二项式定理11种题型解题技巧

1、二项式定理知识点及11种答题技巧1. 二项式定理：,、n_ 0 nQn1,_ r n r_ n n z、(ab)CnaCna b LCna bL Cnb (nN ),2. 基本概念： 二项式展开式：右边的多项式叫做(a b)n的二项展开式。 二项式系数：展开式中各项的系数 C； (r 0,1,2,n). 项数：共(r 1)项，是关于a与b的齐次多项式 通项：展开式中的第 r 1项C：an rbr叫做二项式展开式的通项。用Tr 1 C：an rbr表示。3. 注意关键点：Cn0,C；,Cn, ,C：, ,C：.项的系项数：展开式中总共有(n 1)项。指数：a的指数从n逐项减到0，是降幕排列。 b

2、的指数从0逐项减到n，是升幕排列。各项的 次数和等于n .顺序：注意正确选择 a , b ,其顺序不能更改。(a b)n与(b a)n是不同的。系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是数是a与b的系数(包括二项式系数)。4常用的结论：令 a 1,b x, (1 x)n C C；x C；x2 LC：xr L C：xn(n N )令 a 1,b x, (1 x)； C° C；x C；x2 LC：xr L ( 1)nC：xn(n N )5.性质：二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即C0 C； , Cnk Cn 1二项式系数和：令 a b 1,则二

3、项式系数的和为C0CnL Cn变形式c； c2 L Cnr Lc：2n奇数项的二项式系数和 =偶数项的二项式系数和:在二项式定理中，令 a 1,b1，则c0 cnCn31)nc：(1 1)n 0 ,从而得到：C： Cn cn4c2rC： Cn3 L2r 1Cn1 _ n _ n 1222奇数项的系数和与偶数项的系数和:(ax)nC0an 0xcnan1xCnan2 2xLn 0 n1Cna x ao a1X2na2XLanX(xa)nC0a0 nx1Cnaxn 1C；a2n 2 xLn n 0niCna x anx L2 1a?x ax a°令x1,则 aoa1a2asLan(a1)

4、n令x1,则 aoa1a2a3L an(a 1)n 得,aoa2a4Lan(a1)n(a21)(奇数项的系数和)得,a1a3a5 Lan(a1)n(a21)(偶数项的系数和)n 二项式系数的最大项：如果二项式的幕指数 n是偶数时，则中间一项的二项式系数 Cn2取得最大值。n 1 n 1 如果二项式的幕指数 n是奇数时，则中间两项的二项式系数C,C同时取得最大值。 系数的最大项：求(a bx)n展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别为Ai, A2, An i，设第r 1项系数最大，应有A 1 Ar ，从而解出r来。Ar 1 Ar 2【二项式定理的一种考题的解法】题型一：二项

5、式定理的逆用;例: C： c2 6 c3 62 L C： 6n 1 .解:(16)nC0CnC：6Cn62V Cn6C362Lc：6(C06C1Cn6c；62L练：C1 3C；9C3nL3n 1c；C； 63 LC： 6n与已知的有一些差距，6“ 1 (Cn 6 C： 62 L C： 6“)611C： 6n 1) -(1 6)n 1 (7n 1)66解：设Snc：3C；9C；L 3n1C；，则3SnCn3Cn32Cn33L C；3nCnSn(1n3)134n31n题型二：利用通项公式求 x的系数;1223小3n nn .Cn3 Cn 3 Cn3 L Cn31(1 3)1例:在二项式(413 x

6、2)n的展开式中倒数第 3项的系数为45，求含有x3的项的系数?1解:245，即 Cn 45，2n n 900，解得 n9(舍去)或n 10，练:解:210 rTr 1 C；0(X 4)10 r(x3)rC；0X F则含有x3的项是第7项T6 1求(x2)9展开式中X2xC10X3的系数?1、rr 2 9 r -Tr 1 C9 (x )()2x故x9的系数为C；(丄)32题型三：利用通项公式求常数项;例:解:练:解:练:解:23r10 r 2，由题息 r433210x ,系数为210 。r 18 2r /1、r rr ,1 . r 18 3rC9x( 2) xC9( 2) x21。22110求

7、二项式(x議)的展开式中的常数项?r 2 10 rTr 1C10(x )5rr 1 r 20 r5C10() x ，令 20 r 0,得 r2 21 6求二项式(2x)的展开式中的常数项?2xTr 1 c；(2x)6r( 1)r(£)r2x(1心中严，令62r3,解得r 6，令 18 3r8，所以T90,得r9,则r845呢)2563，所以T4 ( 1)3C；201若(X2-)n的二项展开式中第X5项为常数项，则n42 n 4 1 44 2nT5 Cn(x )()CnXx12，令 2n120 ,得 n 6.题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项;例：求二项式(.x 3 x)9展开

8、式中的有理项?1 1解：Tr 1 C9(x2)9 r( x3)r27 r(1)Cx 丁，令27 rZ，(09)得 r3或 r 9，27 r所以当r 3时，27-627 r当 r 9 时，27 r 3，64，T4( 1)3C；x484 x4，3933T10( 1) C9 xx。题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和;例：若（.,x2展开式中偶数项系数和为n256，求 n .解：设（.x23X2)展开式中各项系数依次设为a0, al, an ,令x1,则有a0a-an 0,，令x1,则有a。a-a?a3(-)nan2n,将-得：2（a1a3a5)2n,a-a3a52n -,有题意得，2

9、n 125628， n9。练：若（fl 讣）°的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024,求它的中间项。61462 x 靠解: QC0c2c4Cnrcnc3Lc：r 12n 1，2n11024，解得 n 11所以中间两个项分别为 n 6,n 7，T5 1 C；(3 1 )6(5 12 )5 462 x 4，Te 1题型六：最大系数，最大项；1 例：已知（2x）n，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二2项式系数最大项的系数是多少？解: QC： C 2C；, n2 21n 98 0,解出n 7或n 14，当n 7时，展开式中二项式系数 最大的项是T4和T5

