第10章含有耦合电感的电路

1、结束2021年12月28日星期二1第十章 含有耦合电感的电路难难 点点1、同名端的概念和耦合电感的模型；2、耦合电感的分析模型。学习要点学习要点1、互感的概念及耦合电感的模型；2、含耦合电感电路的分析方法： 去耦合的原理和方法；耦合电感的分析模型，特别是正弦稳态下耦合电感的分析模型，及其分析方法。3、空心变压器和理想变压器的分析。结束2021年12月28日星期二2耦合电感属于双口元件，其分析具有广泛的应用，如：收音机、电视机中的中周线圈(中频变压器)、振荡线圈；整流电源里使用的电源变压器；掌握包含这类多端元件的电路问题的分析方法非常必要。电力变压器等；用于可控硅中频电源、中频电炉、超音频电源的

2、降压、增流或升压隔离的中频变压器；结束2021年12月28日星期二3中周线圈(中频变压器)、振荡线圈结束2021年12月28日星期二4电力变压器焊接设备的主变压器结束2021年12月28日星期二5电源变压器 通讯设备电源变压器 音频设备电源变压器 结束2021年12月28日星期二6电源变压器结束2021年12月28日星期二710-1 互感1. 互感的概念 回顾一个线圈的情况：以上就是电感（自感）。L1N111i1F11i1产生的磁通为F11。i1与F11的参考方向符合右手螺旋法则，为关联方向。F11穿越自身线圈时，产生的自感磁通链用Y11表示：Y11= L1i1当i1变化时，将产生自感电压u1

3、1。-+u11若u11与i1取关联方向则u11=dtdY11= L1dtdi1结束2021年12月28日星期二8两个线圈L1L2互相影响， 载流线圈之间通过彼此的磁场相互联系的物理现象称为互感，构成耦合电感。 每个线圈的总磁通链应是自感磁链和互感磁链的叠加，分增强和削弱两种情况，即： Y1=Y11Y12 Y2=Y22Y21L1N111i1F11L2N222则F11的F21F21称为互感磁通，互感磁通链为Y21。同样：i2通过L2时也产生自感磁通F22 ，i2F22F12其一部分F12也穿过L2。F两个线圈的情况一部分会穿过L2。 结束2021年12月28日星期二9Y11=L1i1， Y22=L

4、2 i2， Y12=M12i2，Y21=M21 i1 M12 和M21 称互感系数。 简称互感，单位是 H。自感磁链和互感磁链都与它的施感电流成正比：L1N111i1F11L2N222F21i2F22F12结束2021年12月28日星期二10 自感系数 L 总为正值，互感系数 M 值有正有负。L1N111i1F11L2N222F21i2F22F12磁通链可表示为：M12 = M21 =M M值与线圈的形状、相互位置关系、空间磁介质有关，与线圈中的电流无关，并：正值表示自感磁链与互感磁链方向一致，互感起增强作用，负值表示自感磁链与互感磁链方向相反，互感起削弱作用。Y1 = L1i1Mi2 Y2

5、= L2i2Mi1结束2021年12月28日星期二11用同名端表示耦合电感中磁链间的增强、或削弱的关系。 当电流流入耦合电感，并使两个线圈产生的磁链相互增强，则电流流入的一对端子称同名端 。 无标记的是另一对同名端。L1L2+-+-u1u2i1i21122ML1N111i1F11L2N222F21i2F22F12 同名端用 “” 或 “*”等标记。耦合电感的电路符号如右图，二端元件，有四个参数。结束2021年12月28日星期二12G 同名端判别方法一1 、2 是同名端1、2 也是同名端1122L1L2i1i2ML1L2+-+-u1u2i1i21122已知线圈的绕向，则可根据右手定则和同名端的定

6、义判定同名端。两个线圈分别施加电流 i1、i2 (均0)，若产生的磁通方向 相同，则i1、i2的流入端为同名端。结束2021年12月28日星期二13 互感电压耦合电感如图，任何线圈的磁通发生变化时，都要产生感应电压，包括自感电压和互感电压。关联方向下，有：F自感电压和互感电压的参考极性 因为电流由同名端流入，则磁链是互相增强的，i1在L2上产生的互感电压 “+”极在L2的同名端。u1 =dtdY1= L1dtdi1+ Mdtdi2u2 =dtdY2= L2dtdi2+ Mdtdi1ML1L2+-+-u1u2i1i21122+同样，i2从L2的同名端流入，则i2在L1上产生的的互感电压参考 “+

