偏导数的定义及其计算法(1)(1)

1、8.2 偏 导 数一、偏导数的定义及其计算法二、高阶偏导数一、偏导数的定义及其计算法 类似地, 可定义函数zf(x, y)在点(x0, y0)处对y的偏导数.v偏导数的定义 设函数zf(x, y)在点(x0, y0)的某一邻域内有定义, 若极限xyxfyxxfx),(),(lim00000 存在, 则称此极限为函数zf(x, y)在点(x0, y0)处对x的偏导数, 记作 00yyxxxz, 00yyxxxf, 00yyxxxz, 或 fx(x0, y0). 一、偏导数的定义及其计算法v偏导数的定义 xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000. v偏导数的符号 00yyx

2、xxz, 00yyxxxf, 00yyxxxz, ),(00yxfx. 如果函数zf(x, y)在区域D内每一点(x, y)处对x的偏导数都存在, 那么f(x, y)对x的偏导数是x、y的函数, 这个函数称为函数zf(x, y)对x的偏导函数(简称偏导数), 记作xz, xf, xz, 或),(yxfx. v偏导函数一、偏导数的定义及其计算法v偏导数的定义 xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000. v偏导数的符号 00yyxxxz, 00yyxxxf, 00yyxxxz, ),(00yxfx. xz, xf, xz, 或),(yxfx. v偏导函数xyxfyxxfyx

3、fxx),(),(lim),(0. v偏导函数的符号 xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000. v偏导函数xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0. 偏导数的概念还可推广到二元以上的函数. 例如, 三元函数uf(x, y, z)在点(x, y, z)处对x的偏导数定义为xzyxfzyxxfzyxfxx),(),(lim),(0, 其中(x, y, z)是函数uf(x, y, z)的定义域的内点. v偏导数的求法 求函数对一个自变量的偏导数时, 只要把其它自变量看作常数, 然后按一元函数求导法求导即可. xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(00

4、00000. v偏导函数xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0. 讨论 下列求偏导数的方法是否正确？00),(),(00yyxxxxyxfyxf, 0 ),(),(000 xxxyxfdxdyxf 00),(),(00yyxxyyyxfyxf, 0 ),(),(000yyyyxfdydyxf. yxxz32 例1 求zx23xyy2在点(1, 2)处的偏导数. 解 例2 求zx2sin2y的偏导数. 解 00),(),(00yyxxxxyxfyxf, 0 ),(),(000 xxxyxfdxdyxf 00),(),(00yyxxyyyxfyxf, 0 ),(),(000yyyyx

5、fdydyxf. 8231221yxxz8231221yxxz 7221321yxyzyxxz2sin2yxxz2sin2 yxyz2cos228231221yxxz, 7221321yxyz. yxxz2sin2, yxyz2cos22. yxxz32 , yxxz32 yxyz23 yxyz23 . 解 证 例3 例 3 设) 1, 0(xxxzy, 求证 zyzxxzyx2ln1. 证 1yyxxz, 1yyxxz, xxyzyln. zxxxxxyxyxyzxxzyxyyyy2lnln1ln11zxxxxxyxyxyzxxzyxyyyy2lnln1ln11zxxxxxyxyxyzxxz

6、yxyyyy2lnln1ln11. 例4 例 4 求222zyxr的偏导数. 解 rxzyxxxr222解 rxzyxxxr222rxzyxxxr222 ryzyxyyr222 ryzyxyyr222ryzyxyyr222. 证 本例说明一个问题 偏导数的记号是一个整体记号,不能看作分子分母之商. 例5 已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数), 求证1pTTVVp. 证 因为VRTp, , 2VRTVp pRTV , RpVT , 所以 12pVRTRVpRVRTpTTVVp pRTV RVpT 12pVRTRVpRVRTpTTVVp12pVRTRVpRVRTpTTVVp12pVRTR

7、VpRVRTpTTVVp. v偏导数的几何意义 fx(x0, y0) f(x, y0)x fy(x0, y0) f(x0, y)y zf(x, y0) zf(x0, y) 是截线zf(x, y0)在点(x0, y0)处的切线Tx对x轴的斜率. 是截线zf(x0, y)在点(x0, y0)处的切线Ty对y轴的斜率. v偏导数的几何意义 v偏导数与连续性 对于多元函数来说, 即使各偏导数在某点都存在, 也不能保证函数在该点连续. 例如. 0 0, 0 ),(222222yxyxyxxyyxf 但函数在点(0, 0)并不连续.在点(0, 0), 有fx(0, 0)0, fy(0, 0)0, 提示：0

