第四章 平面势流(41~44)

1、高等流体力学高等流体力学电子课件电子课件第四章第四章 平面势流平面势流平面流动：即二维流动。流体的速度都平行于某个平面，平面流动：即二维流动。流体的速度都平行于某个平面， 且各物理量在此平面的垂直方向上没有变化。且各物理量在此平面的垂直方向上没有变化。第四章第四章 平面势流平面势流0, 0wz数学表达的特点：数学表达的特点：平面势流与三维势流相比，数学上又得到了简化，无需平面势流与三维势流相比，数学上又得到了简化，无需求解偏微分方程，可通过运用复变函数方法的方法求解。求解偏微分方程，可通过运用复变函数方法的方法求解。第四章第四章 平面势流平面势流一、速度势函数一、速度势函数1 1、速度势存在的

2、条件速度势存在的条件2 2、速度势与速度的关系、速度势与速度的关系4.1 速度势函数与流函数速度势函数与流函数yvxvxvzvzvyvxyzxyz0或或xuyv第四章第四章 平面势流平面势流 速度势函数允许相差一个任意常数，不影响对流场的描述。速度势函数允许相差一个任意常数，不影响对流场的描述。3 3、速度势的性质、速度势的性质4.1 速度势函数与流函数速度势函数与流函数一、速度势函数一、速度势函数 的曲线是等势线，等势线的法向与速度矢量的的曲线是等势线，等势线的法向与速度矢量的 方向重合。方向重合。Cyx),( 沿一曲线的速度环量等于曲线终点与起点的速度势之差沿一曲线的速度环量等于曲线终点与

3、起点的速度势之差。)()(00000MMddyydxxvdyudxrduMMMMMMMM平面流动的速度势满足拉普拉斯方程平面流动的速度势满足拉普拉斯方程。20第四章第四章 平面势流平面势流二、流函数二、流函数1 1、流函数存在的条件流函数存在的条件理想不可压平面流动的连续方程理想不可压平面流动的连续方程0yvxu2 2、流函数与速度的关系、流函数与速度的关系yuxv所有的平面流动都存在流函数。所有的平面流动都存在流函数。4.1 速度势函数与流函数速度势函数与流函数第四章第四章 平面势流平面势流二、流函数二、流函数3 3、流函数的性质、流函数的性质 流函数允许相差一个任意常数，不影响对流场的描述

4、。流函数允许相差一个任意常数，不影响对流场的描述。 的曲线是流线。的曲线是流线。Cyx),(udyvdxdyydxxdC的曲线上的曲线上0d0udyvdxdyvdxu或或4.1 速度势函数与流函数速度势函数与流函数第四章第四章 平面势流平面势流二、流函数二、流函数3 3、流函数的性质、流函数的性质 两条流线上的流函数之差等于两条流线间单位厚度通过的体积两条流线上的流函数之差等于两条流线间单位厚度通过的体积流量流量。 u dyv dx dl1 =2 =AB BBABB21AAQ= -vdx+udyQ= -vdx+udy=dx+dy=d = -xy通过通过 dl 的体积流量的体积流量4.1 速度势

5、函数与流函数速度势函数与流函数第四章第四章 平面势流平面势流二、流函数二、流函数3 3、流函数的性质、流函数的性质 方程方程平面流动时，只存在平面流动时，只存在z方向的涡量分量方向的涡量分量有旋流动时：有旋流动时：2yyxxyuxv2或或k2无旋流动时：无旋流动时：02（满足拉普拉斯方程）（满足拉普拉斯方程）4.1 速度势函数与流函数速度势函数与流函数第四章第四章 平面势流平面势流二、流函数二、流函数3 3、流函数的性质、流函数的性质流线与等势线相互垂直流线与等势线相互垂直。 vdyudxdyydxxd空间任意两点间的势函数变化为：空间任意两点间的势函数变化为：一条等势线上任意两点间的势函数变

6、化为：一条等势线上任意两点间的势函数变化为：0vdyudxd等势线的斜率是：等势线的斜率是：dyu= -dxvdydyu v+1= -+1=0dxdxv u 同理，同理， 流线的斜率是：流线的斜率是：uvdxdydyu= -dxvdydyu v+1= -+1=0dxdxv u 故，流线和等势线相互正交，并构成流网。故，流线和等势线相互正交，并构成流网。4.1 速度势函数与流函数速度势函数与流函数第四章第四章 平面势流平面势流一、柯西一、柯西- -黎曼条件黎曼条件4.2 复位势和复速度复位势和复速度平面势流流动，即存在势函数，又存在流函数平面势流流动，即存在势函数，又存在流函数xyvyxu,xy

