的直和VV1V2Vs ，其中 ViA iri

6、,V 称为属于i 的根子空间 .定理 1.1 1 设 V1与 V2 是有限维线性空间 V 的两个子空间 , 那么下列命题等价(1) V V1 V2;(2) 零向量的分解式是惟一的；(3) V1 V2 0;(4)1V21dim V2.dim Vdim V定理 1.2 2复数域上有限维线性空间V 的每一个线性变换都有Jordan 标准形，并且这个Jordan 标准形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外，是被线性变换唯一决定的 .线性变换的 Jordan 标准形的求法具体如下：(1) 首先用初等变换化特征矩阵 E A 为对角形式，然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积， 则所有这些一次

7、因式的方幂 （相同的按出现的次数计算）就是(2) 每一个初等因子J1(3)n1J s的全部初等因子 .0 ni 对应一个若而当块010Ji100ni ni .n2nsn 就是 A 的 Jordan 标准形 .2 有限维线性空间的分解2.1 按子空间的直和分解在判定两个子空间 V1与 V2 的和是直和是应熟练应用直和的等价条件，其中最常用的是 dim V1V2dim V1dim V2 与 V1V20 .如果要证明线性空间V 可以分解成子空间V1与 V2 的直和时，先任取V ,证明12， 1V1,2V2,则有VV1V2;再任取V1V2,证0 ，则有V1V20 .于是VV1V2.例 2.1.13 已

8、知 P n n 的两个子空间W1A ATA, APn n ， W2A ATA, APn n证明P n nW1W2 .证明 对任意的P n n ，有AA ATA ATB C,其中BAAT, CA AT. 容易验2222证 BTB,C TC , 所以 B W1, C W2 , 即有 P n nW1W 2 .对任意的DW1W2,则DTD,DTD,所以 D0,即W1W20 ,故P n nW1 W2.2.2 按生成子空间分解定义 2.2.11设1 ,2 ,r 是线性空间 V 中的一组向量，不难看出，这组向量所有的线性组合k11k2 2kr r所成的集合是非空的 . 而且对两种运算封闭， 因而是 V 的一

9、个子空间 . 这个子空间叫做由1 , 2 ,r 生成的子空间，记为L1 ,2 ,r.例 2.2.1 2 证明：数域 P 上任意一个 n 维线性空间 V 可以表示成 n 个 1 维子空间的直和 .证明 在线性空间 V 中取一个基1,2 ,r ，则VL1 ,2 ,rL1L2Lr由于dim L1dim L2dim Lr1 11 n dim L 1 L 2L r因此 L1L 2Lr是直和，于是VL1L2L r .2.3 按特征子空间分解，即按可对角化的线性变换分解如果 V 可以写成两个非平凡子空间W1 与 W2 的直和： VW1W2 , 那么任选W1 的一个基1 , 2 ,r 和 W2 的一个基r1

10、, r 2 ,n 凑成 V 的一个基 . 当 W1 与W2 都在线性变换之下不变时，关于这样选取的矩阵是AA100，A2其中 A1 是一个 r1 阶矩阵，它是W1 关于基 1, 2, r 的矩阵， A2 是一个n r 阶矩阵，它是W2 关于基 r 1 ,r 2 , n 的矩阵 .由此可知，矩阵分解为准对角形与n 维线性空间 V分解为不变子空间的直和是相当的 .上述的讨论说明对于n 维线性空间 V的一个线性变换，如果能将 V 分解成若干个子空间的直和，则可以适当的选取V 的一个基，使在这个基下的矩阵有比较简单的形状（准对角形）.特别的如果能将 V 分解成若干个一维子空间的直和，则可以适当的选取V

11、 的一个基， 使在这个基下的矩阵是对角形. 这个命题的逆命题也是成立的. 即可以对角化的充分必要条件是V 可以分解成若干个一维子空间的直和 .例 2.3 2 设 是数域 P 上的 n 维线性空间 V 的线性变换，使得1 2, V1 4求 的特征子空间 .解 取V的一个基10010000e10, e20， e30， e4则0010112121010e1e114001e1 e3 ，140同样有e2010e2 e4 ，1e3204e3 ，42e10e4024e3 ，02e24于是在基 e1 ,e2 , e3 , e4 下的矩阵为10200102A04010104的特征多项式为 I A2 232,特征

12、值为 1 2, 23.矩阵 A的属于特征值12 的线性无关的特征向量是20021,2.1001所以线性变换的属于特征值12 的线性无关的特征向量是12e1e3 ，2 2e2 e4 ， 的属于特征值 1 2 的特征子空间是V1L1 ,2L 2e1e3 ,2e2e4，同理可求属于特征值3 的特征子空间是V2L3 ,4L e1e3 , e2e4.2.4 按根子空间分解，即准素分解定理 2.4 3（空间准素分解） 设数域 P 上线性空间 V 的线性变换的最小多项式为mp1r1 p2r2psrs ， s2 ，其中 pi为数域 P 上的首一不可约多项式，互异， ri 1i s 为正整数，则Wiker pi

