“面积的意义”前概念调查研究

1、面积的意义”前概念调查研究【摘 要】采用问卷调查的方式，调查和分析学 生的 “面积”前概念，以期准确地把握学生的认知起 点，真切地 了解学生的学习难点，从而更好地进行教 学设计。调查结果 对教学启示如下：其一，直面学生 认知现实，在举例与对话 中，修正原有认知经验；其二，在“线”与“面”的辨析 中，区分面积与周长；其三，在“一维”与“二维”的感悟 中，发展空间观念。【关键词】面积；前概念；调查 在学习新的数学概念之 前，学生的头脑中并非一片空白。通过日常生活的各种渠道 和自身的实践，学 生对许多数学概念已经形成了初步的认识 和观念，建 构了大量朴素的“前概念”。也就是说，学生 数学概念的学习，

2、总是建立在“前概念”的基础之上。由 此，在设计“面积的意义”教学活动前，为了更全面、准 确 地了解学生的“前概念”，笔者采用问卷调查的方式，对班 级47名学生进行了 “前概念”调查研究，以便设 计出更加 合理、更加有效的教学流程，从而提高课堂教学的有效性。一、调查内容及结果调查题1：你听说过“面积”吗？你能用自己的 话来说 一说什么叫面积吗？调查意图：考查学生对“面积” 一词的知晓率和认知程度。调查结果：调查数据显示，在对“面积” 一词的知晓度上，有21. 3%的学生从不同场合听说过。从他们的表述来 看，基本上是用“占地” “一样东西的范围” “地方的大 小”等生活化的语言来描述面积的概念。此

3、外，还有学生知 道“平方米是一个面积单位”。总体来看，一部分学生在日 常生活中对“面积”已经有了初步的感 知，但缺乏深入观察 和思考。调查题2：下面六个图形中，哪些图形可以看出它的大 小，哪些图形没有大小？先在你认为有大小的图形下面的 O里面打“V”，然后从中选一个图形，用你喜欢的方式 表示出该图形的大小。调查意图：教材都是用“物体表面或封闭图形的大小” 来定 义“面积”。在这个定义中，首先要抓住面积的度量对 象：物体表面或封闭图形，然后是“大小”。那么，学 生在 学习面积之前，他的直觉或者说他原有的知识积累，能否对 “怎么样的图形才有大小”做出正确的判 断？并且，在他们 的心目中，图形的大小

4、指的是哪里 呢？带着这样的疑问，笔 者设计了这道调查题，意在 考查学生对“面积”概念的内涵 和外延的原始认知。调查结果：首先，在判断图形有无大小上，只有15人做出了正 确的选择，占样本总人数的31.9%。而在错误选择上，主要 是“叶片实物图”和“曲边不规则图形”。需 要注意的是， 只有2人选择了角，说明在先前的“周长”概念学习里，学 生已经对“封闭图形”有了较为丰厚的经验。故而，课堂上 不需要做太多的解释。其次，在表示图形的大小上，21. 3%的学生表示正确。 这部分学生是用涂一涂或画一画的方式表示出大 小。而在错 误表示中，多数学生是用粗线描出图形的一周，认为图形的 大小指的就是图形的一周。

5、需要注 意的是，笔者通过访谈发 现，部分学生虽然描画了图形的外缘边线，但他们心里想着 的是“边线里边的一整片”。在他们看来，“我把外围边线 描画一遍，也就是把边线里面的整片区域包围进来了 。不 仅如此，相 对于内部区域的白色，外缘边线的黑色也在视觉 上给 学生带来了强烈的刺激。调查题3：如下图所示，将正方形甲割成两片，然后再 拼成乙图。请问甲、乙两图，哪一个比较大？A.甲图比较大B.乙图比较大C.甲图和乙图一样大D无法比较面积是一个几何量。在皮亚杰看来，“守恒是获得数和量概念的重要条件，儿童没有守恒概念就不能真正认识数 和量。”介于此，为了考查学生是否具有守恒概念，笔者安 排了这道调查题。调查

6、结果：调查数据显示，有70. 2%的学生不受形状变化的影响,做出正确判断。而有27. 7%的学生受知觉变化的影响，认为 “当形状改变时，图形的大小也改变了” 。调查题4：小明用同样长的两根铁丝围成了甲、乙两个 图形，那么（）。甲乙A.甲比乙大B.乙比甲大C. 一样大D无法比较调查意图：一个封闭图形，不仅有面积，还有周长。面积与周长是 同时存在于一个封闭图形的两个几何量。经验告诉我们，教 完面积之后，经常有学生混淆图形的周长与面积。那在没有 学习面积之前，学生是否也会出现这样的问题？带着这样的 思考，笔者设计了这道调 查题，意在考查学生对图形大小与 周长关系的原始认 知。调查结果：按照预想，这两

