大一线性代数期末习题及答案

1、诚信应考，考试作弊将带来严重后果!线性代数期末考试试卷及答案注意事项：1.考前请将密封线内填写清楚；2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)；3. .考试形式：开(闭)卷；4. 本试卷共 五大题，满分100分，考试时间120分钟题号一二三四五总分得分评卷人)题 答 院不 学内线 封 密 (一、单项选择题(每小题2分，共40分)。1 .设矩阵A为2 2矩阵，B为2 3矩阵，C为3 2矩阵，则下列矩阵运算无意义的是 【】A. BACB. ABC C . BCA D. CAB2 .设n阶方阵A满足A2 +E =0,其中E是n阶单位矩阵，则必有【 】A. 矩阵 A不是实矩阵B. A=-E C. A

2、=E D. det(A)=13 .设A为n阶方阵，且行列式det(A)= 1 ,则det(-2A尸【 】A. -2 B. 2n C.-2nD. 14 .设A为3阶方阵，且行列式det(A)=0 ,则在A的行向量组中【 】A.必存在一个行向量为零向量B.必存在两个行向量，其对应分量成比例C.存在一个行向量，它是其它两个行向量的线性组合D.任意一个行向量都是其它两个行向量的线性组合5.设向量组相a2,a3线性无关，则下列向量组中线性无关的是A. aia2, a?a3, a3aiB.ai, a2,2ai3a 2C.a2,2a3,2a2a3D.a1一 a312,ai6.向量组(I):ai，,am(m

3、3)线性无关的充分必要条件是A.(I)中任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表出B.(I)中存在一个向量，它不能由其余m-1个向量线性表出C.(I)中任意两个向量线性无关D.存在不全为零的常数ki，,km，使kiaikmam 07 .设a为m n矩阵，则n元齐次线性方程组Ax 0存在非零解的充分必要条件是IA. A的行向量组线性相关B . A的列向量组线性相关C. A的行向量组线性无关D.A的列向量组线性无关8.设abi均为非零常数i=i, 2, 3),且齐次线性方程组ai Xia2X223X30biXib2X2b3X30aia3bi b2的基础解系含2个解向量，则必有A. d a2 o

4、B.ai a2 0 C.曳% 也 D.b2 b3bi b2bi b2 b32x1 x2 x3 i9.方程组x 2x X3 i有解的充分必要的条件是3 Xi 3x2 2x3 a iA. a=-3 B. a=-2 C. a=3 D. a=i10 .设Ti,刀2,“3是齐次线性方程组Ax = 0的一个基础解系，则下列向量组中也 为该方程组的一个基础解系的是A.可由4i,刀2,刀3线性表木的向量组B. 与刀i,刀2,刀3等秩的向量组C.Ti一刀2,刀 2一刀3,刀 3 iD.刀 i,刀 i-T3,刀 i-4 2- 4 311 .已知非齐次线性方程组的系数行列式为0,则【】A.方程组有无穷多解B.方程组

5、可能无解，也可能有无穷多解C.方程组有唯一解或无穷多解D.方程组无解12 .n阶方阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是A有n个【】A.互不相同的特征值B.互不相同的特征向量C.线性无关的特征向量D.两两正交的特征向量13.下列子集能作成向量空间 Rn的子空间的是A. (a1，a2,an)|aa20C. ( a1 ,a2, , an) | ai z, i 1,2,14.若2阶方阵A相似于矩阵BnB.(ai,a2, ,an) | ai 0n i 1,n1 02 -3D.3，an)l d 1i 1,E为2阶单位矩阵，则方阵E-A必相似于矩阵A. 1 01 4B.-1C.1 -400-24D.-10-2

6、 - 415.若矩阵A正定，则实数a的取值范围是A. a4C. a-4D. -4 a4二、填空题(每小题2分，共20分)。16 .设矩阵A 1 -1 3,B2 0,记AT为A的转置.则ATB =2 0 10 1-1 2 . .,17 .设矩阵A 2 ;则行列式det( AAT)的值为.3 4 818 .行列式5 9 1的值为.7 2 619 .若向量组 a1 (1, 2, 3 ), a2 (8, t, 24), a3 ( 0, 0, 1 )线性相关，则常数 t=.20 .向量组(10, 20), (30, 40),(50, 60)的秩为 21 .齐次线性方程组x1 x2 x3 0的基础解系所含

7、解向量的个数为2x1 x2 3x3022 .已知人 (1, 0, 2)T、X2 (3, 4, 5)T是3元非齐次线性方程组Ax b的两个解向量,则对应齐次线性方程Ax 0有一个非零解=.12323 .矩阵A023的全部特征值为 。00324 .设入是3阶实对称矩阵A的一个一重特征值，。(1,1,3)T、& (4, a, 12)T是A 的属于特征值入的特征向量，则实常数 a=.25.二次型 f (X1,X2,X3)X2 4x1X2 4x2 8x1X3 X2对应的实对称矩阵 A=三、计算题（，共50分）25.计算行列式26.0-306111342-2412750-22的值。，且 A2 ABE,其中

8、E是三阶单位矩阵，求矩阵B。27.a取何值时，方程组X14x1 7 x2X22x2X3X3310有解？在有解时求出方程组的通解。a28.29.设向量组21色冏线性无关。试证明：向量组1a1a2a3, 2 a1a2, 3 a3线性无关。试证向量组a1（1,0,1）,a2（1,1,0）,a3 （0,1,1）为R3的一组基,并求向量x (2,2,2)在该组基下的坐标。2007线性代数考试试题B 参考答案及评分标准、单项选择题（本大题共 20小题，每小题2分，共40分）1.A2.A3.B4.C5.D6.A7.B 8.C9.D 10.D11.B、填空题（本大题共12.C10空,13.B 14. C 15

9、. D每空3分，共30分)16.17.18.-36019.1620.21. 122.(2,4,3)T（或它的非零倍数）23. 1、2、324. 425.1-24-240三、计算题（每小题6分,共30分）26. D0 33 40 206412950223 4 52 2-26 9 24 分 96.27.解：由于A2AB E,因此iAB A2E,又A 1 0,故A可逆,所以B28.- 1n 2 0 ；故当且仅当a=2时，有解。2分A 0 -11-2 ,0 0 0 a-2当a 2时，得x1 3 2x2 （x是任意），X32 x232所以x 0 k 1（k是任意常数）8分21X22 （x3任意工即x 2 k 1（k是任意常数）.0129.证一：设有一组数 X1,X2,X3 使 X1 1 X2 2 X3 3 0,即(X1 X2)a1 (X1 X2)a2 (x1 X3)a30由a1,a2,a3线性无关，有x1x20x1x20 2分x1x30该方程组只有零解X1 X2 X3 0故1, 2, 3线性无关。6分证二：因a1,a2,a3线性无关，1, 2, 3用期加自线性表出的系数行列式111111-10 11 2 0故线性无关。（若只证明0,不弓5调为周3线1 -10 0 1性无关这一条件，就得出1, 2, 3线性无关的结论，扣2分）。