7、”极在L1的同名端。结束2021年12月28日星期二14练习：列出耦合电感的VCR 若施感电流为同频率正弦量，则耦合电感VCR的相量形式为：L1+-u1i1+-u2i2ML2u1 = L1dtdi1 - Mdtdi2u2 = L2dtdi2 - Mdtdi1 .U1= jwL1 .I1- jwM .I2 .U2= jwL2 .I2- jwM .I1相量形式：L1+-u1i1+-u2i2ML2u1 = L1dtdi1 + Mdtdi2u2 = = - L2dtdi2 - Mdtdi1 .U1= jwL1 .I1+ jwM .I2 .U2= = - jwM .I1- jwL2 .I2结束2021年

8、12月28日星期二15A 同名端的判别法之二：实验法直流电压表的正极直流电压表的负极ML1L21234+-u1i1USS+-u2接线图依据：同名端的互感电压极性相同。mV+-设1、3是同名端u2 = Mdtdi1则S闭合后，dtdi1 0故 u2 0说明 u2的实际极性与参考极性相同。S闭合瞬间，若表针顺时针偏转，则假设正确。否则， 1、4是同名端。因此结束2021年12月28日星期二16 耦合因数 k 一般情况下，一个线圈中的电流所产生的磁通只有一部分与邻近线圈交链，另一部分称为漏磁通。 漏磁通越少，互感线圈之间的耦合程度越紧密。工程上常用耦合因数k表示其紧密程度：1122L1L2i1F21

9、漏磁通F1sF11 =F21+F1skdelY12 Y11Y21 Y22代入Y11=L1i1，Y22=L2 i2k =L1 L2M 10 k 的大小与两线圈的结构、相对位置和周围的磁介质有关。k=1为紧耦合。Y12=Mi2，Y21=M i1 得结束2021年12月28日星期二1710-2 含有耦合电感电路的计算电路分析是对电路模型的分析：一是根据原电路模型（等效电路）直接列写电路方程；二是根据需要建立新的分析模型，再列写电路方程，例如相量法。对含有耦合电感的电路，也可根据原电路模型直接列写电路方程，要特别注意，不能遗漏互感电压！为避免遗漏和出错，可建立耦合电感的去耦分析模型。其中的核心问题是去

10、耦。而且，为简单计，对含有耦合电感的电路，一般仅对此去耦分析模型做正弦稳态分析，用相量法。结束2021年12月28日星期二18耦合电感的去耦分析模型11L1+-u1i1M22L2+-u2i2u211+-22+-u1+-+-L1dtdi1L2dtdi2Mdtdi1Mdtdi2i2i1耦合电感如图，其VCR为u1 =dtdY1= L1dtdi1+ Mdtdi2u2 =dtdY2= L2dtdi2+ Mdtdi1由此VCR可得耦合电感的去耦分析模型，如右图。可见，根据右图写耦合电感的VCR更容易。结束2021年12月28日星期二19耦合电感的去耦分析模型的相量模型11L1+-u1i1M22L2+-u

11、2i2直接分析耦合电感的去耦分析模型仍有困难，可在正弦稳态下分析，得耦合电感的去耦分析模型的相量模型，如下图，其VCR的相量形式为： .U2 .I2jwL1jwM .I1 .I211+-jwL2jwM .I122+- .U1+-+-u211+-22+-u1+-+-L1dtdi1L2dtdi2Mdtdi1Mdtdi2i2i12111IMjILjUww+=1222IMjILjUww+=结束2021年12月28日星期二201. 有耦合的电感的串联(1) L1、L2 反接串联时，无感等效电路如下u1 = R1i + L1dtdi - Mdtdi= R1i+ (L1- M)dtdiu2= R2i + L

12、2dtdi- Mdtdi= R2i + (L2- M)dtdi由KVL得：L1+-ui+-u2ML2R1R2u1+-L1-M+-ui+-u2L2-MR1u1+-R2注意，两电感的连接点的位置！AA结束2021年12月28日星期二21相量模型如右图，所以有： .U = .U1 + .U2= (Z1+ Z2) .I = Z .Iu1= R1i + (L1- M)dtdiu2= R2i + (L2- M)dtdi式中 Z1 = R1+ jw (L1- M) Z2 = R2+ jw (L2- M)Z =Z1+ Z2 = (R1 + R2) + jw (L1 + L2-2M)jw (L1-M)+-+-R