10、 T4的系数 c3（-）423 35,，T5的系数Cy（-）324 70,当n 142 2 21 时，展开式中二项式系数最大的项是T8，T8的系数 c74（-）727 3432 。2练：在（a b）2n的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的幕指数是偶数 2n,则中间一项的二项式系数最大，即T2n 1 Tn 1，也就是第n 1项。2练：在（：#）n的展开式中，只有第 5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？解：只有第5项的二项式最大，则 n 15，即n 8,所以展开式中常数项为第七项等于26-2 C-）2 72例：写出在（a b）7的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为

11、二项式的幕指数7是奇数，所以中间两项（第4,5项）的二项式系数相等，且同时取得最大34 343 4值，从而有T4C?a b的系数最小，T5 C?a b系数最大。1例：若展开式前三项的二项式系数和等于79 ,求(2x)n的展开式中系数最大的项？2解：由 C0 C C； 79,解出 n 12,假设 项最大，Q (- 2x)12 ()12(1 4x)122 2Ar 1 AArAr 2CM C1214r 1C；2 4rC1r214r1化简得到9.4r 10.4，又Q0 r 12，r 10，展开式中系数最大的项为 T11 .有 T11 (1)12C1120410x10 16896x102练：在(12x)

12、10的展开式中系数最大的项是多少？解：假设Tr 1项最大，QTr 1 C；0 2rxrAr 1Ar 1ArAr 2Cr 2rC10 2Cr 2C10 2r 1 r 1C10 2r 1 r 1C102解得2(11r 1r) r2(10y化简得到6.37.3，又Q0 r 10，r 7 ,展开式中系数最大的项为T8 Cw27x715360x7.题型七：含有三项变两项；例：求当(x2 3x 2)5的展开式中x的一次项的系数？解法：(x2 3x 2)5 (x2 2) 3x5，丁 1 C；(x2 2)5 r(3x)r，当且仅当 r 1 时，1 的 展开式中才有x的一次项，此时Tr 1 T2 C5(x2 2

13、)43x，所以x得一次项为C；C：243x 它的系数为C；C：243240 o解法：(x23x 2)5 (x1)5(x2)5(C?x5C5x4Cf)(C5)x5C；x42C?25)故展开式中含x的项为c5xC；25 C；x24 240x，故展开式中x的系数为240.练：求式子(x32)的常数项?解：(xx2)36，设第1项为常数项，则rrTr 1 C6(1)6 r 1 r6 r(x)(1)C62r，得 6 2r 0, r 3,T31 ( 1)3C：20题型八：两个二项式相乘；例：求(1 2x)3(1 x)4展开式中x2的系数.解：Q (1 2x)3的展开式的通项是 C3 (2 x)m C3 2

14、m xm,(1 X)4的展开式的通项是 C4 ( x)nc41n xn,其中 m 0,1,2,3, n0,1,2,3, 4,令m n 2,则m0且 n2, m 1且 n1,m 2且 n 0,因此(1 2x)3(1 x)4的展开式中X2的系数等于C3020C；(1)2C321C4(1)1C；22 c0 (1)06.练：1求(1 3 x)6(14' )10展开式中的常数项Jx.mn4m 3n解:(1 3x)6(1 4_)10展开式的通项为 C6nx3 C：0X 4 cj C：0 x 12Vx其中m 0,1,2, ,6,n 0,1,2, ,10，当且仅当4m 3n,即卩m0,或m3,或m6,

15、n0,n4,n8,时得展开式中的常数项为C； C10 c； C40 C； C10 4246.练：1 *已知(1 x x )(x 飞)的展开式中没有常数项，n N且2 n 8,则n X解:(x A)n展开式的通项为cn xn r x3r cn xn 4r,通项分别与前面的三项相乘可得Xcn xn4r,cn xn4r1,cn xn4r2,Q展开式中不含常数项，2 n 8n 4r且n 4r 1且n 4r 2,即 n 4,8且n 3,7且 n 2,6, n 5.题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；例：在(x J2)2006的二项展开式中,含x的奇次幕的项之和为S,当xJ2时,S 解： 设(x2)

16、2006=ao a1xa2x2 33x3 La2006x2006 006123 i2006(x 2)=a0a1xa2xa3xLa2006x得2(a x a3x35|2005、/Tx 2006/a§xLa2005X) (x 、2) (x2)20062006 _(x 2)3 200622230082(x - 2 ) 2006展开式的奇次幕项之和为S(x)丄(x2当 X 顾,S"如2)20062 ) 2006题型十：赋值法；例：设二项式(33匸 丄)“的展开式的各项系数的和为p，所有二项式系数的和为 s,若x解:练:解:例:解:p s 272,则n等于多少?若(33x !)nx2

17、n 16 或 2n若 3、.x 1, X2a°axa?xnanX4n，又 p s 272,即 4n17(舍去)，n 4.n的展开式中各项系数之和为令 X 1，则 3 x项为 C3(3.x)3 (，有 Pa。aian ， S Cn2n 272(2n 17)(2n 16)0 解得64，则展开式的常数项为多少?Cn2n，1x)3若(1 2x)2009a。a1X1的展开式中各项系数之和为 2540.2a2X3a3X2009 /a2oo9X(x64，所以n 6 ,则展开式的常数R),则号a222笋的值为1令x可得a。22 222a?a200922009a2220,色2a222a200922009ao练:若(X5542)asXa4X321a3Xa?xaxa°,则a1a2解:令X0得a°32，令