信号与系统第六章

1、第六章第六章 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z域分析域分析 Z Z变换变换常用序列的常用序列的Z Z变换变换Z Z变换的性质变换的性质反反Z Z变换变换 Z Z变换与傅里叶变换、拉普拉斯变换的关系变换与傅里叶变换、拉普拉斯变换的关系离散时间系统的离散时间系统的Z Z域分析域分析离散时间系统的频率响应离散时间系统的频率响应本章要点本章要点kskTttftf)()()(kkTtkTf)()()()(tfLsFss有令,ezsTkkszkftfL)(到的映射关系：sTze)(zFkksTkTfe )(kkzkfzF)(zzzFkfkcd)(j211C为F(z) 的收敛域(ROC )中的一闭

2、合曲线正变换：F(z)=Zfk反变换： fk =Z1F(z)(zFkfz或kkzkfzF)(0使上式级数收敛的所有z的范围称为F(z)的收敛域ROCRfRe zIm z右边序列的收敛域为z 平面中的一圆外区域fRz 求以下的Z变换及收敛域。解：解：其它0101)2(Nkkf) 1 (kakfk(1)11011)(zzzzFNkNk0:ROCz(2)1011)(azzazFkkkaz :ROCIm zRe z|a|有限长序列有限长序列z变换的收敛域为变换的收敛域为|z|00, 1) 1zkZazzkZk111)220110101jjcos21sinjcos1e11e)300zzzzzkZk201

3、100cos21cos1)cos(zzzkk201100cos21sin)sin(zzzkk6.3 单边单边z变换的主要性质变换的主要性质111),(fzRzzFkf222),(fzRzzFkf1.1.线性特性线性特性)()(2121zbFzaFkbfkaf),max(21ffRRz fzRzzFkf),(6.3 )(10nkknzkfzFzknkfZ)(1nkknzkfzFzknkfZf k nk n znF(z) |z| Rf|z| Rf|z| Rf6.3 kfk0 1kfk02 kfk0)(1nkknzkfzFzknkfZ 1)( 11fzFzkkfZ2 121fkkfZzkkfZ2 1

4、)(12ffzzFz依此类推依此类推 可证上式成立可证上式成立)(zFz求RNk= k kN的z变换及收敛域利用因果序列的位移特性和线性特性，可得11111)(zzzzFN111zzN1,111zzkZ由于RNk为有限长序列，故其收敛域为|z|0ROC扩大线性加权后序列z变换的ROC可能比原序列z变换的ROC大求以下的单边z变换。, 2, 1, 0, 12, 0, 2, 1, 0,2, 1nnknnkkf)1(0ikfkykii( (1) )( (2) )kkfN10lNkfl 若计算出f1k的z变换F1(z)，利用因果序列的和，则可求得其单边的z变换为NllNzzFkkfZ)(10NzzF1

5、)(11z分析：分析：周期为N的单边周期序列fNkk可以表示为第一个周期序列f1k及其位移f1klN的线性组合，即求以下的单边z变换。, 2, 1, 0, 12, 0, 2, 1, 0,2, 1nnknnkkf)1(0ikfkykii( (1) )( (2) )(1) f k可表示为 42kkkkf利用k的Z变换及因果序列的位移特性，可得242111)(zzzzF1z(2) 将yk改写为 *) 1() 1(0kfkikfkykkii由(1)题的结果及卷积特性，可得 )1)(1 (1)(21zzzY1z6.3 )/(azFkfaZkfRaROC例：例：求aksin(0k) k 的z变换及收敛域利

6、用z变换的指数加权特性，可得1z201100cos21sin)sin(zzzkkz201100)/(cos)/(21)/(sin)sin(zzzkkk201210cos2sinzzzaz 6.3 zzFzkkfd)(dfRROC例：例：求fk=(k+1)ak k的z变换及收敛域利用z域微分特性，可得azazkaZk,111kkaZkzazzd11d1azaz,)1 (121Zkkak) 1(azazaz,)1 (211利用z变换的线性特性，可得6.3 )()(2121zFzFkfkfROC 包含Rf1Rf22121nkfnfZkfkfZn证：21nkfZnfnnnznfzF)(12)()(21

7、zFzF利用z变换的卷积特性，以及1,111zzkz0nfZkn0 * knf nf kk0kZkfZnfZkn11)(zzF可得fzRzzFkf),(设), 1max(fRz 6.3 初值与终值初值与终值定理定理)(lim0zFfz)() 1(lim1zFzfz若(z1)F(z)的收敛域包含单位圆，则F(z) = 1/(1a z1) |z| |a| 求f 0， f 1和 f 。)(lim0zFfz111limazz1limazzz根据位移特性有 )0)( 1fzFzkkfz对上式应用初值定理，即得 )0)(lim 1 fzFzfzaazazzlim当|a|1时，(z1)F(z)的收敛域包含单

