恒成立能成立问题总结(详细)

1、恒成立问题的类型和能成立问题及方法处理函数与不等式的恒成立、能成立、恰成立问题是高中数学中的一个重点、难点问题。这类问题在各类考试以及高考中都屡见不鲜。感觉题型变化无常，没有一个固定的思想 方法去处理，一直困扰着学生，感到不知如何下手。在此为了更好的准确地把握快速解 决这类问题，本文通过举例说明这类问题的一些常规处理。一、函数法(一)构造一次函数 利用一次函数的图象或单调性来解决对于一次函数 f (x) kx b(k 0), x m,n 有：f (x) 0恒成立k0或k0f (m)0;f(m)0f(n) 0f (n)0f (x) 0恒成立f(m)0f(n)0例 1 若不等式 2x 1 mx2

2、m对满足2m2的所有 m都成立，求 x 的范 围。解析：将不等式化为：m(x2 1) (2x 1)0，构造一次型函数： g(m) (x2 1)m(2x1)原命题等价于对满足2 m 2的 m，使 g(m) 0 恒成立。由函数图象是一条线段，知应g( 2)022(x2 1)(2x 1) 0g(2)02(x2 1)(2x 1) 0解得 1 7 x 1 3 ，所以 x的范围是 x ( 1 7 ,1 3)。2 2 2 2小结：解题的关键是将看来是解关于 x的不等式问题转化为以 m为变量， x 为参数 的一次函数恒成立问题，再利用一次函数的图象或单调性解题。练习 :（1） 若不等式 ax 1 0对 x 1

3、,2 恒成立，求实数 a 的取值范围。（2）对于 0 p4 的一切实数，不等式 x 2 px4 x p3 恒成立，求 x取值范围。（答案：或）（二）构造二次函数 利用二次函数的图像与性质及二次方程根的分布来解决。对于二次函数 f （ x）ax 2 bx c0(a 0) 有：( 1) f (x)0在xR 上恒成立a 0且0 ；( 2) f (x)0在xR 上恒成立a 0且0（ 3）当 a0 时，若f (x) 0在 , 上恒成立bbb2a或2 a或2af ( )00f ( ) 0若 f ( x)0在 上恒成立f ( ) 0f ( ) 0（ 4）当 a0时，若f ( x) 0在 , 上恒成立f()0

4、f()00在bbb若 f ( x) 上恒成立2 a或2a或 2 af ( ) 00f ( ) 0例 2若关于 x的二次不等式： ax2 (a 1)x a 1 0的解集为 R，求 a的取值范围解：由题意知，要使原不等式的解集为R ，即对一切实数 x原不等式都成立。只须a0a0(a 1)2 4a(a 1) 03a2 2a 1 0a0a 1或 a1a31 . a 的取值范围是3说明：1、本题若无“二次 不等式”的条件， 还应考虑 a0的情况， 但对本题讲 a时式子不恒成立。 2、只有定义在 R上的恒二次不等式才能实施判别式法；否则，易造成 失解。练习：1、 已知函数 ymx2 6mx m 8 的定义

5、域为 R，求实数 m 的取值范围。答案 0 m 1 )2 、已知函数 f(x) x2 2kx 2在( 1, )时 f(x) k 恒成立，求实数 k的 取值范围。(答案 3 k 1)提示：构造一个新函数 F(x) f(x) k 是解题的关 键，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。三)、利用函数的最值 分离参数法或值域法若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围 为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边即 分离参变量 ， 则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。 注意参数的端点值能否取到需检验 。类型一 ： “ a f (

6、x) ”型恒成立)1) x D,f (x)m 恒成立f (x)min m ；2) x D, f ( x)m 恒成立f ( x ) max ；二、(能成立、有解)1) x D, f (x)m 能成立f (x)在 D内有解f (x)max m ；2) x D, f (x)m 能成立f (x)在 D 内有解m f ( x) min ；三、(恰成立)( 1)不等式 f xA 在区间 D 上恰成立不等式 f xA的解集为 D ；2)不等式 f xB 在区间 D 上恰成立不等式 f xB 的解集为 D .四、(方程有解)方程 m f ( x) 在某个区间上有解，只需求出f (x) 在区间上的值域 A 使

7、m A 。例 3：设 f ( x)lg12xx, 其中 a R ，a43如果 x ( .1)时， f (x) 恒有意义，求 a的取值范围。解：如果 x.1)时，f (x) 恒有意义不等式 1 2x a4x 0对 x ( ,1)恒成立1 2x4x(2 x 2 2x) ，x ( .1) 恒成立。令tg(t )(t1g(t)对 t (1,234 x21.1)，则 t ( , )21)恒成立，又 g(t) 在t , ) 上为减函数，t2)，又 x (1g(t )max g ( )2例 4：若关于 x 的不等式ax343 的解集不是空集，则实数 a 的取值范围。解： 设 f ( x) x 2 axa .

