导数应用专题二----零点分析

1、导数专题二导数专题二-零点分析零点分析太原市新希望双语学校太原市新希望双语学校 钱大平钱大平概述：概述：函数零点分析是数学中研究的课题之一。函数零点分析是数学中研究的课题之一。其中含有丰富的数学思想、方法。有的研究形成数学其中含有丰富的数学思想、方法。有的研究形成数学分支或独立成章，如分析函数零点近似值的分支或独立成章，如分析函数零点近似值的“二分二分法法”“”“牛顿法牛顿法”等列入等列入“近似计算方法近似计算方法”。在高中数。在高中数学范畴中，我们能体会感受到零点分析的价值有以下学范畴中，我们能体会感受到零点分析的价值有以下方面：其一：在代数方面，函数的零点与相应的方程、方面：其一：在代数方

2、面，函数的零点与相应的方程、不等式息息相关，会不会找零点与会不会解方程、不不等式息息相关，会不会找零点与会不会解方程、不等式几乎是等价问题。零点分析成果应是对古典代数等式几乎是等价问题。零点分析成果应是对古典代数方程理论的拓展与贡献；其二：在微积分中，函数的方程理论的拓展与贡献；其二：在微积分中，函数的零点情况完全是由函数的性质所决定的，反之，函数零点情况完全是由函数的性质所决定的，反之，函数的性质又与其导数的零点情况密切相关，其中你中有的性质又与其导数的零点情况密切相关，其中你中有我，我中有你，密不可分。会分析零点与会分析函数我，我中有你，密不可分。会分析零点与会分析函数性质几乎是等价的，反

3、之亦然。性质几乎是等价的，反之亦然。 函数零点分析的基本内容应包括：指明函数是函数零点分析的基本内容应包括：指明函数是否存在零点？如果有，有几个？这些零点是否可求？否存在零点？如果有，有几个？这些零点是否可求？如果可求，求出零点，如果不可求，是否可求出满如果可求，求出零点，如果不可求，是否可求出满足一定精确度要求的近似值？或满足一定要求的零足一定精确度要求的近似值？或满足一定要求的零点存在的范围。点存在的范围。 分析函数是否存在零点初等直接的方法就是分析函数是否存在零点初等直接的方法就是判断函数图象与判断函数图象与x轴是否有交点，或者化归为两轴是否有交点，或者化归为两个函数图象是否有交点，这种

4、数形结合的方法能个函数图象是否有交点，这种数形结合的方法能形象直观的说明问题，非常有效。例如：要判断形象直观的说明问题，非常有效。例如：要判断方程方程 实根的个数。但是，这种方实根的个数。但是，这种方法不能代替严谨的数学证明。函数零点分析证明法不能代替严谨的数学证明。函数零点分析证明是有理有据的逻辑推理过程，是数字、文字、图是有理有据的逻辑推理过程，是数字、文字、图形语言相结合的表述过程。例如我们学过的形语言相结合的表述过程。例如我们学过的“零零点存在定理点存在定理”就是推理证明的依据之一。就是推理证明的依据之一。本专题讨论的有关零点分析问题，侧重和针对利本专题讨论的有关零点分析问题，侧重和针

5、对利用导数研究函数相关性质时涉及的导函数零点分析，用导数研究函数相关性质时涉及的导函数零点分析，以及研究函数零点时涉及函数性质的分析。把其作为以及研究函数零点时涉及函数性质的分析。把其作为导数应用的内容之一学习，体会感悟其思想、方法。导数应用的内容之一学习，体会感悟其思想、方法。先从图像直观地观察一些零点存在的情况先从图像直观地观察一些零点存在的情况（1）没有零点）没有零点（2）1个零点个零点（3）2个零点个零点零点的存在与函数的单调性、极值、极限相关零点的存在与函数的单调性、极值、极限相关“零点存在定理零点存在定理”是重要依据是重要依据【范例【范例1】的取值范围。只有一个零点，求实数上有且在