7、yx上式称柯西上式称柯西-黎曼条件。黎曼条件。流函数和速度势函数中有一个已知，另一个即可以由上式求出。流函数和速度势函数中有一个已知，另一个即可以由上式求出。 第四章第四章 平面势流平面势流二、复位势二、复位势4.2 复位势和复速度复位势和复速度当当 满足柯西黎曼条件，根据复变函数理论，可以用它们构造满足柯西黎曼条件，根据复变函数理论，可以用它们构造是解析函数是解析函数F( () ) 。,izF)(F F( () )的实数部分是速度势函数，虚数部分是流函数的实数部分是速度势函数，虚数部分是流函数F F( () )为复位势，它也可以用来描述平面势流流动。为复位势，它也可以用来描述平面势流流动。i

8、yxz第四章第四章 平面势流平面势流三、复速度三、复速度4.2 复位势和复速度复位势和复速度因因 F(z) 是解析函数，所以其导数是解析函数，所以其导数 的值与求导方向无的值与求导方向无关，只是平面上点的函数。关，只是平面上点的函数。dFdz)()(iyFxFdzdFzW构造出构造出 F(z) 复位势函数来描写势流流动时，其导数复位势函数来描写势流流动时，其导数 是另一个比较重要的物理量。是另一个比较重要的物理量。dFdzivuxixxFzW)(ivuyyiiyFzW1)()(第四章第四章 平面势流平面势流三、复速度三、复速度4.2 复位势和复速度复位势和复速度ivuzW)(复速度：复速度：共

9、轭复速度：共轭复速度：ivuzW)(复速度与共轭复速度的乘积等于速度矢量模的平方。复速度与共轭复速度的乘积等于速度矢量模的平方。()()22WW = u-iv u+iv =u +v =u u 第四章第四章 平面势流平面势流四、柱坐标下的复速度四、柱坐标下的复速度4.2 复位势和复速度复位势和复速度 VuvRuu平面内的速度平面内的速度 可分解为可分解为u ,v ，也可分解为，也可分解为uRu ,ucossinsincosRRu=u -u v=u +u cossinsincos1cossincossinRRR-iRW =u-iv=(u -u )-i (u +u )=u ( -i )-i u (+

10、)iW =(u -i u )ecossinsincosuuvuuuRR或或复速度：复速度：第四章第四章 平面势流平面势流4.2 复位势和复速度复位势和复速度 VuvRuu cossin-i= -i, e= -i icossinsincos1cossincossinRRR-iRW =u-iv=(u -u )-i (u +u )=u ( -i )-i u (+)iW =(u -i u )e柱 坐 标 下柱 坐 标 下的复速度的复速度 ：四、柱坐标下的复速度四、柱坐标下的复速度第四章第四章 平面势流平面势流4.2 复位势和复速度复位势和复速度 复位势允许相差一个任意常数，而不影响其所代表的对流场。复

11、位势允许相差一个任意常数，而不影响其所代表的对流场。五、复位势的性质五、复位势的性质 复位势等于常数等价于势函数等于常数和流函数等于常数，它们复位势等于常数等价于势函数等于常数和流函数等于常数，它们分别代表流场中的等势线和流线，等势线和流线相交。分别代表流场中的等势线和流线，等势线和流线相交。 复位势沿封闭曲线的积分，实部等于绕该封闭曲线的环量，虚部复位势沿封闭曲线的积分，实部等于绕该封闭曲线的环量，虚部表示穿过该封闭曲线流出的体积流量。表示穿过该封闭曲线流出的体积流量。第四章第四章 平面势流平面势流4.2 复位势和复速度复位势和复速度任何一个平面无旋流动都对应一个复位势。任何一个平面无旋流动

12、都对应一个复位势。六、有关复位势的讨论六、有关复位势的讨论 由此，不可压缩平面势流的问题归结为寻找相应的复位势。由此，不可压缩平面势流的问题归结为寻找相应的复位势。给定一个解析函数给定一个解析函数F(zF(z) )，其实数和虚数部分可分别看作一个平面，其实数和虚数部分可分别看作一个平面无旋运动的速度势函数和流函数。（但并非所有的无旋运动的速度势函数和流函数。（但并非所有的 和和 都可都可以作出有物理意义的解释）以作出有物理意义的解释） (z), F( ) F z, 由于复位势由势函数和流函数构成，势函数和流函数分别满足拉由于复位势由势函数和流函数构成，势函数和流函数分别满足拉氏方程，解具有可加

