错位相减法(含答案)

1、1.设等差数列an 的前 n 项和为 Sn ，且 S44S2 , a2 n2an1( )求数列an 的通项公式( )设数列 bnb1b2bn11*，求 bn的前 n 项和 Tn满足a2ann , nNa122. （ 20XX年 天津市文 13 分）已知 an 是等差数列，其前n 项和为 Sn ， bn 是等比数列 , 且 a1 = b1 =2 ， a4 +b4 =27 ， S4b4 =10.( ) 求数列 an 与 bn 的通项公式；( ) 记 Tn =a1b1+a2 b2 +anbn ， nN + ，证明 Tn8=an1bn+1 (n N +， n > 2) 。【答案】解：（ 1）设等

2、差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ，由 a1=b1 =2 ，得 a2 3d，b2q3，s 8 6d。444由条件 a4 +b4 =27 ， S4b4 =10得方程组23d2q327d32q3，解得q。86d102 an3n1，bn2n ，nN + 。( ) 证明：由（1）得， Tn 2 25228233n1 2n； 2Tn2225 238243n 1 2n+1；由得，Tn22223233 243+2n33n1 2n+1=4+ 3n1 2n+13222324+2n=4+ 3n1 2n+13412n1=4+ 3n1 2n +1 +12 32n +112=8+ 3n4 =an 1bn +1 +

3、8 Tn8=an1bn+1 (nN +，n > 2)。3.（ 20XX年天津市理13 分）已知 an 是等差数列， 其前n项和为Sn，bn是等比数列 , 且a1=b1 =2a4+b4=27，S4 b4 =10.( ) 求数列 a 与 b 的通项公式；nn( ) 记 Tn =an b1 +an1b2 +a1bn ， nN + ，证明 : Tn +12=2an +10bn(n N + ) .【答案】解：（ 1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ，由 a =b =2 ，得 a2 3d，b2q3，s 8 6d 。11444由条件 a4 +b4 =27 ，S4b4 =10得方程组23d2

4、q327，解得d3。86d2q310q2 an3n1，bn2n ，nN + 。( ) 证明：由（1）得， Tn2an22 an 1 23 an 22n a1； 2Tn 22 an 23 an 124 an 22n+1 a1；由得，Tn2an +2 2 anan 123 an 1an 224 an 2an 3+2n a2a12a1bn2an +2 2 3 23 3 243+2n3 2 2bn= 2an+4b +3 222324+2nn=2an +4bn +3412n 1=2an +4bn12+62n =2an +4bn +6 bn 1212=2an +10bn12+12=2+10+。anbn (

5、nN )Tn4. （ 20XX年江西省理12 分）已知数列 a 的前n项和S1 n2kn （其中 kN），且 S的最大值为 8。nn2n（ 1）确定常数 k ，并求 a ；n（ 2）求数列 92an 的前n 项和 Tn 。2n1 21 221【答案】解：（ 1）当 nkNnk2n kn取最大值，即 8 S k k k ，时， S222k2 16， k 4。 an Sn9Sn 1 n( n2) 。279又 a1 S1 2， an 2 n。（ 2）设n92ann12 b2 3n 1nn n 1， nn 1 2 n 2 n 1，b22T bb222211n1nn 2 Tn 2Tn Tn2 1 2 2

6、n 2 2n 1 4 2n 2 2n1 4 2n1 。【考点】数列的通项，递推、错位相减法求和，二次函数的性质。【解析 】（ 1）由二次函数的性质可知，当n k N 时， Sn1 n2kn 取得最大值，代入可求 k ，然后利用2an Sn Sn 1 可求通项，要注意 an SnSn 1 不能用来求解首项a1 ，首项 a1 一般通过 a1S1 来求解。9 2ann（2）设 bn2n 2n1，可利用错位相减求和即可。5.（ 2009 山东高考）等比数列 a 的前 n 项和为 S ，已知对任意的 nN* 点 (n, S ) ，均在函数 y bxr (b 0nnn且 b 1,b, r 均为常数 ) 的

7、图像上 （ 1）求 r的值；（ 2）当 b2 时，记 bnn1(nN * ) , 求数列 bn 的前 n 项和 Tn4an【解析】 因为对任意的 nN,点 (n, Sn ) ，均在函数 ybxr (b0 且 b1,b, r 均为常数 )的图像上 .所以得 Snbnr ,当 n1 时 , a1S1 br , w.w.w.k.s.5.u.c.o.m当 n 2 时 , anSnSn 1bnr (bn 1r ) bnbn 1(b 1)bn 1 ,又因为 an 为等比数列 ,所以r1 , 公比为 b ,所以 an(b 1)bn 1（ 2）当 b=2 时， an(b1)bn 12n 1 ,bnn1n1n1

8、4an42n 12n1则 Tn23 4n 11234nn1223242n 1Tn345n21n2222222相减,得 12 1111n 12 Tn222324252n 12n 211123(12n 1 )n 131n 12112n 24 2n 12n 22所以 Tn31n13n322n2n 122n 1n ， a6. (山东理 ) 设数列an满足 a13a232 a33n1 anN*3（）求数列an的通项；（）设 bnn，求数列bn的前 n 项和 Sn an（） a1 3a232 a3.3n1ann , a13a232 a3.3n 2 an 1n1 (n2),33n1annn112). an1(n2). 验证 n1时也满