8、位圆，由终值定理，有 )() 1(lim1zFzfz0) 1(lim1azzzz6.4 zzzFkfkcd)(j211C为F(z) 的ROC中的一闭合曲线。 计算方法： 幂级数展开和长除法 部分分式展开 留数计算法6.4 nnmmzazazbzbbzAzBzF111101)()()(1. mn，分母多项式无重根111)(zprzFiini各部分分式的系数为ipziizFzpr)()1 (16.4 nnmmzazazbzbbzAzBzF111101)()()(2. mn)()()(1111zAzBzkzFiinmi按(1)(2)情况展开多项式121141)21 (21)(zCzBzAzF4)()

9、41 (41zzFzC1)()21 (221zzFzB12112141)21 ()21 ()21)(zzCBzAzzF2)21)(dd)2(12211zzzFzA442) 1(22kkkfkkk,4)41 ()21 (1)(:121kfzzzzF求例,)(222kfazazzzF求例： F(z)有一对共轭复根，复根时部分分式展开, 可以直接利用201100cos21sin)sin(zzzkkZ20100cos21sin)1(sin(zzkkZ,)(222kfazazzzF求例：2111)(zzF)1(2sin(1kkkf)2cos(kkakfk2)/(11)(azzF由指数加权性质0,)1)(

10、21 (1)(211zzzzzFA=4/3, B=2/3, C= 1/3;2121)3/cos(211zzzz)3/sin(3)1(3sin()3/sin(3)3sin(2)2(34kkkkfk 求fk。2111121)(zzCBzzAzFB, C用待定系数法求6.4 zzzFkfkcd)(j211)(Re11kpznizzFsi若F(z)z k1在z = pi处有一阶极点，则该极点的留数为 iizzkikpzzzFzzzzFs11)()()(Re若F(z)z k1在z = p处有一阶极点，则该极点的留数为 pznnnkpzzzFpznzzF111d)()(d)!1(1)( sRe例：例： ,

11、用留数法求fk。1,5 . 05 . 05 . 02)(22zzzzzzFF(z)z k1在z=1, z=0.5有两个一阶极点，其留数为1111)() 1()(ReszkzkzzFzzzF15 . 05 . 021zkzzz115 . 01)()5 . 0()(ReszkzkzzFzzzFkzkzzz)5 . 0(15 . 025 . 05 . 0111)(Res)(ReszkzkzzFzzFkf=1+(-0.5)kk 6.5 收敛域(ROC): R |z|R+kkzkfzF)(能够使上式收敛的z值区域称为z变换的6.5 kNkzkfzF)(1 RzROC右边序列N106.5 左边序列kNkz

12、kfzF)(2 RzROCN206.5 kkzkfzF)(RzRROC 双边序列求下列信号的z变换及收敛域。1kakfk 12kbkfk213kfkfkf10111)(azzazFkkkaz bz 11211)(bzzbzFkkk1131111)(bzazzFbzaba |b|，则f3k的z变换不存在6.5 )(11zFkfz;ROC111fffRzRzR)(22zFkfz;ROC222fffRzRzR)(zFkfz;ROCfffRzRzR)()(2121zbFzaFkbfkaf21ROCffRR包含6.5 f k n znF(z) ROC = Rf)/(azFkfaZkfRaROCzzFzk

13、kfd)(dfRROC6.5 )()(2121zFzFkfkfROC 包含Rf1Rf2)/1 (zFkfZffRzR11两个序列的自相关定义为 求ZrfnknfkfnrkfknfZkfnrZkfkkfzzFkfnrZ)()()(1zFzF利用双边z变换的时域位移性质，可得Zkka 111111zazaaz/1Zkka 1111111azzazaaz 变换的求变换性质利用z 1,zkak由于利用双边Z变化的时域翻转性质，可得6.5 | 111azazkaZk| 11 11bzbzkbZk 将序列z变换分解为部分分式之和，然后求解各部分份式对应的z反变换 )31)(21 (1)(11kfzzzF求

