初等数论第一章第5节-最小公倍数

1、2021/8/61第五节 最小公倍数2021/8/62定义 1212121212,.nnnnna aaa aaa aaa aaa aa整数的公共倍数称为的公倍数的正公倍数中的最小的一个叫做的最小公倍数记为2021/8/63定理11212(1) ,1 |, , |;(2) , , ;(3),|,|,|;(4)| , , |.nnaaa aaa bb aa aaaaaa ba bb若则2021/8/64:(1),(2);证明显然2021/8/6511221211211212(3),|,|,|,|,|.|,;nniima aamaaaamammmmmmm设则由推出即同理可得故2021/8/66(4)

2、|, |,|, |,0,|, , |.a b b ba m b m mbma bb 显然又若则故有2021/8/67定理2, , , .( , )aba ba ba b对任意正整数有2021/8/68121212111:,.( , )( , )(,)1,( , ) ( , )( , ),(),.( , )( , ),( , ),( , )1,mabmak mbkabakbkkka ba babbka ba ba bbabkt tmakta ba btabmtmaba bababmta bt 证明 设 是 和 的一个公倍数 则于是即是整数 从而另一方面 对于任意的整数由所确定的 显然是 与 的公

3、倍数因此 与 的公倍数必是的形式当时 得到最小公 , .( , )aba ba b倍数2021/8/69推论1 两个整数的任何公倍数可以被它们的最小公倍数整除. 2021/8/610:,( , )1,.abmtaba bt证明是 与 的公倍数的形式且时 是最小公倍数结论成立2021/8/611推论2, , , .m a bma mbm a b设是正整数 则2021/8/6122:,(,) , .( , )( , )ma mbma mbma mbm abmabm a bm a ba b证明2021/8/613定理312122233-2-1-1-112,(2),.nnnnnnnnna aan na

4、 amm ammammama aam若是个正整数记则2021/8/614122233-111212121223312:,2,3,1,2,3, ,;,21,21.,.,nnniiiinnnnnna amm ammamm mina m a m inma aama aaa m a mm ma mm mm mmmma aa证明 由知且故是的一个公倍数反之 设 是的任一公倍数 则故由定理 推论又同样由定理 推论 得依此类推 最后可得因此故.n2021/8/615例题1525,231.求2221,391,136.求2021/8/616525 231525 231:525,2315775.(525,231)

5、211解2021/8/617:221,391,136221,391,136221 3915083 136,1365083,13640664.(221,391)(5083,136)2解2021/8/618 3.求正整数a,b,使得a+b=120,(a,b)=24,a,b=144.2021/8/619 3.ab=(a,b)a,b=24144=3456,又a+b=120,a=48,b=72或a=72,b=48. 2021/8/6204, , , , (,).a b ca b c ab bc caabc例 设是正整数则2021/8/621:3, , , , , , , ,( , ) , , , , ,

6、 ,( , , )(,)(,(,)(, ( , )( , ,)( , , )(,), , , , .aba b ca b ca ba ba b ca b ca b ca b cab bc caab bc caab c a babcab a b abcab a b caba ba ba b证明 由定理 知又又以上两式相乘可知结论成立2021/8/622( , ): , , , , , ( , )(, )( , ).(,( , ) )(,)(,)abcaba ba b ca b ccaba bca babcabcabcab a b cab ac bcab bc ca另证2021/8/623 例5

7、设a,b是正整数,证明(a+b)a,b=ab,a+b.2021/8/624():() , (),( , )( , )() ,( ,),( ,)( , ),() ,( , ),() ,( , )abb abab a babaa ba bb abb ab b abb aba bb abb ab a bb abb aba b证明而即结论成立2021/8/625思考问题1 , , :( , )( , )( , )1.a b cabca bb cc a的充要条件是2(0),(,). , m mmm ma baba b设是的公倍数 则3( , )1,(,)1.a bab ab若则2021/8/626 4.

8、判断下列结论是否成立.22232222(1)( , )( , ), , , ;(2)( , )( , ),( , , )( , );(3)| ,|,| ;(4)|,| ;(5)(,)(,);(6)( , , )( , ),( , ).a ba ca ba ca ba ca b ca bd a d abd baba baab ba ba b ca ba c若则若则若则若则2021/8/627 5.给出四个整数,它们的最大公约数是1,但任何三个数都不既约.2021/8/628-16,:(1)|,1,2,1;(2),|;(3)( , )1,|1.jppppp cjpa p aaa pp a设 是素数

9、 证明对任意正整数若则2021/8/6291:( , )( , )( , )1,(,)(,),)( ( , ),)( ,)1,3, , , .(,) , , ,3(,)1,( , )1,(,)(,( , ) )(,)(, )1,( , )1,a bb cc aab bc caab bc cab a c cab caabca b cab bc caa b cabcab bc caa bdab bc caab b a cab dcab dda b证明 若则由第 题得若由第 题得假设则产生矛盾 故同( , )1,( , )1.b cc a理可得2021/8/6302:(,)(,)( , ),( ,

10、)(,). , m mabmb mam a babm ma bmmababa b证明 因为所以2021/8/6313:( , )1,( ,)1,( ,)1,(,)1.a ba abb abab ab证明 由得同样所以2021/8/632 4.(1)不成立.如a=b=1,c=2; (2)成立; (3)不成立.如d=4,a=4,b=2; (4)不成立.如a=8,b=4; (5)成立; (6)成立.2021/8/6332 3 530,2 3 742,2 5 770,3 5 7105. 2021/8/634!18:(1),!(- )!(- )!|!.,!(- )!|(-1)!|;jpjppcjpjjpjppjpjpp c证明是整数又 为素数2021/8/635111111(2).11,.2,|.1,(1)(1)11(),|,1,2,1,|,|(1)(1).1. 1 ,2,|;ppppppppppppjppppaanp nnannnnc ncnnnnc ncnp cjpp nnpnnanap aa 用数学归纳法当时 结论成立假设当时 结论成立 即则当时且即时结论成立由知 对于任意正整数有2021/8/636-1-1(3)|,| (-1),( , )1,|1.pppp a