2021年全国100所名校新高考模拟示范卷(一)数学试题(含答案解析)

1、绝密启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试本试卷共22题，共150分，考试时间120分钟，考试结束后将本试 卷和答题卡一并交回.注意事项：1 .答题前，考生先将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填马清楚，将条形码准确粘贴在 条形码区域内.2 .选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5亳米忠色字迹的签字笔书写，字体 工整，笔迹清楚.3 .请按照题号顺序在答题卡各题目的答剧区域内作答,超出答卷区域书写的答案无效;在 草稿纸、试卷上答题无效.4 .作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5 .保持卡面清洁，不要折叠.不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、

2、刮纸刀.一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.1 .若后=一二则2=A.2-iB. l-2iC. -l+2iD. 2+i2 .已知集合 A=nH-31+仪=0,8=-2,2,若 AQB=2,则 AUB=A. 2,1,2B. -2, 1,2C. -2,3,2D. -2,23 .（2一万的展开式的常数项为 7A. -120B. -60C. 120D. 604 .某实脸室针对某种新型病毒研发了一种疫苗，并在500名志愿者身上进行了人体注射实验, 发现注射疫苗的志愿者均产生了稳定的免疫应答.若这些志愿者的某免疫反应蛋白M的数 值X（单位：

3、mg/L）近似服从正态分布N（15,，），且X在区间（10,20）内的人数占总人数的 兴，则这些志愿者中免疫反应蛋白M的数值X不低于20的人数大约为A. 30B. 60C. 70D. 1405 .天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus,又名依巴谷）在 公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小,星星就越亮;星等的数值越大，它 的光就越暗.到了 1850年，由于光度计在天体光度测垃中的应用，英国天文学家普森 （M. R. Pogson）又提出了衡量天体明喑程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮 度来描述.两颗星的星等与亮度满足见一?2= 2.

4、5（lgE2-lg鼠）,其中星等为叫的星星的 亮度为E«=l,2）.已知“角宿一”的星等是0. 97,水委一”的星等是0. 47“水委一”的亮度 是“角宿一”亮度的厂倍，则与最接近的是（当|川较小时3i+2. 7P）A. 1. 56B. 1. 57C. 1. 58D. 1. 596,已知圆C：（l-3）2 + （y+3）2 = 9,直线/：（加+1）才+（2一加）一加? = 0,则当圆心。到直线/第1页（共4页）的距离最大时.立线/被邮c所截得的弦长为A.4B.2点D.2/7第3页（共，页）Ik 18kD.24ttA. (0B. (0,挈)C(0,3)D. (0,3舟7.如图，在四棱

5、锥P-ABCD中.PD,平而ABC。,底而AI3CD是梯形， 八06./08=紫八0=*2。=8。=(。=29则四棱锥 P-ABCD的外接球的表面积为A, 16irC. 20兀&已知抛物线Gy2=2/>Z力>0)的焦点为F( 1,0),法线为/，过焦点F的直线交抛物线C于点 A J*A在轴上方),且点八的横坐标为3,。是y轴正半轴上一点,O为坐标原点./QDA 的角平分线过AF的中点,则点D的坐标为二、选择题;本题共4小题，每小题5分共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.已知曲线C：r+另=1.A.若C

6、是C曲线则MV0B.若a>Q.C是离心率为2的双曲线,则=一3C若漏>0,则C是椭圆D.若C是离心率为方的椭圆则彳363 6 9 12 15 18 21 2410.已知人.)=425(3+6+/3(A>0.>00/<外.其部分 图象如图所示,M、N分别为最高点、最低点，则A. A=7B. B=29c. =fD/I1)=32. 51L如图平面支A平面伊=宜线八点A.CEa.点aDG仇且八、B、C、DW/,点M、N分别是线段 AS CD的中点.A.当直线AC与BD相交时，交点一定在直线I上B.当直线AB与CD异面时,MN可能与/平行C.当A、&C、D四点共而且