14、不同收敛域对应的11313212)(zzzF(1) |z|3 ，F1(z)和 F2(z)均对应右边序列)32(11kkfkk(2) 2|z|3，F1(z)对应右边序列， F2(z) 对应左边序列 13211kkukfkk(3) |z|2 ，F1(z)和 F2(z)均对应左边序列 13 1211kkukfkkF2(z)F1(z) 前面所讨论的傅立叶变换、拉普拉斯变换和前面所讨论的傅立叶变换、拉普拉斯变换和Z Z变换这三种变换变换这三种变换域分析法之间有着密切的联系，在一定条件下可以相互转换。域分析法之间有着密切的联系，在一定条件下可以相互转换。一、一、Z Z变换与傅里叶变换的关系变换与傅里叶变换

15、的关系 考虑单位圆上的考虑单位圆上的Z Z变换，即变换，即jze jjj kz ekF zF ef k eFj f k f t上式表明离散序列上式表明离散序列在单位圆上的在单位圆上的Z Z变换等于与此序列相对应的变换等于与此序列相对应的进行理想抽样后函数的傅里叶变换。进行理想抽样后函数的傅里叶变换。连续时间函数连续时间函数二、二、Z Z变换与拉普拉斯变换的关系变换与拉普拉斯变换的关系 当令当令sTze时，时， sTz eF zFs上式说明，此时的上式说明，此时的Z Z变换就是相应的连续时间函数变换就是相应的连续时间函数 经经过理想抽样后的函数的拉普拉斯变换。过理想抽样后的函数的拉普拉斯变换。

16、f tZ Z变换和拉氏变换的关系还可以由两者在变换和拉氏变换的关系还可以由两者在Z Z平面和平面和S S平面的对平面的对应关系来说明应关系来说明 sjsTze将将代入代入得得jTTj Tjzeeez eTzeT不妨，令不妨，令1T ，有，有zeTezezeeeezTjTjTTjsT)( j平面s Imz平面zRez由此得出由此得出s s平面和平面和Z Z平面的映射关系：平面的映射关系：0,sj1,z（1 1）s s平面的虚轴平面的虚轴映射为映射为Z Z平面上的单位圆（平面上的单位圆（）；）；01z （2 2）左半）左半s s平面（平面（）映射为）映射为Z Z平面上单位圆内的部分（平面上单位圆内

17、的部分（）；）；01z （3 3）右半）右半s s平面（平面（）映射为）映射为Z Z平面上单位圆外的部分（平面上单位圆外的部分（）；）； 6.7 0 12 11021kkfbkfbkyakyaky对差分方程两边做z变换，利用)()( 12)( 1)()(11012222111zFzbzFbzyayazYzayazYzazY 1)( 11yzYzkkyZ2 1)(212yzyzYzkkyZ初始状态为y1, y2221112211 12 1)(zazazyayayazYx)(1)(2211110zFzazazbFbzYf)()(1zYzYZkyfxYx(z)Yf (z)(11 12 1)(2211

18、11022111221zFzazazbFbzazazyayayazY例例： yk4yk1+4yk2 = 4(3)k k y1=0 ，y2=2，求yx k、yf k、yk。Y(z)4z1Y(z)y1+4z2Y(z)+z1y1+y2=4F(z)21211441)(444124 14 14)(zzzFzzyyzyzYYx(z)Yf (z)yk4yk1+4yk2 = 4(3)k k y1=0 ，y2=2，求yx k、yf k、yk。yf k=3.2k(2)k1+2.56(2)k+1.44(3)k kyk=yxk+yfk22)2(8)(zzzYxkkxkky)2(8)2(8344. 1256. 2)2(

19、2 . 3)(2zzzzzYf211322 1 13)(zzyzyyzY)(3212121zFzzzz令k=k2 已知一满足差分方程, 12, 2 10 12 1322kkfyykkfkfkfkykyky由z域求系统零输入响应，零状态响应和完全响z应2 12 132kfkfkfkykyky对差分方程两边做z变换)()1 ()2 1)()1)(3)(221121zFzzyzyzYzyzYzzY 已知一满足差分方程, 12, 2 10 12 1322kkfyykkfkfkfkykyky由z域求系统零输入响应，零状态响应和完全响应211322 1 13)(zzyzyyzYx2113225zzz115

20、 . 015 . 013zz)5 . 0() 1(3)(111kzYZkykkxx零输入响应为211322 1 13)(zzyzyyzY)(3212121zFzzzz211322 1 13)(zzyzyyzY)(3212121zFzzzz 已知一满足差分方程, 12, 2 10 12 1322kkfyykkfkfkfkykyky由z域求系统零输入响应，零状态响应和完全响应零状态响应为121211132)1 ()(zzzzzzYf1115 . 016/515 . 016/1zzz)5 . 0)(6/5() 1(5 . 06/1)(1kzYZkykkff)5 . 0)(3/4() 1(5 . 36