7、个图形的形状差距较大，学 生利用已有的生活经验，应当能轻易得出图形甲比图形乙大 的结论。但结果表明：有80. 9%的学生认为图形甲和图形乙 一样大。究其原因，这部分学生是从周长的角度去思考图形 的大小，认为周长相等即大小相等。实际上说明学生受先前 “周长”概念学习的负迁移，会更加关注图形的外缘边线，而不是所围平面区域的大小。调查意图：方格纸是比较或度量图形面积的重要工具。这道 题让学生用格子个数来刻画图形的面积，考查学生能 否 在方格纸上正确数出一个图形所占的单位个数，是 否具有基本测量单位的观念。从统计结果来看，有36人能在方格纸上正确数出每个 图形所占的格子数，占样本总数的76. 6%o对

8、于不完整的方 格，学生想到可以从图中切出一个三角形 并将它拼补到另一 个三角形，从而得到基本测量单位。可见，多数学生不仅具有面积守恒的观念，而且能运用正方 形作为基本测量单位来进行度量。而在错？答案中，有12.3%的学生认为甲图 占3个方格，丙图占6个方格；另有2人认为丙图占8个 方格。不难看出，这部分学生只计数了图形 里的完整方格， 没有认识到三角形与正方形所表示的基本测量单位之间的联 系。对他们来说，还没有基本测量单位的观念。调查题6： 两个长方形，都被信封遮住了一部分。猜一猜哪个长方形大，写一写 你的想 法。调查意图：面积是对“面”的度量。因此，学习面积，肯定 要研究面的大小。而研究面的

9、大小，学生就要经历比较两个或多个面的大小。需要追问的是，学生是采用什么策略 来判断两个图形的大小呢？由此想到设计这样一道调查题, 意在考查学生在图形大小判断上所采用的认知策略。调查结果：调查显示，有1 7人只给出了猜想，没有陈述理由。而在给出理由的学生中，将近20%的学生是用部分代 替了整 体。他们之所以认为号比号大，是因为 号长方形露出 来的部分要比号的大；其次，30%左右的学生是以两个长方形的某一个维度作为判断图形大小的标 准。其中，有8人是从宽的角度去考虑大小，认为号长方 形的宽比号的宽一些，所以号比号大；有7人是从长 的角度去考虑大小，猜想号长方形的长会比号长，所以 号比号大。止匕外，

10、还有5人是从长方形的两个维度综合 考虑，具有辩证意 识。二、教学建议与思考（一）直面学生认知现实，在举例与对话中，修 正原有认知经验从前测调查中可以看到，有学生早已从买房、搬 家等渠道了解面积、面积单位等词汇。不仅如此，对 于小学三年？ 的学生而言，已经在前期的生活和学习中积累了 “大小”的 观念，无论是在区分哪些图形有大小上，还是在用自己的方 式表示某一图形的大小上，都为本节课的学习提供了鲜活的 学习素材和学习资源，关键在于我们如何呈现并处理学生的 错误资源（或错 误的理解）。笔者想到，以学生认知现实为 切入口，上 课伊始，开门见山，直接揭题，通过“你们听说 过面 积吗？在哪儿听过？ ” “

11、我们身边哪儿有面积？ ”等问 题，激活学生已有的生活经验。在这个过程中，通过学生的 举例和对话，既实现了对学生原有认知经验的提取和检验， 也实现了学生对物体面积的认识。而在学生认识物体的面积 后，让学生试着用自己喜欢的方 式表示出一组图形的面积（见下图）。接着，通过“并 联反馈”的方式（既呈现正确 的做法，也呈现错误的做法），引导学生在讨论、辩论中对 原有认知进行修正和重构，逐步实现面积概念的同化和学习 方式的转变。（二）在“线”与“面”的辨析中，区分面积与周长 从前测调查中不难发现，在相当一部分学生的心目中，“线的长短”即“面的大小”。对于他们来说，“线”与 “面”混为一谈。鉴于此，在建立“

12、面积”概念时，教师就要强化“面积”的本质，注意面积与周长的概念区分。如当 有学生举例介绍数学书封面的面积时，可以让学生置身于“指周长”与“摸面积”的辨析活动，使学生结合具体材料 初步感知面积在 物体内部，周长在外围边线”。此外，在用 自己的方式 表示图形的面积时，再次安排辨析，通过对不同 作品的比较和讨论，凸显面积是对“面”的度量的核心本质。概念建立的过程是比较、辨析伴随的过程。为了强化两 者的区分，教师可以适时呈现一道概念辨析练习。例如，有 一个长方形花坛，现在要在花坛的四周 围上栅栏，还要在花 坛内铺上草坪（见右图）。想想看，哪个情形需要考虑花坛 的面积？面积和周长有什么区另U?（三）在“一维”与“二维”的感悟中，发展空 间观念学生在判断两个图形的大小时，多数是以图形的某一维 度（长或者宽）作为判断标准。那么，怎样引导学生的思维 从沿着一个方向延展走向沿着两个方向延展呢？笔者想到， 在练习中可以设计一个猜一猜的游戏环节。先让学生根据 “每行摆了几个，摆了几行”的直观图示猜想长方形的面 积，再让学生根据“长和 宽”猜想长方形的面积，接着让学 生思考“只看到一条边，能不能想象这个长方形的面积”， 使学生直观而又深刻地感悟