(优秀教案)二元一次方程与一次函数

1、5. 6二元一次方程与一次函数（教案）一、学生情况学生已经能够正确解方程（组），初步掌握了一次函数及其图像的基础知识，己经具备了函数的初步 思想，对于数形结合的数学思想也有所接触.学生能够根据已知条件准确画出一次函数图象，能够认识和 接受函数解析式与二元一次方程之间的互相转换.在过去已有经验基础上能够加深对“数”和“形”间的 相互转化的认识.二、教学目标1 .通过作图、几何画板实验操作理解二元一次方程和一次函数的关系，掌握二元一次方程组的解和对应 的两条直线之间的关系：能够用图象法解二元一次方程组，发展学生数形结合的意识和能力2 .通过对比，观察，实验操作等手段得到二元一次方程与一次函数的关系

2、，通过数形结合的思想方法加 深对方程与函数之间关系的理解，经历从不同的角度观同一事物，养成严逆科学的学习态度.三、教学重难点教学重点二元一次方程和一次函数的关系教学难点二元一次方程的图象特征四、教学辅助手机投屏（希沃）五、教学过程引言：诗人苏轼在题西林壁中写到：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”这样的诗句，告诉我们一 个道理，认识一个事物要从不同的角度来观察、思考，那同学们请看看式子x + y = 5是方程吗？是函数吗？ 它们之间有什么内在联系呢？我们开始今天的学习：（一）探究1：二元一次方程与一次函数的关系环节教师活动学生活动设计意图1.写解pptl方程x + y = 5的解有多少个？（x

3、= 5 fx = 2 （x = 0J是方程的解吗？y = 0 y = 3 y = 5你是怎么判断的？【齐答】无数个【生】代入验证发现等式两边值相等，三组都是方程的解.复习，为 后面问题 研究作铺 垫2.验证点ppt2 以上述解为坐标的点在一次函数 y = 5 x的图象上吗？你是怎么判断的？【提问】方程x+y = 5的解有无数个，对应 的点就有无数个，那其它点是否也在函数 y = 5 x图象上呢？结合几何画板看一看. 为什么呢？【齐答】在.【生】代入验证【齐答】在认识到以 方程的解 为坐标的 点都在函 数图象上【ppt3】事实上，任取方程的一组解，那么有+力=5,变形得人=5 "，应的

4、点3,。）也就在直线y = 5-x ±来，情况又当如何？X = a显然对,反过【生】方程表达的数量关系和函数一样3.验证解PPt4在一次函数y = 5 x的图象上任取一点，它的坐标适合方程x+y = 5吗？结合 几何画板看一看.你能说说其中的道理吗？【ppt5】事实上，取直线上任意一点。（?,），那么 =5-？，变形就有z + = 5,自然 是方程的解.【齐答】适合【生】点的坐标所满足的数量关 系也正好满足方程要求的数量关 系，所以点的坐标也适合方程.认识到函 数图象上 点的坐标 都是方程 的解4.归纳新知【提问】研究到这里，同学们对二元一次方 程与一次函数的关系有什么自己的认识呢？

5、从问题2的研究可以发现二元一次方程 的解就是对应的函数图象上点的坐标，反过 来呢？【总结】很好，刚才我们是以方程A-+y = 5为例进行了研究，那么推广到一般的二元一次 方程，会不会也有同样的结论呢？（抓住方 程与函数所表示的数量关系一样） 由此我们可以得到一个基本事实：【ppt6】以二元一次方程的解为坐标的点都在 相应的一次函数图象上；一次函数图象上点 的坐标都是相应的二元一次方程的解.【板书】二元一次方程的解 <-> 直线上点的 坐标【提问】方程的解和直线上点的坐标的关系【生】方程的解与点的坐标一一对应的【齐答】函数图象上点的坐标是对应的方程的解【齐答】会归纳总结 二元一次 方

6、程与一 次函数的 关系从“形” 的角度得 到二元一就是今天我们要研究的第一层关系，有个这 层关系，说明二元一次方程与相应的一次函 数函数在本质上其实是一样的，那么，在直角坐标系中，描出以方程x + y = 5解为坐标的所有点，组成的图象和相应的一次函数图 象相同吗？我们通过几何画板来看一看.【PPt7】一般地，以一个二元一次方程的解为 坐标的点组成的图象和相应的一次函数图象 相同，是一条直线.那么二元一次方程组与直 线有什么关系呢？【思考作答】相同【观察演示】次方程的 图象特 征，（二）探究2：二元一次方程组与一次函数的关系环节教师活动学生活动设计意图1.问题探究ppt8方程组'十）的

7、解是多少？你 2x-y = 【生】方程组的解为，x = 2，(代 b=3研究方程组的解与是怎么做的？入）加减消元法。有交点，坐标一次函数分别画出方程组中义卜一为(2,3)图象（直两个方程所对应的12/ 线）交点一次函数的图象,观一«坐标的关2.归纳新知察这两个图象有交 '-2'点吗？若有，请写出交点坐标。【提问】你有什么发现？【追问】你能说说其中的道理吗？ppt9回答的很好，这个发现告诉我们， 从“数”的角度看，解一个二元一次方程组 时，只需确定相应的两条直线的交点坐标即 可；当我们要确定两条直线的交点坐标时，【生】方程组的解 的坐标，反过来， 标也是方程组的解【生】