8、 则关于 x 的不等 式 x2 ax a3的解集 不是空 集f(x)3在 R上能成立f (x)min3,即 f ( x) min4a a243，解得 a 6或 a 2例 5 不等式kx2 k 20 有解，求 k 的取值范围。解：不等式 kx2k 2 0 有 解k(x2 1) 2 能 成 立 k 22 能 成立x1k (x22 1)max 2， 所以 k ( ,2)。例 6(2008 年上海)已知函数 f(x)2x21|x|若不等式 2t f(2t)+m f(t)0 对于 t1, 2恒成立，求实数 m 的取值范围解：本题可通过变量分离来解决1 t 1212t ) m(2t 21t) 0当 t 1

9、,2 时， 2t (22t2t 4t 2t 即 m(22t 1) (24t 1) ，22t1 0， m(22t1)2tt 1,2 ， (22t 1) 17,5故 m 的取值范围是 5,例 7(1990 年全国)设 f (x)lg1x2x 3x(n 1)x nxna，其中 a 为实数， n任意给定的自然数，且 n 2 ，如果 f (x) 当 x (，1 时有意义，求 a 的取值范围解 ：本题即为对于 x (，1，有 1x 2x(n 1) x nxa0恒成立这里有三种元素交织在一起，12分离出来，得 a (1)x (2)x nn1 x 2 x 构造函数 g(x)(1)x (2)xnn若考虑到求a

10、的范围，可先将 a结构复杂，难以下手，(nn1)x(n n(n 1) x ， 则 问 题 转 化 为 求 函 数 g(x) 在 n2) ，对于 x ( ， 1恒成立x ( ，1 上 的 值 域 ， 由 于 函 数 u(x)(k)x(k 1，2， ，n 1) 在nx ( ，1 上是单调增函数，1则 g(x)在( ，1 上为单调增函数于是有 g(x)的最大值为 g(1)1(n 1)，21从而可得 a (n 1) 2如何在区间 D上求函数 f(x) 的最大值或者最小值问题 , 我们可以通过习题的实际 , 采 取合理有效的方法进行求解 , 通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的 配方法、

11、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f (x )的最值类型二：“ f x g(x) ”型1) x D, f (x) g(x)恒成立f (x)的图象恒在 g ( x)的图象的上方f(x)min g( x)max ( x D)恒成立h(x) f(x) g(x) 0恒成立。例 8 已知 f(x)= lg(x+1) ， g(x)=lg(2x+t) ，若当 x0,1 时， f(x) g( x) 恒成立， 求实数 t 的取值范围 .解 f(x) g(x) 在 x 0,1 恒 成 立 ， 即 在 x 0,1 恒 成 立在 0,1 上的最大值小于或等于零x0,1 ，F(x) < 0，即 F

12、(x) 在0,1 上单调递减， F(0) 是最大值 .f(x) F(0)=1 - t 0，即 t 1.类型三：“ f x1 g(x2) ”型 (恒成立和能成立交叉)( 1) x1 D, x2 E,f (x1)g(x2) 成立f (x1)ming(x2 )f(x1 )ming(x2)f ( x1 )min g(x)min例 9 已知两个函数 f (x)8x216x k,g(x)2x3 5x 24x，其中 k 为实数。1)对任意 x3,3 ，都有 f (x) g( x)成立，求 k 的取值范围；2)存在 x3,3 ，使 f (x) g( x)成立，求 k 的取值范围；( 3)对任意 x1,x23,