7、AC/时,BD/D.当M、N两点重合时，直线AC与d不可能相交12 .已知数列&的通项公式是%=2” ,在田和生之间插入1个数孔,使s，.,图成等差数 列;在a2和a3之间插入2个数工21，使«2，121，工2?四 成等差数列；在明和a41之间 插入个数，工“2，一，-a.，“川，工©，"，/十】成等差数列.这样得到新数列，4: “ 1户11 ,2 ,*21，g2，。3，力H -32 -330+，记数列他的前4项和为St 则A4=0m1工4+工|+工心+ +/5+什|=3"，2学一1C.阳=320D. S15=6401三、填空题:本题共4小题,每

8、小题5分，共20分,把答案填在答题卡中的横线上.13 .若向量。=（1,2）,6。= （一2,1）,则。 b=.14 .若函数/（/） =£。2+7/+aln x在n=2处取极值，则«=,/Cr）的极大值为.15 .已知正实数,满足/+4=3d，则£+右的最小值为.16 .如图，在A8C中，N3AC=FaB = 3,AC=2,点。为边3c上一个动点，将A3D沿 AD翻折,使得点片到达P的位置，且平面AB'D_L平面ACD当CD=时,8,C取 到最小值.四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 .（本小题满分10分）在

9、为 = 10,S?=9,V3这三个条件中任选一个,补充在下面问题中.设S”为各项均为正数的数列6的前项和，满足，足+ 3% = 6s”+仇是否存在 实数A,使得数列«"成为等差数列？若存在，求出b和数列6 的通项公式;若不存在，请 说明理山.（注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）18 .（本小题满分12分）第七次全国人口普查是指中国在2020年开展的全国人口普查，普查标准时点是2020年11 月1 口零时，将彻查人口出生变动情况以及房屋情况.普查对象是普查标准时点在中华人民 共和国境内的自然人以及在中华人民共和国境外但未定居的中国公民，不包括在中华人民 共和国境

10、内短期停留的境外人员.普查主要调查人口和住户的基本情况，内容包括:姓名、公 民身份证号码、性别、年龄、民族、受教育程度、行业、职业、迁移流动、婚姻生育、死亡、住房情 况等,普查登记方式全程电子化方式普衣,由普查员使用手机上门入户登记或由普查对象通 过互联网自主填报.某机构调查了 100位居名的普查登记方式，数据统计如下表，部分数据 缺失.普查员使川手机上门入户登记通过互联网自主填报年龄不超过40岁10a年龄超过40岁b15已知从调查的居民中任取一人,其年龄不超过40岁的概率比其年龄超过40岁的概率大吉 （1）求,的值.（2）是否有99%的把握认为年龄与普查登记方式有关？附/G =（a+）（H）

11、（Q十.）（+），其中 =a+c+H.19 .（本小题满分12分）ABC的内角A J3,C的对边分别为a,c,已知8sin2 ±-7=2cos 2A. 乙（1）求 A；（2）若a=b"+c=5,求BC边上的高.20 .（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC-A|B】G中,/水：8 = 90°,八。=故：,八8 =八八|入£分别是。1、BBi的中点.（1）证明：（；后_1_平面八。6.（2）求二面角C-AB.-D的余弦值.%-从21 .（本小题满分12分，二已知居、户2分别为椭圆C片+亨=1的左、右焦点，点”是椭圆”C上异于左、右顶点的一点，过点B作N

12、RMF2的外角平分线的垂线交F2M的延K线于 P点.（1）当M点在椭圆C上运动时,求P点的凯迹方程E.（2）设点NQ,0）aW0）,过点N作一条斜率存在口不为0的宜线/交椭圆C于A,8两点，点B关 于才轴的对称点为以直线八X交1轴于点T,O是坐标原点，求证：QN| |5'|为定值.22 .（本小题满分12分）已知函数 /（x） = In xx2 + l.求曲线？=/（/在点（1，/）处的切线方程.（2）若方程/（/）=有两个实数根Zi立2出Z|V>2,证明:七一© VI24.2021年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试参考答案1 . B本题考查宓数的运算.依题意,