13、性，所以氏方程，解具有可加性，所以复杂流动的复位势可由简单流动的复复杂流动的复位势可由简单流动的复位势迭加而成位势迭加而成。第四章第四章 平面势流平面势流4.3 基本流动基本流动一、均匀流一、均匀流势函数势函数 ：vyux izeViszViyxsiViyxViyxiviyxuyixviyxuvxuyivyuxizF incos )(in)(cos )()()()( )()()(复位势函数复位势函数 vu,yxuxyv速度：速度： 流函数流函数 ：vxuy 第四章第四章 平面势流平面势流4.3 基本流动基本流动一、均匀流一、均匀流势函数势函数 ：vyux ivudzdFzW)(复速度：复速度：

14、 zivuzF)(某一复变某一复变线性函数：线性函数： 流函数流函数 ：vxuy vxuyivyuxiyxivuzivuzF )(流体速度：流体速度： vu,代入复位势：代入复位势： iF( z )uiv zV cosiV sinzV ze第四章第四章 平面势流平面势流4.3 基本流动基本流动二、点源（汇）二、点源（汇）势函数势函数 ：RclnieRczcdzdFzW)(复速度：复速度： zczFln)(某一复变某一复变对数函数：对数函数： 流函数流函数 ：c流体速度：流体速度： 0,uRcuRiiRRzResincosicRcczczFiln)ln(Reln)(第四章第四章 平面势流平面势流

15、4.3 基本流动基本流动二、点源（汇）二、点源（汇）围绕围绕 作径向速度的积分：作径向速度的积分：RRRcRdRcRdum20202Rz 代入复位势：代入复位势： zmzczFln2ln)(点源在点源在 时：时： 0zz 0ln2ln)(zzmzczF点汇时：点汇时： zmzFln2)(0ln2)(zzmzF第四章第四章 平面势流平面势流4.3 基本流动基本流动三、点涡三、点涡ziczFln)(某一复变某一复变对数函数：对数函数： RiccicziczFiln)ln(Reln)(势函数势函数 ：cieRcizicdzdFzW)(复速度：复速度： 流函数流函数 ：Rcln流体速度：流体速度： R

16、cuuR, 0第四章第四章 平面势流平面势流4.3 基本流动基本流动围绕围绕 的速度环量：的速度环量：cRdul du220Rz 代入复位势：代入复位势： zizczFln2ln)(点涡在点涡在 时：时： 0zz 0ln2ln)(zzizczF漩涡顺时针方向时：漩涡顺时针方向时： 三、点涡三、点涡zizFln2)(0ln2)(zzizF第四章第四章 平面势流平面势流4.3 基本流动基本流动四、绕角流动四、绕角流动某一复变某一复变幂次函数：幂次函数： nUzzF)(niURnURUzFnnnisincosRe)(势函数势函数 ：nURncos零流线：零流线： 流函数流函数 ：nURnsin0 0

17、 0 ,sinn,nn0n第四章第四章 平面势流平面势流4.3 基本流动基本流动四、绕角流动四、绕角流动innninneninURnnURenURnUzdzdFzWsincos )(11) 1(11复速度：复速度： 流体速度：流体速度： nnURunnURunnRsin,cos11,20 , 0时nU0, 0uuR,2, 0时nnU0, 0uuRn0n第四章第四章 平面势流平面势流4.3 基本流动基本流动四、绕角流动四、绕角流动n=2n=1n = 00022n 小于小于 时得到大于时得到大于 22的区域，这显然没有物理意义。因此的区域，这显然没有物理意义。因此n应大于应大于 。第四章第四章 平

18、面势流平面势流4.3 基本流动基本流动四、绕角流动四、绕角流动n=2n=2/3n=1/2n=3/2n=3第四章第四章 平面势流平面势流4.3 基本流动基本流动五、偶极子五、偶极子偶极子：一对无限接近的强度相等的偶极子：一对无限接近的强度相等的点源和点汇的迭加点源和点汇的迭加。F( )lnlnlnlnlnlnF( )aRa 的区域形成的流场即是速度为的区域形成的流场即是速度为U U的均匀来流绕流的均匀来流绕流 R=a R=a 的的圆柱流动。圆柱流动。第四章第四章 平面势流平面势流4.4 圆柱绕流圆柱绕流一、无环量圆柱绕流一、无环量圆柱绕流前者是和实际情况符合的，而后者则与实际不符，这就是著名的达

