D85可降阶的高阶微分方程ppt课件

1、( ,)0F x y y 可降阶的高阶微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 8.5)()(xfyn( ,)0F y y y 第八章 一、形如一、形如)()(xfyn令,) 1( nyz)(ddnyxz则因而1d)(Cxxfz即1) 1(d)(Cxxfyn同理可得2)2(d Cxyn1d)(Cxxfxd xxfd)(依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 ., )(xf21CxC的微分方程的微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例1. .cos2xeyx 求解解解: 12cosCxdxeyx 12sin21Cxexxey241xey2811121CC此处xsin2

2、1xC32CxCxcos21CxC机动 目录 上页 下页 返回 完毕 ( ,)0F x y y 的微分方程的微分方程 设, )(xpy ,py 则原方程化为一阶方程( , ,)0F x p p 设其通解为),(1Cxp则得),(1Cxy再一次积分, 得原方程的通解21d),(CxCxy二、形如二、形如机动 目录 上页 下页 返回 完毕 特点：这种类型的方程中不含未知函数特点：这种类型的方程中不含未知函数 y 。解法：解法：这是一个关于变量 x , p 的一阶微分方程。例例2. 求解求解yxyx 2)1(2,10 xy3 0 xy解解: ),(xpy 设,py 则代入方程得pxpx2)1(2分离

3、变量)1(d2d2xxxpp积分得,ln)1(lnln12Cxp)1(21xCp即,3 0 xy利用, 31C得于是有)1(32xy两端再积分得233Cxxy利用,10 xy, 12C得133xxy因此所求特解为机动 目录 上页 下页 返回 完毕 三、形如三、形如( ,)0F y y y 的微分方程的微分方程 令),(ypy xpydd 则xyypddddyppdd故方程化为d( , ,)0dpF y p py设其通解为),(1Cyp即得),(1Cyy分离变量后积分, 得原方程的通解21),(dCxCyy机动 目录 上页 下页 返回 完毕 特点：这种类型的方程中不含自变量特点：这种类型的方程中

4、不含自变量 x 。解法：解法：这是一个关于变量 y , p 的一阶微分方程。例例3. 求解求解.02 yyy代入方程得,0dd2 pyppyyyppdd即两端积分得,lnlnln1Cyp,1yCp 即yCy1(一阶线性齐次方程)故所求通解为xCeCy12解解:),(ypy 设xpydd 则xyypddddyppdd机动 目录 上页 下页 返回 完毕 内容小结内容小结可降阶高阶微分方程的解法 降阶法)(. 1)(xfyn逐次积分2.( ,)0F x y y 令, )(xpy xpydd 则3.( ,)0F y y y 令, )(ypy yppydd 则机动 目录 上页 下页 返回 完毕 思考与练习思考与练习1. 方程)(yfy 如何代换求解 ?答答: 令令)(xpy 或)(ypy 一般说, 用前者方便些. 均可. 有时用后者方便 . 例如,2)(yey 2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ?答答: (1) 一般情况一般情况 , 边解边定常数计算简便边解边定常数计算简便.(2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.机动 目录 上页