13、z=-K2+i) = l2i.2 . A本题考查集合的交案与并集.因为AD6=(2),所以2£人,则22-3X2+a=0,解得。=2,所以A = <1, 2.AU"-2,2.3 .D本题考查二项式定理,栏一 G)6的展开式的通项为,( 一G), = ( 一 l),q2"， 上纣，令孝一6=0,裕,=4.故4f F厂的展开式的常数项为(TMQX22 = 6O.4 .B 本题考度正态分布的应用.因为XN(15,"，又P(X410)+P(XN20) = l P(10<XV20)= 】一 袅所以P(X10) = P(X>20) = qX*=奈所

14、以这些志愿者中免疫反应蛋白M的数值X不低于 20的人数大约为500X=60.5. B本题考杳天文学中的估算.设“角宿一”的星等是加，“水委一”的星等是也角宿一”的亮度是E，“水委 一”的亮度是 Ei，则 /«)=0. 97,小=6 47,£i = rEi,：两颗星的星等与亮度满足mm2 = 2. 5(lg & -lgEi)AO.970.47= 2. 5( 1g rEi - g Et),即 1g r=0. 2,Ar= 10a2、i+2. 3X0. 2+2, 7X(0. 2产=】+0. 46+0, K)8 = l. 568, 二与最接近的是1. 57.6. A本题考查直

15、线过定点问题及网的弦长问题.圜C：(H-3)2+y+32=9的班|心坐标为以3.一3),半径为 (才-y3=01 jts=2, 解得<,i+2y=0y=T所以直线/过定点P(2, 一).又点P(2. - l)在圆C内部，则当直线？与线段PC垂直时，圆心C到直线/的 距离垃大,此时IPC| = /(2-3»4(-1+3)2 =亦，直线I被圆C所截得的弦长为2 行不=4.【解题技巧】对于含参的宣线问题可将参数提出来，利用0乘任何数加0等于0这一性质.得到一元二次方程 组，解方程组可得到含参数的宜线过定点.对于过圆内定点P的直线2,当圆心C与定点P的连线与直线£ 不垂直时,

16、例心C到直缓/的距高小于IPCI：当直线，与线段PC垂百时，网心C到宜线/的距离等于|PC|, 因此圆心C到直战,的饨离的最大值为IPC|.7. C本题考查四棱锥的外接球.因为ABCD"BCD=醇所以NAZ?(”引 取AB的中点M,连接M& o0A4D,易得A4c=MD=2,所以秤形ABCD的外接圆的圆心为过点M作MNPD(N与尸位于平面 ABCD的间侧)，使得MN=PD取MN的中点O,易得OP=OD,故。为四楼锥P-ABCD的外接球的球 心.因为。D= 4JW+MO =疗，所以四棱钺P-ABCD的外接球的表面机为4nx(万尸=20”.8. D本题考查直线与抛物线的综合.由F

17、(l,0)可得p=2故抛物线C的方程为”=26,点A(3W3). 设线段AF的中点为Q，作QT_Ly轴于点T.作AMJJ交y轴于点Mi.交/于点M,则2|QW = |AM| 十 |0尸|三何必之队9|,故|。丁|=:|河| = |“|.过点。作。5_14。于点5,又。是/0"的角平分线, 则IQT| = IQA| = |QS|,由垂线段的唯一性知,A,5两点重合，可得/DAF = 90",所以6a -=设£XO.a),则喋鸳X噤三二-1,解得a=3G,故点D的坐标为(0.36).u J 019. AB本题考查双曲线与椭圆的概念.若曲线C是双曲.则而<0,故A

18、项正确;若C是离心率为2的双曲参考答臬第I页(共6页)线,当心>0时96Vo,则22 = 1+?,?=3.故B项正确；当gV0,Y0时,M>0,曲线C不是椭圆.故C项借误;若C是离心率为J的椭圆，当a»0时，则。）2 = 宁，!二等:当0>40时,（方）号故D项错误.a a Q4 u a 610. ABD本题考查三角函数的图象.由图可知*=153=12.7=24皿=阜=若.由最大值为36,最小值为 22,可知A=巧邈=78=范罗 =29,故/G） = 7cos（食+G + 29.将点（15.36）代人可得7cos（ + p）+29=36.8S（学+平> =】，