6、、若的单调区间；、求其中已知axfxfaaxaxaxxf2 , 0()(2 )(12 22ln)2()(2)1 (),10()(0)( 1 0)( 10020) 1 () 1)(2()( ), 0(1，递增区间为，递减区间为时，时，时，时，即当且、函数定义域为解：xfxfxxfxaaxxaxxf)0()(0)( 122)3()1 (),20(),12()(0)( 1 20 0)( 1212020)2(，递增区间为时，时，即当，递增区间为，递减区间为时，或当时，当时，时，即当xfxfaaaaxfxfxaxxfxaaa这是解决第二问的基础这是解决第二问的基础1xy02ln210)2(0) 1 (0

7、) 1 (2 , 0()(01) 11(221)1(1) 1 (2 , 0()()2 , 1 ( ) 1 , 0()(0) 1 (22222242aafffxfeaeeaeeefafxfxfa或解的或需满足上有且只有一个零点在要由于的最小值为在在时，由第一问知当针对性讨论、由第一问的分析分别1xy02没有零点时，又在时，）当（0)(2 ,2( , 01) 1 ()2 , 1 ( , ) 1 ,2( , )2, 0()(202xfaxafaaxfa0yx2a120)22ln()2()(212222222222aeaaeeefaeaaaaaaaaaa只有一个零点在内必有零点，又在)(,)2, 0(

8、)(),2, 0()(xfaxfaxf）上单调递增，在（时，）当（0)(23xfax1y02上只有一个零点在故且2 , 0()(02ln22)2(0211)(484xffeeef上只有一个零点。在时，或或综上：当2 , 0()(12ln220 xfaaa【点评】【点评】1、这是一个典型的零点分析问题。较全面系统地体、这是一个典型的零点分析问题。较全面系统地体现了零点分析中的各种情况，以及应该考虑的问题现了零点分析中的各种情况，以及应该考虑的问题与因素；与因素；2、构造某点处的函数值，说明其大于或小于零，也、构造某点处的函数值，说明其大于或小于零，也可以变通为利用极限状态分析零点。可以变通为利用

9、极限状态分析零点。【范例【范例2】的最大值。恒成立，求对且）若（的取值范围；上不单调，求实数在区间）函数（已知函数kxxkxxfZkaexfaxxgxxxf1) 1()(,2, 1 )()(1ln)(23103010)( 0) 1 ( 1ln)( ) 1 (2aaaeggaxxg令解： 3 43 1) 1(1) 1(ln)( )(02ln,)(3,4 04ln2)4( 03ln1)3(011)( 2ln)( ) 1(2ln)( 1) 1(ln1)()( 1)(2000000000min00002最大值为的极小值点是且存在零点间在则设设）参变量分离得（kxZkxkxxxxxxxxhxhxxxxx

10、uuuxxuxxxuxxxxhxxxxxxfxhxxxfk【点评】【点评】选取本例想体现零点分析中一类典型问题：选取本例想体现零点分析中一类典型问题：“零点零点设而不求设而不求”、“零点范围分析零点范围分析”。至于零点。至于零点x0范围范围为什么控制在为什么控制在(3,4),请你思考与感悟！请你思考与感悟！343 0) 1()2( ) 1(ln)()(2ln )( 2 01) 1 ()( )( 0)( 2 ) 1( 2ln)( ) 1(ln) 1()()(200000000002000的最大值为综上：不满足满足，显然即令的极小值点是即有零点则若满足若则令解：设kkkekkxkxxkxkxxkx

11、xxxgxgexkxxxgkgxgxgxgkxkxxgxkxxxxkxxfxgkk【范例【范例3-2014辽宁卷】辽宁卷】.) 1 (, 0)(),2()2(; 0)(),2, 0() 1 ()23ln()sin1 (4cos)(3)( ) 1(sin38)2)(cos)(1001100 xxxxgxxfxxxxxxgxxxxxf，有中的对使存在唯一使存在唯一证明：已知。），使，（存在唯一又）上递减，在（）时，（解： 0)(200316)2(, 038)0( 20)(0cos322)2)(sin1 ()( 20 ) 1 (002xfxffxfxxxxxfx点评点评1、问题化归能力的考查：这里、