13、1R2+- .U .U1 .U2 .Ijw (L2-M)u= u1 + u2 = R1i + R2i + (L1+L2-2M)dtdi可见，两个电感反接串联时互感起“削弱”作用，总等效电感为 L= L1+L2-2M, 即总电感小于无耦合时的值。总电压为结束2021年12月28日星期二22(2) 顺接串联综上，两个串联的耦合电感可以用一个等效电感 L来替代：去耦等效电路为L = L1+ L22M顺接取“+”，反接取“-”。同理，可求得两个电感顺接串联时，总电感L= L1+L2+2M，互感使总电感增大。L1+M+-ui+-u2L2+MR1u1+-R2AL1+-ui+-u2ML2R1R2u1+-A结

14、束2021年12月28日星期二23例题：电路如图，L1=0.01H，L2=0.02H，R1=R2=10W，C=20mF， M=0.01H， U=6V。L1+-+-L2R1R2+- .U .I .U1 .U2CMw =1000rad/s所以，等效复阻抗为：Z=(R1+R2)+jw(L1+L2-2M ) -wC1求 I、U1、U2。.解：两电感反接串联，去耦等效电路如图，其中L1等效为L1-ML2等效为L2-ML1-M+-+-L2-MR1R2+- .U .I .U1 .U2Cw =1000rad/s=20-j40 = 44.7 -63.4o W结束2021年12月28日星期二24 .U1= R1+

15、jw(L1-M ) .I = = 1.34 63.4o VL1+-+-L2R1R2+- .U .I .U1 .U2CMw =1000rad/sZ=20-j40= 44.7 -63.4o W设 .U = 60o V则： .I =Z .U=60o44.7 -63.4o = 0.134 63.4o AL1-M+-+-L2-MR1R2+- .U .I .U1 .U2Cw =1000rad/s .U2= R2+jw(L2-M ) .I = = 1.90 108.4o V结束2021年12月28日星期二252. 有耦合的电感的并联 .U 1 = jwL1 .I1+ jwM .I2 .U2+ jwL2 .I

16、2= jwM .I1 .I3 = .I1 + .I2 .U .I1 1 = jwL1+ jwM .I3 - .I1()= jw(L1-M) .I1+ jwM .I3 (1)同侧并联 把(3)代入(1)得 (1) (2) (3)把(3)代入(2)得 .U2 = jwM .I3 - .I2() .I2 + jwL2= jwM .I3 + jw(L2-M) .I2 .I3jwMjwL2jwL1 .U1 .I1 .I2+- .U2 +-一般只一对同名端相连，相量模型如图，是三端电路！结束2021年12月28日星期二26 .U1 = jw(L1-M) .I1+ jwM .I3 .U2= jwM .I3

17、+ jw(L2-M) .I2由此可得同侧并联的去耦等效模型如下：(2) 异侧并联。推导过程略。jwMjwL2jwL1jwMjwL2jwL1 异侧并联 .U2 jwMjw(L1-M)jw(L2-M)1 .I3 .U1 .I1 .I2+-+-结束2021年12月28日星期二27并联电感去耦方法电路归纳如下：L2L1M312*L2-ML1-MM312同正异负L2L1M312R1R2L2+ML1+M-M312R1R2同减异加结束2021年12月28日星期二28注意：1、虽然上面的推导是在相量模型下进行的，但 对时域模型也成立 ！MMeqZZZZZZZ221221m+-=2、两端均相连的并联的情形（见教

18、材P256-257）， 等效阻抗为 3、对只电感两端均相连的并联（不含电阻），有MLLMLLLeq221221m+-=其中，同侧并取，异侧并取+。其中，同侧并取，异侧并取+。结束2021年12月28日星期二29例：求图示电路的开路电压。 解法1：列方程求解。由于L2中无电流，故L1与L3为反向串联。 所以电流 .US .I1=R + jw(L1+ L3 -2M31) .UOC =jwM12 .I1- jwM23 .I1- jwM31 .I1+ jwL3 .I1开路电压为(注意互感电压) 将电流表达式代入得 .UOC =R + jw(L1+ L3 -2M31)jw(M12-M23-M31+L3)

19、 .USL2L1M12+*- .Uoc+- .US .I1L3M31M23R结束2021年12月28日星期二3010-3 耦合电感的功率在含有耦合电感的电路中，两个耦合的电感之间无功功率相等，有功功率或者均为零，或者通过磁耦合等量地进行传输，彼此平衡。电源提供的有功功率，在通过耦合电感的电磁场传递过程中，全部消耗在电路中所有的电阻(包括耦合电感线圈自身电阻)上。 互感M是一个非耗能的储能参数，兼有L和C的特性： 同向耦合时，储能特性与电感相同，使L中磁能增加； 反向耦合时，储能特性与电容相同，与L中的磁能互补(容性效应)。结束2021年12月28日星期二31例10-6：R1=3W， R2=5W