21、/1kkykykykkfx H(z)H(z)系统函数的定义 H(z)与hk的关系 z域求零状态响应 求H(z)的方法 系统在零状态条件下，输出的z变换式与输入的z变换式之比，记为H(z)。)()()(zFzYkfZkyZzHffH(z)hk)(khZzH)(1zHZkh1)(khZkhZkZkyZzHfkhhkH(z)f kyf k = f k*hkF(z)Yf (z) = F(z)H(z)H(z) 由系统的单位脉冲响应求解：H(z)=Zhk 由系统的差分方程写出H(z)(kfZkyZzHf 由定义式01110111)(azazazbzbzbzbzHnnnmmmm)()()()(2121nmm

22、zzzzzzrzrzrzbniiizzk1 1)(11kzkkhkiniiH(z)hkkkkk)Re(zkkkk)Im(z11jj|rk e k zsyk ee kM zsyykMeMyM kh k )()(0)(lim)(0khZzHkhkhkk即 H z H z H z 0.110.221y ky ky ke ke k例1 10.40.5z zH zzz120.4,0.5zz (2)2 (1)( )( )(0)1, (1)0zy ky ky kkyy例.用 变换法求差分方程的解已知10200232112222 ( )( )2 ( )( )( )1(0)1, (1)0 ( ) 12 ( )

23、1( )1( )(1) (1)11(1)13141412(1)1( )4nnnnzzz Y zy n zz Y zy n zY zzyyzz Y zz Y zY zzzzzA zB zB zY zzzzzzzzzzzzy k解：将方程两边取 变换，得将代入上式，整理得故31( 1) 042kkk ( )51( )(1)(2)( )(1)66.h ky ky ky kf kf k例.求下列差分方程的单位函数响应又当激励为单位阶跃序列时，求零状态响应序列1121( )51166zH zzz解：求系统函数:)()21(3)31(4)()(kkhzHkk逆变换得求1)()()()()(zzzHzFzH

24、zYzYzszs态响应求阶跃输入时的零状)()21( 3)31(2)()(kkyzYkkzs逆变换求 .3112121483123y ky ky ke ke kH Zh k例一线性非移变因果系统，有下列差分方程描述：画出只用两个延时单元的系统模拟图；求系统函数，并绘出其零极图；判断系统是否稳定，并求； 图如下：由以上两式画出模拟框则满足下式设中间变量解qkqkykekqkqkqkq 变换对原差分方程两边取得令得由系统差分方程令已知ZeykyekkykkeK11. 1000, 20, 0, 0, 0)2(D kq1kq2kq ke ky+D438131 22222311

25、11483113331114842171033311114242710331142z Y zzyzY zY zz E zzezE zzzzzY zH zE zzzzzzH zzzzzzzzH zzz整理上式得314121)(Imz)Re(z收敛域收敛域41 21 收敛域21|z 稳定。平面单位园内，故系统位于，的极点因zzzzHKKzHZkhKK21412131041373211 四、四、)()()(2zXzHzY)()()(12zFzHzH)()()()()(21zXzHzXzHzY)()()(21zFzHzH)()()(zKzEzY)()()()(zYzzFzE)()()(1)()(zFz

26、KzzKzY)()(1)()(zKzzKzH01ikfbjkyakyniinjjjnjjiniizazbzH101)(设差分方程中的 m=n，即iniijnjjzbza01.11H1(z)H2(z)njjkfjkxakx1 0ikxbkynii系统可以看成两个子系统的级联)()(11)(11zFzXzazHjnjj)()()(02zXzYzbzHinii描述这两个系统的差分方程为na1na2a1anb1nb2b1b0bkfkynkx1 nkx2kx1kxkxDDDnnnnnnnnzazazazbzbzbbzH) 1(111) 1(11101)(H(z) = H1(z) H2(z) . Hn(z) 将系统函数分解为一阶或二阶相乘的形式，即 画出每个子系统直接型模拟流图，然后将各子系统级联。H1(z)H2(z)Hn(z)F(z)Y(z)H(z) = H1(z) +H2(z) + . +Hn(z) 将系统函数分解为一阶或二阶相加的形式，即 画出每个子系统直接型模拟流图，然后将各子系统并联。F(z)Y(z)H1(z)H2(z)Hn(z)已知 试作其直接形式，并联形式及级联形式的模拟框图。21212 . 01 . 016 . 06 . 33)(zzzzzH0.233.60.60.1z1z1+ykfk已知 试作其直接形式，并联形式及级联形式的模拟框图。21212 .