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1、利用导数研究函数单调性基础知识 对于任意的两个数x1,x2I,且当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么函数f(x)就是区间I上的增函数. 对于任意的两个数x1,x2I,且当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么函数f(x)就是区间I上的减函数.复习提问:1. 函数的单调性: 导数的几何意义及四则运算法则。解法一单调性的定义: 例1:判断函数 在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数 224f xxx所以函数 在区间上 是单调递减,在区间 上是单调递增。 224f xxx,11, 2212121122,(24)24xxf xf xxxxx设则22112222xxxx2211221212
2、222xxxxxxxx 121210 xxf xf x当时,12120 xxxx因为, 121210 xxf xf x当时,法二图像法:解法三:导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率,函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化的,那么能否用导数来研究函数的单调性。利用函数的导数来判断函数的单调性,得出函数导数判断函数单调性的法则:如果在如果在 内,内, ,则,则 在此区间是增函数,在此区间是增函数, 为为 的单调增区间;的单调增区间;, a b, a b 0fx f x f x如果在如果在 内,内, ,则,则 在此区间是增函数,在此区间是增函数, 为为 的单调增区间;的单调增区间;, a b,
3、a b 0fx f x f x如果在如果在 内,内, ,则,则 在此区间为常函数。在此区间为常函数。, a b 0fx f x解: ,令解此不等式,得22yx220 x1x 因此,已知函数在区间 内是增函数. 1,令220 x解此不等式,得1x 因此,已知函数在区间 内是减函数.,1法三:例2 找出函数 的单调区间 3241f xxxx解:令 2341fxxx23410 xx 解此不等式,得41341333xx或因此,区间 和 为 的单调增区间.413,3413,3 f x令23410 xx 解此不等式得41341333x因此,区间 为 的单调减区间.413 413,33 f x例3已知函数
4、在 上为增函数,求实数 的取值范围 232yxax1,a解:620yxa所以 即其增区间为 ,要想在上为增函数,3ax ,3a1,所以 ,所以13a3a 即 的范围为a,3已知函数 ,若函数 在其定义域内为单调函数,求 的取值范围。 2ln0af xaxx ax f xa解:22afxaxx当 时, 在 内恒成立; 0a 20fxx 0,当 时,要使 恒成立,则 ,解得0a 21110fxaaxaa10aa1a 所以 的取值范围是a10aa或要使函数 在定义域 内为单调函数,则在 内 恒大于0或恒小于0, f x0,0, fx教材27页3题 试确定函数 的单调区间.11yx4题 求 为增函数的
5、区间 232xf xxx e答:减区间是, 11, 和练习练习答:增区间是3,1,2 和 提高如图,设有圆C和定点O,当l 从l0 开始在平面上绕O点匀速旋转(旋转角度不超过90)时,它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数,它的图象大致是下列四种情况中的哪一种?解:解:由于是匀速旋转,阴影部分的面积由于是匀速旋转,阴影部分的面积S(t)开始和最后时段缓慢增加,中间时段开始和最后时段缓慢增加,中间时段S增增速快,速快, 图图A表示表示S的增速是常数,与实际不符,的增速是常数,与实际不符,图图A应否定;应否定; 图图B表示最后时段表示最后时段S的增速快,也与实际的增速快,也与实际不符,图不符,图B也应否定;也应否定; 图图C表示开始时段与最后时段表示开始时段与最后时段S的增速快,的增速快,也与实际不符,图也与实际不符,图C也应否定;也应否定; 图图D表示开始与结束时段,表示开始与结束时段,S的增速慢,的增速慢,中间的时段增速快,符合实际,应选中间的时段增速快,符合实际,应选D。练习:求函数值域32223,13yxxxx 答:21341313yxxxx所以对任意都有2,
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