8、)0 ,(xf, 0) , 0(yf 0)0 ,()0 , 0(xfdxdfx, 0) , 0() 0 , 0(yfdydfy. 提示：当点P(x, y)沿直线ykx趋于点(0, 0)时, 有 22222022 )0 , 0(),(1limlimkkxkxkxyxxyxkxyyx. 因此, 函数f(x, y)在(0, 0)的极限不存在, 当然也不连续. 二、高阶偏导数v二阶偏导数 如果函数zf(x, y)的偏导数fx(x, y)、fy(x, y)也具有偏导数, 则它们的偏导数称为函数zf(x, y)的二阶偏导数. 函数zf(x, y)的二阶偏导数有四个其中fxy(x, y)、fyx(x, y)

9、称为混合偏导数. 类似地可定义三阶、四阶以及n阶偏导数.),()(22yxfxzxzxxx, ),()(2yxfxyzyzxyx, ),()(22yxfxzxzxxx ),()(2yxfyxzxzyxy, ),()(2yxfxyzyzxyx ),()(22yxfyzyzyyy. 解 22)(xzxzx, yxzxzy2)(, xyzyzx2)(, 22)(yzyzy. 此例中两个混合偏导数是相等的. 解 yyyxxz32233 解 yyyxxz32233, , xxyyxyz2392, xxyyxyz2392 例 6 设 zx3y23xy3xy1, 求22xz、33xz、xyz2和yxz2.

10、2226xyxz196222yyxyxz2226xyxz, 2226xyxz 2336yxz2336yxz 196222yyxyxz, 196222yyxyxz 196222yyxxyz196222yyxxyz. 定理 如果二阶混合偏导数xyz2及yxz2在区域 D 内连续, 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等. 定理 解 22)(xzxzx, yxzxzy2)(, xyzyzx2)(, 22)(yzyzy. 解 yyyxxz32233 解 yyyxxz32233, , xxyyxyz2392, xxyyxyz2392 例 6 设 zx3y23xy3xy1, 求22xz、33xz、xyz

11、2和yxz2. 2226xyxz196222yyxyxz2226xyxz, 2226xyxz 2336yxz2336yxz 196222yyxyxz, 196222yyxyxz 196222yyxxyz196222yyxxyz. 证 证 因为)ln(21ln2222yxyxz, 所以 22yxxxz222222222222)()(2)(yxxyyxxxyxxz222222222222)()(2)(yxyxyxyyyxyz因此 )ln(21ln2222yxyxz, 所以 22yxxxz, 22yxyyz 22yxyyz, 222222222222)()(2)(yxxyyxxxyxxz222222

12、222222)()(2)(yxxyyxxxyxxz, 222222222222)()(2)(yxyxyxyyyxyz222222222222)()(2)(yxyxyxyyyxyz. 0)()(22222222222222yxxyyxyxyzxz0)()(22222222222222yxxyyxyxyzxz0)()(22222222222222yxxyyxyxyzxz. 例7 例 7 验证函数22lnyxz满足方程02222yzxz. 同理 5232231ryryu, 5232231rzrzu. 32211rxrxrxrrxu 证 例8 例 8 证明函数ru1满足方程0222222zuyuxu,

13、 其中222zyxr. 52343223131rxrxrrxrxu52343223131rxrxrrxrxu52343223131rxrxrrxrxu. 提示 6236333223)()(rxrrxrrrxxrrxxxu6236333223)()(rxrrxrrrxxrrxxxu6236333223)()(rxrrxrrrxxrrxxxu. 32211rxrxrxrrxu32211rxrxrxrrxu32211rxrxrxrrxu, 因此 )31()31()31(523523523222222rzrryrrxrzuyuxu033)( 3352352223rrrrzyxr)31()31()31(523523523222222rzrryrrxrzuyuxu 033)( 3352352223rrrrzyxr. 同理 5232231ryryu, 5232231rzrzu