必修解三角形复习讲义

1、解 三 角 形 复 习【知识梳理】1、正弦定理：在AABC中，a、b、c分別为角A、B、C的对边，R为AABC的外接 圆的半径，则有一巴一= = = 2/?.sin A sin B sin C2、正弦定理的变形公式： “ =27? sin A, /? = 27?sinB , c = 2RsinC: sin A = , sinB = , sinC =:2R2R2R a: b: c = sin A: sin B: sin C :/一 a + b + ca b c=.sin A + sinB + sinC sin A sinB sinC3 解决以下两类问题： 已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边

2、，如9 =竺啤：（唯一解）sinn 已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinA = sinB.D（一解或两解）4、三角形面积公式:=be sin A = ab sin C = ac sin B 2 2 25. 余弦定理:形式一：a2 =b2 +c2 -2bc-cosA , b2 =a2 +c2 -2ac cosB , c2 =a2 +b2 -2ab-cosC形式二：cosA = =，cosB = a, cosC = yi（角到边的转换）2bc2ac2ab6. 解决以下两类问题：1）、已知三边，求三个角；（唯一解）2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角：（唯一

3、解）/ = / + / O力是直角0 AABC是直角三角形7. 三角形ABC中a2 >b2 + c2<戏是钝角0 AABC是钝角三角形a: <b2+c2 0戏是锐角AAABC是锐角三角形【典例应用】题型一：正余弦定理解三角形1. 在 ZABC 中，A = 120°, c > b. a = >/21, S ABC =品,求 b,c °2. 边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）A. 90° B. 120° C. 135° D. 150°3如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为

4、（）A A18D. 184在MBC中，角B的值为（角A、B、C的对边分别为“、b、c,若（/）+ c2 -b）tan B = y/3ac则A.匸B.匸c上或竺D.皿636 6335. 在ZABC中，若a = lyb = &cosC = ：,则最大角的余弦是（）14A. B. C. D.一56786. 在AABC中，a二1, B二45°, Sc =2,则2XABC的外接圆的直径是.7. 在ZABC 中，sin2A = sin2B + sinBsinC + sin2C t 则角 A=.8. 在ZABC 中，已知 tan B = J,cosC = .AC = 3-6 ,求AABC

5、的而积39. 在A4BC中，ZA、ZB、ZC所对的边长分别为b、c,设心b、c满足条件 宀ci "和新”巧，求"和说的值题型2：判断三角形形状例 1 在 AABC 中，若 b2 sin2 C + c2 sin2 B = 2bccos BcosC ,试判断 AABC 的形状.2. 在 AABC 中，已知巴岂=一巴"一.且 cos (A-B) 4-cosC=l-cos2C. a sin B-sin A试确AABC的形状.3在月恭中，若2cos5sirvi=sinC则磁的形状一圧是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4在中，,则三角形为（）A

6、.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形5.以4、5、6为边长的三角形一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形D.锐角或钝角三角形6.在AABC中，角A3均为锐角，且cosA>sin5则AABC的形状是（）A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.等腰三角形7. 在ZUBC 中，若acosA + bcosB = ccosC,则 AABC 的形状是.8. 在 ZL4BC 中，若(& - c cosB) sinB 二(b-c cosA) si nA,则这个三角形是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰或直角三角形题型3：三角形的解的

7、个数问题1. 已知b = ll,c = 12,B = 60 °则三角形ABC有()解AB两C无解2已知“ = 7,b = 3,A = 110°则三角形ABC有()解AB两C无解3. 在A4BC中，已知a = xcm,b = 2cm.B = 45°,如果三角形有两解，则x的取值范围是题型4:取值范围问题1. 已知两线段a = , b =迈,若以方为边作三角形，则d边所对的角A的取值范围()A. (0, B. (0,)C. (0, D.(,)o24o 32. 在AABC中，B = 60°,若此三角形最大边与最小边之比为(、你+ 1):2,则最大内角()A.

8、45°B. 60sC. 75°D. 90°3. 设a,a+l,a+2是钝角三角形的三边，则a的取值范围是 ()A. 0<«<3 B. i<a<3 C. 3<a <4 D. 4<a<64. 在MB C中，角A、B的对边分别为b,且A = 2B.则巴的取值范围是b5. 已知锐角三角形的三边长分別为2、3、x,则x的取值范围是6. 已知三角形的两边和为4,其夹角60° ,求三角形的周长最小值。课堂练习:1.在 A4BC中,« = 5, 3 = 105°, C = 15则此三角形的最大边的长为2. 在 A4BC 中，a + b = 2, A = 60°, 3 = 45°,则。=3. 在AABC中，若沁=竺色，则B的值为()a bA. 30°B4亍C. 60°D. 90°4. AABC中，"环BE则WC的周长为B 4V3sin| B + - + 3 6丿C.6sin B +D. 6sin» 目+ 32 j JL5已知AABC的三边分别为/ b, c,且,那么角