8、方程组的解，x + y = 5 与 2x解，那么方程组的j就是直线交点 直线交点的坐.V = 2J = 3是方程y = l的公共释所对应的点系只需求相应的二元一次方程组的解，【边说（2, 3）自然就是函数y = 5 x边板书】与y = 2x1图象图象的交点，方程组的解V-直线交点坐标反之亦然这样数和形巧妙地结合在一起。这样的结合有什么好处呢？请看下而的问题（三）知识应用环节教师活动学生活动设计意图例1【pptlO】已知一次函数y = 3x - l与y = 2x图象的交点是（1, 2）,方程组产，】的解为2x-y = 0已知关于的方程组1"+幻'=",（%的必也都不演

9、）的解 ci2x + b2y = c2是=",则直线y =-包x +5与y = nb、 by = - " x +”的交点坐标为.b2 b2【生】简述思路和解答过程【生】简述思路和解答过程加深对所 学知识的 理解例2【讲评】这个题并不好计算，但仔细观察后 我们发现，方程组中的方程通过变形整理后 和后面的函数是一样的，根据刚才所学，方 程组的解与直线交点坐标是一样的，当你充 分理解这层关系后，那么这两个问题就变得 简单了 .请看下面的问题2.用作图的方法解方程组（【提2x-y = 2问】在动笔之前我们讨论一下应该怎么做？ 【提问】在找交点坐标的时候，会不会有困难吗？【点评】是的

10、，说的很好，比如说下而这个 问题【生】先把方程变形为一次函数 形式，然后在画图，观察交点的 坐标，从而得到方程组的解【生】有，比如点的坐标不是整 数的时候，就很难得到准确的值学会用图 象法解方 程组73 .反思提升3 .如图，直线小y = 2x 1与乙：y = 3x+2 的图象交于点A,求点 ，A的坐标.【提问】我们能够直接 1 V2看出来吗？那怎么办、二呢?1【板书】很好，当我们想求出两条直线交点 坐标的精确值时，可以直接将函数解析式视 为方程联立后求方程组的解即可，师示范一 下解答过程。通过刚才的练习我们可以看到，在例1中我 们求方程的解可以转化为求相应直线的交点 坐标，在例2中我们求交点

11、坐标可以转化为 求相应的方程组的解，这样一种解题的过程, 和我们学过的什么思想方法有关呢？【点评】是的，我们又再次感受到了数形结 合的魅力。接下来请看下面的问题K + v - 2想一想：方程组.5有解吗？观察一 次函数y = 2 x与y = 5 x的图象之间有什么位置关系？【提问】你有什么感悟?【生】直接看有困难，无法得到准学会通过确值解方程组【生】将函数解析式联立求方程来确定直组的解线的交点坐标【齐答】数形结合体会数学【生】简述理由和答案结合思想的魅力【生】无解，平行的关系通过对比【生】事实上这样的两个问题，发现方程前者就是“数”的问题，后者就组无解的是“形”的问题，从方程的角度几何意看，没

12、有同时适合这两个方程的义，从侧数，也就是方程组无解，那么相面认识到应的函数图象就没有交点，所以方程组有呈现的就是平行的位置关系，反解的几何过来，当两条直线平行时，它们意义所对应的方程组就无解六、课堂小结环节教师活动学生活动设计意图1.学生总【提问】同学们，学到这里请大家回顾一下刚【生1】给我感触最深的就是数引导学生结才的学习过程，本旧课什么地方给你感悟最形结合思想做好学习深？又或者把你学到的知识和大家分享一下，【生2】我知道了二元一次方程总结，再比如二元一次方程与一次函数的关系的解对应这一次函数图象上的一次加深【总结】正如同学所说，这门课首先我们明确点的坐标，方程组的解就是相对知识的了 1.二

13、元一次方程和一次函数的关系2.二元应函数图象的交点坐标认识和理一次方程组的解与直线交点坐标的关系，同时【生3】我还学到了用图象法来解，培养2.教师总结也学到了解方程组的一种新方法一一图象法，解二元一次方程组学生学会其三了解到重要的数学思想方法一一数学结总结，及合。现在我们把这些知识整合一下，如果说方时总结反程是“数”的问题，那么直线就是“形”的问思的良好题，由此数"和''形"就这样结合了起来，学习习惯通过刚才问题的解决我们也能够感受到这种思想方法的妙处，此时的我忍不住想吟诗一首：“数却形时少直观，形却数时难入微，数学结合百般好，隔离分家万事休”一一华罗庚，希

14、望我们同学能爱上数学这门研究数和形的科学。七、作业1 .如图，己知函数y =。x+和y = Zx的图象交于点P,则根据图象可得，关于，y的二元一次方程组的解是2 .若方程组（ 没有解，则一次函数y = 2 x与），=二一%的图象必定2x + 2v = 32（）A.重合 B.平行 C.相交 D.无法确定2x + y = 33 .方程组.的解是什么？两个方程对应的函数的图象有怎样的位置关系？你能从中悟出些什4x-2y = -6么？八、板书设计L二元一次方程与一次函数的关系解：二元一次方程的解 <-> 直线上点的坐标二元一次方程组的解V>直线的交点坐标It数形九、设计反思1 .重视学生操作实验能力的培养.这行课在研究二元一次方程与一次函数关系的时候，通过学生自己作图, 观察，总结归纳得到有关结论.2 .重视数学思想方法的引导.这节课在设计时充分考虑了数学结合思想，特殊到一般等数学思想方法的渗 透，既能发展学生的几何直观，又能更好地体会研究