13、riVpi A ri0 是 A 的不变子空间，且1VW1 W2Ws ;2AiAw i 的最小多项式为ripi.注1：上述定理中的特征多项式为fp1d1 p2d2psd s ，则 pidi 是 Ai 的特征多项式 1 is ，且 Wi ker piriker pidi=V pi A k0 其中 k 对某正整数成立 .例 2.42考虑 4 维线性空间 VR4中由矩阵A 决定的线性变换：A , 任意V 的直和分解问题 . 其中11100103A01.032012此时，线性变换的特征多项式为 fdet I A223 5 .1它在实数域 R 上只有特征值11 ，r12 . p335在 R 上不可约 .

14、由分解定理可以直接算出V1:A E20,VL1, 2,T1,2,2,0 T ；11,3,0, 2 ， 2V2: A23 A5I0,VL 3 ,4 ,3 0,0,0,1 T ,4 0,1,1, 0 T容易验证，1,2,3, 4 为V的一组基 .显然VR4为V1,V2的直和.2.5 按循环子空间分解定义 2.5.14 设是 n 维向量空间 V 的一个线性变换 . 子空间 W 叫做关于的一个循环子空间，简称循环子空间 . 如果存在一个非零向量0 和一个正整数 r ，使得10,0,r 10 构成 W 的一个基；2r.0这时 0 叫做循环子空间 W 的一个生成向量，而 0 ,0 , , r 10 叫做W

15、的一个循环基 .定理 2.5.14 设是 n 维向量空间 V 的一个幂零线性变换， 那么向量空间 V 可分解成循环子空间的直和VW1W2Ws ，令 ridim Wi ,i1,2, s ；我们有 r1r2rs .注定理 2.5.1 中循环子空间维数序列r1r2rs 是唯一确定的 .定理 2.5.24每一个幂零矩阵都与一个形如Nr10N r2N0.N rs的矩阵相似，这里每一个N ri 是一个 ri 阶幂零若尔当块， r1 r2rs .由于 n 维向量空间 V的每一个幂零线性变换，V 可以分解成一些循环子空间 W1,Ws 的直和 . 于是在每一个子空间Wi 内选取一个循环基，凑起来成为VNr10的

16、一个基，关于这个基的矩阵有形状Nr 2.0.N rs例 2.5.14 设是 n 维线性空间 V 的一个幂零线性变换， 则在基 e1 ,e2 , e3 ,e4下的矩阵为3100A100121614510求k .解 由初等变换把A 化为对角矩阵并求出它的初等因子组为12，12. 因此 的 Jordan 标准形为1100J0100001.10001因为 P 1 Ak PP 1APkJ k ，故先计算 J k . 注意到 J 是分块对角矩阵， 它的k 次方等于将各对角块 k 次方 . 因此110k1k000J k01000100，0011001k00010001110001k001000AkPJ k

17、P 121000100210046 10001k46 100111000101112k 1k004k2k1006kkk 1.k14 k5kkk 12.6 按线性变换的 Jordan 标准形分解定理 2.6.13设是 n 维线性空间V 的一个线性变换，1 ,2 ,k 是的互不相同的特征值，那么存在V 的一个基，使得关于这个基的矩阵有如下形状B10Ji10B2， 这里 BiJ i 2, Jis 都是，而 Ji 1 , Ji 2 ,0Bk0Jisi属于i 的若尔当块， i1,2, k .由于线性变换的一个下的矩阵为 Jordan 形矩阵 .Jordan 基是线性空间V 的一个基，它使得在这个基当我们

18、已经求出的 Jordan 标准形 J 之后，为了求出要把原来的基到 Jordan 基的过渡矩阵 P 求出即可 .的一个Jordan 基 . 只由于J= P1APJP 1AP，所以P 是矩阵方程AXXP 的解并且为可逆矩阵 .如果dimn ，则上述方程是含有n2 个未知量xij (i, j1, n)的由n2 个方程组成的线性方程组，解这个线性方程组，可求出Xxij. 选取可逆矩阵（因为线性变换 的 Jordan标准形存在，所以满足上述方程的可逆矩阵一定存在）便可作为过渡矩阵 P.定理 2.6.22设是复数域上 n 维线性空间 V 上的线性变换，i1 , i 2 , ir ，i1,2, s， r1r2rsn 是的一个 Jordan 基，则 V VV1 2Vs ，其中ViLi1 , i 2 ,ir， i1,2, s例 2.6.15 设是复数域上线性空间 V 的线性变换，1,2 , 3 是线性空间 V的一个基，在这组基下的矩阵为232A=1822143求线性空间 V 的一个直和分解 .解 由预备知识中的定理1.2 可知的 Jordan 标准形为100031 ，003故的一个 Jordan