13、3 ，都有 f (x1) g(x2) ，求 k的取值范围。解析：(1)设h(x)g(x) f(x) 2x3 3x2 12xk 问题转化为 x 3,3 时，h(x) 0恒成立，故 h(x)min 0。令h'(x) 6x2 6x 12 0，得 x1或x 2。由 h( 1) 7 k,h(2)20 k,h( 3) k 45,h(3) k9，故 h(x)min45k由 k 45 0 k 45 。(2)据 题意：存在 x3,3 ，使 f(x) g(x) 成立h(x) g(x)f(x)0 在x 3,3 有解，故 h( x )max 0 ，由( 1)知 h(x)max k7，于是得 k7。( 3)分析

14、：它与( 1)问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别。对任意x1,x23,3 ，都有 f (x1) g(x2) 成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，x1,x2的取值在 3,3 上具有任意性，因而要使原不等式恒成立的充要条件是：f(x)maxg(x)min,x3,3 ，由 g '(x) 6x2 10x 4 0 ，得 x 1或x32 ，易得 g(x)min g( 3) 21，又 f (x) 8(x 1)2 8 k，x 3,3 .1a例10：(2010山东)已知函数 f (x) lnx ax1 (a R).x1( ) 当 a时，讨论 f(x) 的单调性；2()设 g(x) x2 2

15、bx 4.当 a 1时，若对任意 x1 (0,2) ，存在 x2 1,2 ，使 4f (x1) g( x2) ，求实数 b 取值范围 .解析：()当a 0时，函数 f (x)在(0,1)单调递减， (1, )单调递增；1当a时 x1 x2，h(x) 0恒成立，此时 f (x) 0，函数 f(x)在2(0, ) 单调递减；11当0 a 时，函数 f ( x)在(0,1) 单调递减， (1, 1)单调递增，2a1( 1, ) 单调递减 .a1 ()当 a 时， f (x) 在( 0， 1)上是减函数，在( 1，2)上是增函数，41 所以对任意 x1 (0, 2) ，有 f (x1) f (1) -

16、 ，21又已知存在 x2 1,2 ，使 f(x1) g (x2 ) ，所以g(x2) ，x2 1,2 ，()2又 g(x) (x b)2 4 b2 ,x 1,2当 b 1时， g(x)min g(1) 5 2b 0 与()矛盾；当 b 1,2 时， g(x)min g(1) 4 b2 0 也与()矛盾；1 17当 b 2 时， g(x)min g(2) 8 4b ,b .2817 综上，实数 b的取值范围是 17, ).8例 11 已知函数 ，若对任意 x1， x2-2,2 ，都有 f(x 1) <g(x 2) ，求 c的范围 .解 因为对任意的 x1，x2-2,2 ，都有 f(x 1)

17、 < g(x 2)成立，f(x) max< g(x) min.f (x)=x 2-2x-3 ，令 f (x) > 0 得 x>3 或 x<-1 ；f (x) < 0 得-1 <x< 3.f(x) 在 -2,-1 为增函数，在 -1,2 为减函数 .f( -1)=3 ， f(2)=-6 ， f(x) max=3. c< -24.类型四： “ f(x1) f x f (x2)”型例 12：已知函数，若对任意 xR，都有 f(x 1) f(x) f(x 2) 成立，则|x 1-x 2| 的最小值为 .解 对任意 xR，不等式 f(x 1) f(x

18、) f(x 2) 恒成立，f(x 1) ，f(x 2) 分别是 f(x) 的最小值和最大值 .对于函数 y=sinx ，取得最大值和最小值的两点之间最小距离是 ，即半个周期 .又函数 的周期为 4，|x 1-x2| 的最小值为 2.类型五：例 13 (2005 湖北)在 y=2 x， y=log 2 x， y=x 2， y=cosx 这四个函数中，当 0<x1<x2<1 时，使 恒成立的函数的个数是 ( )A.0 B.1 C.2 D.3的函数，解 本题实质就是考察函数的凸凹性，即满足条件 应是凸函数的性质，画草图即知 y=log 2x 符合题意 .类型六： .“>0”型

19、 例 14 已知函数 f(x) 定义域为 -1,1 ，f(1)=1 ，若 m，n-1,1 ，m+n0 时，都有，若 f(x) t2-2at+1 对所有 x-1,1 ，a-1,1 恒成立，求实数 t 的 取值范围 .解 任取 - 1x1< x21，由已知> 0，又 x1-x 2<0，f(x 1)-f(x 2) < 0，即 f(x) 在 -1,1 上为增函数 .f(1)=1 ，x-1,1 ，恒有 f(x) 1.22要使 f(x) t2-2at+1 对所有 x-1,1 ，a-1,1 恒成立，即要 t 2- 2at+1 1恒 成立，2故 t 2- 2at 0恒成立 .2令 g(