20、，wL1=7.5W，wL2=12.5W，wM=8W，US=50V。求电路的复功率，并说明互感在功率转换和传递中的作用。jwL1R1R2+- .US .I1jwL2jwMS .I2解： 设 .US= 500o V回路方程为：(R1+jwL1) .I1+ jwM .I2= .USjwM .I1+ (R2+jwL2)代入数据解得： .I1= 8.81 - 32.93o A .I2= 5.24 168.87o A= SS .US .I1*(233+j582)+(137-j343) VAS2= 0 .I2jwM .I1+ (R2+jwL2) .I2*= I22(-137-j343)+(137+j343)

21、VA结束2021年12月28日星期二32jwL1R1R2+- .US .I1jwL2jwMS .I2F互感电压发出无功功率补偿L1、L2中的无功功率。完全补偿F线圈1吸收137W功率，两耦合电感之间等量地传输有功功率，两者恰好平衡，其和为零。= SS .US .I1*(233+j582)+(137-j343)VAS2jwM .I1+ (R2+jwL2) .I2*= I22(-137-j343)+(137+j343)VA(R1+jwL1) .I12+ jwM .I2= .I1*L1中的无功功率为582乏。不能完全补偿，需电源提供无功功率239乏。传递给线圈2， 供R2消耗。结束2021年12月2

22、8日星期二33电源提供的有功功率P=USI1cos32.93o=370WjwL1R1R2+- .US .I1jwL2jwMS .I2 .I2= 5.24 168.87o A .US= 500o V .I1= 8.81 - 32.93o AR1=3W， R2=5WR1消耗I12 R1=233W，R2消耗I22 R2=137W，平衡。电源提供的无功功率Q=USI1sin32.93o=239Var，互感电压发出无功功率343Var，L1吸收的无功功率为582Var。也平衡。结束2021年12月28日星期二3410-4 变压器原理 变压器的概念 变压器由绕在一个闭合铁心上的两个(或更多的)耦合线圈组成

23、，铁心构成主磁路。 变压器是电气和电子技术中常用的电气设备或器件。 电力变压器分单相、三相。 自耦变压器，可连续调压。 电力变压器、电源变压器、仪用互感器等（工频）；及音频变压器等低频电路中使用的变压器，均采用高导磁率的铁磁材料制造铁心，属紧耦合，一般可简化为理想变压器模型分析。 +-+- .U1 .U2N1N2 .I1 .I2Tr变压器的图形符号+- .USZL结束2021年12月28日星期二35高频电路中使用的变压器，如振荡线圈、中周等，用铁氧体材料作为磁芯；频率很高时，用空心变压器，一般属松耦合，用变压器模型分析。在变压器中，一个线圈(N1)作为输入，称初级绕组，或原边绕组，或一次侧绕组

24、等。初级绕组接电源，所形成的回路称初级回路或原边回路等。另一个线圈(N2)为输出，称次级绕组，或副边绕组，或二次侧绕组等。次级绕组接负载，所形成的回路称次级回路或副边回路等。+-+- .U1 .U2N1N2 .I1 .I2Tr变压器的图形符号+- .USZL结束2021年12月28日星期二36变压器的模型与分析方法空心变压器模型如图，电压、电流参考方向如图，则一、二次回路方程为：jwL2jwL1R1 .I1 .I2-+11 .U122R2ZL+- .U2jwM(R1+jwL1) .I1+jwM .I2 = .U1jwM .I1+ (R2+jwL2+ZL)= 0其中 Z11= R1+jwL1ZM

25、= jwM称为一次回路的阻抗。Z22= R2+jwL2+ZL称为二次回路的阻抗。称为互感阻抗。则方程具有更简明的形式Z11 .I1+ ZM .I2= .U1ZM .I1+ Z22 .I2= 0(一次侧)(二次侧) .I2结束2021年12月28日星期二37解方程可得 .I1 = Z11-ZM Y22 . U12= = Z11+ (wM)2 Y22 . U1ZinZin= . U1 .I1= = Z11+ (wM)2Y22 为一次侧输入阻抗。它是二次回路的总阻抗Z22通过互感反映到一次侧的等效阻抗，(wM)2Y22=(wM)2|Z22|1-j22反映阻抗的性质与Z22相反(wM)2Y22 称引入