12、问题化归能力的考查：这里h(x)与与g(x)有相同的零点，有相同的零点，但隔离出但隔离出 便于求导。便于求导。)23ln(x,2 )23ln(4sin1cos)(3)(2xxxxxxh）考虑函数（)21ln(4sin1cos3)()()2, 0( t),2(, ttttxhxuxxt记令点评点评2、这里采用了变量代换，一方面简化了函数表达式，另、这里采用了变量代换，一方面简化了函数表达式，另一方面新变量一方面新变量 与第一问的背景以及得到的结果便于联与第一问的背景以及得到的结果便于联系起来。至于变换为什么恰是系起来。至于变换为什么恰是 ，须有观察、构造的能，须有观察、构造的能力。力。 )2,

13、0(t xt)sin1)(2()(3)( tttfxu则点评点评3：发现这一结果至关重：发现这一结果至关重要，这样要，这样u(x)与与f(t)有相同的有相同的零点，与第一问结果联系起零点，与第一问结果联系起来。来。10001111111100000000000 )()(0)(),2(0)()2,()( 02ln4)2(0()( 0)0( )2,( 0)( )()( 0)( )2,( 0)( ), 0( )( 0)(),2, 0()2, 0(1xxxtttxxfxgxhtxtutttuuttuutttututttututtuttttutftt有相同的零点与使因此，存在唯一的即为上存在唯一的零点，

14、记在又上无零点，在又递减，）递增，在（的极大值点是且存在唯一零点时时时为零。在即使时，存在唯一的）知，由（【点评】【点评】1、这是一个很好的零点分析与不等式证明的综合、这是一个很好的零点分析与不等式证明的综合范例。试题由浅入深，易于上手。但重在考查学范例。试题由浅入深，易于上手。但重在考查学生化归能力。正谓生化归能力。正谓“立意与能力考查，有很好的立意与能力考查，有很好的甄别度甄别度”。2、本题的创意与难点集中体现在问题的化归中，、本题的创意与难点集中体现在问题的化归中，思路生成从分析法角度易于解释。思路生成从分析法角度易于解释。【练习】【练习】1、（、（2013.江苏）江苏）的结论。的零点个

15、数，并证明你）上单调递增，试求，在（若的取值范围）上有最小值，求，在（）上单调递减，且，在（若函数其中设函数)(1)()2(;1)(1)() 1 (,)(,ln)(xfxgaxgxfRaaxexgaxxxfx2 2、（、（2013.2013.山东）山东）根的个数的方程讨论关于的单调区间，最大值。求设函数)(ln)2()() 1 ()()(2xfxxxfRccexxfx3、（、（2013.天津）天津）21ln)(ln52),()2() 3().(, 0)2()() 1 (ln)(22txgetxgstssftstxfxxxf时，有证明当的函数为关于中所确定的设使得存在唯一的证明：对任意的的单调区

16、间求函数已知函数5、（、（2014.四川）四川）4、（、（2014.山东）山东）的取值范围。内存在两个极值点，求在若函数的单调区间。时，求为常数设函数kxfxfkkxxkxexfx)2 , 0()()2()(0) 1 ()( )ln2()(2的取值范围。内有零点，求在区间，函数若上的最小值。在区间导函数，求是函数设其中设函数axffxgxfxgbxaxexfx) 1 , 0()(0) 1 ()2( 1 , 0)()()() 1 (Rba, 1)(2，说明理由。的取值范围。若不存在若存在，求出同的交点，的图像有且只有三个不图像与使得是否存在实数、已知mxgxfmmxxgxxxf)()(,ln6)

17、(, 8)(62计算说明理由。上的零点情况，并通过在试探究时求证：当表达式；求垂直直线处的切线与在且、已知函数), 0()() 3(; 0)() 1 , 0()2( )() 1 (03) 12(), 1 ()(,ln)(73xfxfxxfyexexfxnexxmexfxx，说明理由。并加以证明；若不存在若存在，判断有几条？都相切的直线？和时，是否存在与当的极大值；处取得极小值，求在若、已知函数)()(3)2()(1)() 1 ()( )()( , ln)( , 2)(82xgyxfyaxhxxhxgxfxhxxgaxxxf的根的个数。的方程）讨论方程（关于的取值范围；求恒成立，在若的值；求上的减函数是区间上的奇函数，且是为常数、mexxxfxxtxttxgaxxfxgRaaexfx2)(ln) 3( 1 , 11)()2( ) 1 ( 1 ,