20、a)=t 2-2at ，只须 g(- 1) 0且 g(1) 0，解得 t -2 或 t=0 或 t 2.评注 形如不等式“>0”或“<0”恒成立，实际上是函数的单调性的另一种表现形式，在解题时要注意此种类型不等式所蕴涵的重要信息 . 类型七：“ |f(x 1) <f(x 2)| <t(t 为常数 ) ”型1< t 2) 都有 |f(x 1)-f(x 2)| 例 15 已知函数 f(x)=-x 4+2x3 ，则对任意 t 1，t 2- ,2(t 恒成立，当且仅当 t 1=，t 2= 时取等号 .解 因为 |f(x 1)-f(x 2)| |f(x)max-f(x) m

21、in| 恒成立，x-,2易求得|f(x 1)-f(x 2)| 2.)(x 1x2) 时总有 |f(x 1)-f(x 2)| <类型八：“ |f(x 1)-f(x 2)| |x 1-x 2| ”型3例 16 已知函数 f(x)=x 3+ax+b，对于 x1,x 2(0,|x 1-x 2| 成立，求实数 a 的范围 .3解 由 f(x)=x +ax+b ，得 f (x)=3x 2+a，当 x(0,) 时， a< f (x) < 1+a.|f(x 1)-f(x 2)| < |x 1-x 2| ，-1 a 0.评注 由导数的几何意义知道，函数y=f(x) 图像上任意两点 P(x

22、 1,y 1) ， Q(x 2,y 2) 连线的斜率(x 1x2) 的取值范围，就是曲线上任一点切线的斜率 ( 如果有的话 )的范1)-f(x 2)| m|x 1-x 2| 或|f(x 1)-f(x 2)| m|x 1-x 2|(m围，利用这个结论，可以解决形如 |f(x>0) 型的不等式恒成立问题 .(四)数形结合法对一些不能把数放在一侧的，可以利用构造对应两个函数的图数学家华罗庚曾说过： “数缺形时少直观，形缺数时难入微” ，这充分说明了数形结合 思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不 等式有着密切的联系 , 象法求解。2 x 1 ，得 2 1x

23、a ，得 x22标系中作出它们的 图象，如果两 个函数 分别在 x 1和x 1处相交，则由 1 2 1 1 x 1 x2a 1得到 a分别等于 2和 0.5 ，并作出函数 y 2x及y ( )x2解析：由 f (x)ax ，构造出两个函数并在同一直角坐2212 2 a及( 1)2 2的图象，所以，要想使函数x2ax 在区间x(1,1) 中恒成立， 只须 y 2x 在区间 x ( 1,1) 对应的图象在x21 在区间2x(1,1) 对应图象的上面即可。当a 1时 , 只有 a 2 才 能保证，1时，只有 a 1 才 可 以 ， 所 以21 ) f (x)g(x)函数 f (x) 图象恒在函数g(

24、x) 图象上方；2) f (x)g(x)函数 f(x) 图象恒在函数g(x) 图象下上方。例 17 已知 a0,a1, f (x) x2 ax,当x( 1,1)时,有f (x)的取值范围。1 恒成立 ，求实数 a21a 12,1) (1,2 。24例 18 设 f (x)x2 4x , g(x) x3的取值范围 .分析：在同一直角坐标系中作出如图所示， f (x) 的图象是半圆g(x) 的图象是平行的直线系 4x要使 f(x) g(x) 恒成立，则圆心2,0) 到直线 4x 3y 31 a,若恒有 f (x) g(x)成立,求实数 a满足8 3 3a 25解得 a5或 a(舍去 )练习：若对任意x R, 不等式ax 恒成立，求实数a的取值范围。1a2练习：(1)求二次函数的解析式。f (x) x2 x1(2)若f (x)2xm 在区间 1,1 上恒成立，求 m 的取值范围。(,1)(3)若f (x)2xm 在区间 1,1 上恒成立，求 m 的取值范围。1,5(4)若f (x)2xm 在区间 1,1 上有解 ，求 m 的取值范围。 (,5)2、已知函