26、阻抗。所以也称反映阻抗。F感性变容性， 容性变感性。jwL2jwL1R1 .I1 .I2-+11 .U122R2ZL+- .U2jwM结束2021年12月28日星期二38根据 .I1 = Z11+ (wM)2 Y22 . U1因此，一次侧等效电路 Z11 .I1-+11 .U1(wM)2Y22 jwL2jwL1R1 .I1 .I2-+11 .U122R2ZL+- .U2jwM可见，从变压器电源端看，输入阻抗等于一次侧的自阻抗加二次侧到一次侧的反映阻抗。Z11 .I1+ ZM .I2= .U1ZM .I1+ Z22 .I2= 0由变压器方程得 .I2= -Z22ZM .I1 .U2 = -ZL

27、.I2=Z22ZM ZL .I1用 I1 表示了U2。.结束2021年12月28日星期二39也可以用二次等效电路研究一、二次侧的关系现用戴维宁定理分析如下(注意方法)：jwL2jwL1R1 .I1 .I2-+11 .U122R2ZL+- .U2jwM . Uoc+- .I2 = 0，一次侧无互感电压。 .I1 = Z11 . U1= Y11 . U1在次级回路 .Uoc为 .I1 产生的互感电压： .Uoc= jwM .I1 = jwM Y11 . U1jwL2jwL1R1 .I1 .I1122R2+- .UjwM列回路电流方程 (注意互感)结束2021年12月28日星期二40(R2+jwL2

28、)(R2+ jwL2) .I + jwM(-jwMY11 .I ) = . UZ11 .I1+ jwM .I = 0 .I + jwM .I1 = . U列回路方程消去 .I1Zeq = . U .I = (R2+jwL2) + (wM)2Y11Zeq .I2-+22jwMY11 . U1ZL -+ . U2 .I2 = -jwM Y11 . U1Zeq+ ZL一次回路反映到二次回路的阻抗。二次等效电路jwL2jwL1R1 .I1 .I1122R2+- .UjwM再求等效阻抗（加压求流法）结束2021年12月28日星期二41变压器电路分析方法总结 1、解析法（直接列写方程）2、反映阻抗分析法Z

29、11 .I1+ ZM .I2= .U1ZM .I1+ Z22 .I2= 0jwL2jwL1R1 .I1 .I2-+11 .U122R2ZL+- .U2jwMZ11 .I1-+11 .U1(wM)2Y22 Zeq .I2-+22jwMY11 . U1ZL -+ . U2概念清晰，应重点掌握。二次等效电路一次等效电路结束2021年12月28日星期二42教材例题 P267 例10-8结束2021年12月28日星期二433. 例题分析：思路1：利用等效电路。Zeq=jwL2+(wM)2Y11=- j28 W Z22=jwL2+ZL=3+j12 W -+ .U1M+- .U2L1L2 .I1 .I2ZL

30、L1=5H，L2=1.2H，M=2H，ZL=3W。求 i1、i2。u1=100cos(10t) V一次Z11 .I1-+11 .U1(wM)2Y22 Z11=jwL1= j50WZeq .I2-+22jwMY11 . U1ZL -+ . U2二次jwM= j20W， ZL =3W，i2= 8cos(10t+126.84o) Ai1= 4.95cos(10t-67.2o) A由上述数据得(化为瞬时值)结束2021年12月28日星期二44-+ .U1M+- .U2L1L2 .I1 .I2ZL3. 例题分析：思路2：方程分析法。L1=5H，L2=1.2H，M=2H，ZL=3W。求 i1、i2。u1=

31、100cos(10t) VZ11 .I1m+ jwM .I2m= .U1 .I1m+ Z22 .I2m= 0jwM方程中：Z11=jwL1= j50WZ22=jwL2+ZL=3+j12 W .U1m=100jwM = j20W 0o V化为瞬时值即可。j50 .I1m+ j20 .I2m= 100 j20 .I1m+ (3+j12) .I2m= 0 .I1m= 4.95 -67.2o A解之 .I2m= 8 126.84o A代入得结束2021年12月28日星期二4510-5 理想变压器N2N1-+u1-+u2n : 1i1i2理想变压器是实际变压器的理想化模型，是极限情况下的耦合电感： 1. 三个理想化条件 (1)无损耗，即线圈电阻趋于0，铁芯的磁导率无限大 。(2