19、前者是和实际情况符合的，而后者则与实际不符，这就是著名的达朗贝尔佯谬。这主要是由于朗贝尔佯谬。这主要是由于没有考虑粘性对流动的影响没有考虑粘性对流动的影响。在粘性流。在粘性流动中圆柱将承受动中圆柱将承受由于存在壁面切应力所产生的摩擦阻力和由于边界由于存在壁面切应力所产生的摩擦阻力和由于边界层分离所产生的压差阻力。层分离所产生的压差阻力。 尽管如此圆柱无环量绕流问题仍具有尽管如此圆柱无环量绕流问题仍具有重要的理论意义。重要的理论意义。达朗贝尔佯谬达朗贝尔佯谬均匀来流绕流圆柱的速度场对均匀来流绕流圆柱的速度场对 x 轴和轴和 y 轴都是对称的，因此压强分布轴都是对称的，因此压强分布对对 x 轴和轴

20、和 y 轴也是对称的，于是圆柱所受流体作用力的合力为零，即轴也是对称的，于是圆柱所受流体作用力的合力为零，即圆柱不但圆柱不但不承受与气流垂直的升力，也不承受沿流动方向的阻力。不承受与气流垂直的升力，也不承受沿流动方向的阻力。第四章第四章 平面势流平面势流4.4 圆柱绕流圆柱绕流二、有环量圆柱绕流二、有环量圆柱绕流无环量圆柱绕流和顺时针旋转的点涡叠加。无环量圆柱绕流和顺时针旋转的点涡叠加。复位势：复位势： czizazUzFln2)(2点涡的流线是同心圆，圆柱表面是一条流线不会因在原点增加点涡而改变。点涡的流线是同心圆，圆柱表面是一条流线不会因在原点增加点涡而改变。iz= a e选择合适的复常数

21、选择合适的复常数c，使得无环流绕流时的圆周，使得无环流绕流时的圆周 上的上的=0=0，即该圆周，即该圆周是一条是一条流线。流线。1.1.复位势复位势第四章第四章 平面势流平面势流4.4 圆柱绕流圆柱绕流二、有环量圆柱绕流二、有环量圆柱绕流iz= a eF(z)()ln()coslni -i i i i U ae +ae+ae+c= 2U -+a+c222ic= -lna2当当 时，时， 则在圆柱面则在圆柱面0 0 。于是，绕半径为于是，绕半径为a的圆柱体的有环量绕流的复位势为：的圆柱体的有环量绕流的复位势为：F(z)ln2aizU(z+)+z2a此时，均匀来流的速度为此时，均匀来流的速度为U

22、U，偶极子强度为，偶极子强度为 ，点涡环量的强度为，点涡环量的强度为2=Ua第四章第四章 平面势流平面势流4.4 圆柱绕流圆柱绕流二、有环量圆柱绕流二、有环量圆柱绕流2.2.速度场速度场W(z)()()()()cos()sin()cos ()sin22-i 2-2 i i -i -i 22222-i 222R222dFai 1ai eai=U 1-+=U 1-e+= U e-e+edzz2 zR2 RR2Raa= U 1-+i U 1+eRR2Rau =U 1- Rau = -U 1+ -R2R在圆柱面上（在圆柱面上（R=a）sinRu =0u = -2U -2a正是理想流体绕流圆柱正是理想流

23、体绕流圆柱时在圆柱表面应满足的时在圆柱表面应满足的边界条件。边界条件。第四章第四章 平面势流平面势流4.4 圆柱绕流圆柱绕流二、有环量圆柱绕流二、有环量圆柱绕流3.3.驻点驻点在圆柱面上速度为在圆柱面上速度为0 0的点。的点。0 usin4Ua 0sin00, 无环量流动，无环量流动， 有环量流动，有环量流动，014 Ua14 Ua第四章第四章 平面势流平面势流4.4 圆柱绕流圆柱绕流二、有环量圆柱绕流二、有环量圆柱绕流3.3.驻点驻点 有环量流动，有环量流动，014 Ua14 Ua有有两个驻点两个驻点，分别，分别位于位于3，4象限象限，且，且关于关于y轴对称轴对称。顺时针点涡流场与无环量绕流圆柱流场叠加时，顺时针点涡流场与无环量绕流圆柱流场叠加时，在在1，2象限速度增加；在象限速度增加；在3，4象限速度减少，于象限速度减少，于是分别在是分别在3，4象限的某个点处速度为零。相当于象限的某个点处速度为零。相当于把把0和和的两个驻点分别移动至的两个驻点分别移动至3，4象限。象限。一个驻点， 。当当增大到一定