19、；0<*V"，；夕=乎.f （t） = 7cof（筐 + 箸）+ 29.令工=11,得 /（1） = 7cos（彩坤）+29=7cos苧+29=32.5U.ACD本题考查空间中点燃、面的位置关系.对于A,设ACnBD=P，因为PWAOZa，Pe8DCd所以P Ganp=/,A项正底h对于B,当AB.CD是异面直线时，假设MN/，则MN平面例连接BC,取BC的中 点H,述接MH、NH,因为M、N分别为A&CD的中点，所以MHAC,所以平面MNH平面如同理可 得平面MNH平面仇所以平面a平面自与已知矛盾，故假设不成立，所以MN不可能与/平行,B项错 误;对于3若A、BCD四

20、点共而且AC1时，可得，平面ABCD,过/的平面6与平面4BCD相交于 8D,所以GD八C项正确;对于D,若MN两点重合,则ACBD,故AC/，此时直城AC与直线2不可 能相交，故D项正确.12. AD本题考查数列的综合应用.对于Ag在数列3力中是笫8+】+2+ 7=36项所以靠=砥2项正确；对于 B.% +工a十居2 +£, +&-i =（/S+2）=（2“+2一；）5十2）=3（+2） .B项错误；对于C也=%+2 气出=炉+2X维萨 = 256+笔中32dC项错误对于D,由选项B知4+才心+兀=3（+2）2冷7-<4+%*1）=3,7 公一、所以 Sa, =（&#

21、171;i +m +o9）+Crn +（工八 +1蝮）+加 +布+,+* ）=（2+2" + “ + 2” >4-3（1 X 20+2乂21+，+8乂牙）= （2'。- 2）+37乂牙+1）=6401,D 项正确.【思路点拨】解决本题首先要了解数列SJ的构造方法,并能计算出数列协力的项与储“）的项的关系,通过借 助数列&,）的通项公式与等差数列、等比数列的求和公式对四个选项依次进行判断.1 3.5本题考衣平面向星的坐标运算及数量积.由a=（l,2）,b-a = （-2,D.可得6=（ 1，3）,所以ab= -1+6=5.14 .-10萼 101n5本题考查函数的

22、极值./（# = 一彳+7+0。>0）,由题可知八2） = - 2+7+告=0, 乙JC4解得。=一】。,/口）= 一彳+7也"一七1皿风,所以，（外在（0.2）,（5,+8）上单调递减,/（才）在出 JTJT5）上单调递增,故/（"的极大值为5）=一与+ 35-Oln 5=竽- 101n 5.15 .孚 本题考查均值不等式.因为3=/十布4她即所以/十壶J| 婆，上述两个不等式均是当且仅当a=2A时取等号，所以？+女的最小值为等.16 .等 本题考查空间中的线段长的计算与解三角形的综合应用. 设N84D=a,aW（0.£）,作8ELW交AD或4D的延长线于

23、E点,作CFL4D交AD或AD的延长线参考答案第2页（共6页） VBE=3sin a»AE=3cos a»CF=2cos<a-l-)=y3cos a-sin a./AF=2sin(a+*)="sin a+cos a, ；EF= |AFAE| = |6sin a2cos a|.""次 VEC =6£? +C尸 + E严=(3sin a>2 + (万cos a-»in a> + <V3 sin2cos a>2=7+6sin?a6Hsin acos a= 10-6sin( 2a+-r- 3 oA当si

24、n(2a+)=1,即。=段时,取员小值，此时AD平分NBAC 09在AZC 中,6=32+22 2X3X2Xcos仔=7,BC=&,由角平分线定理得禁=留，即黑=告,所以CD=BC=等.17 .解:本题考查数列递推关系与通项公式.因为届+3%=6S. +仇所以曷+i +3%«)=6S-i +6,两式相减，得 3(。升】+。力)=a'i = (a1i +%)(%+i 以) 即(+1 -3 > (%-i +& > = 0 又 x 1 +a>09 所以 4+1 一备=3. 4 分若选择，因为例=10,旦的一“1=2X3,所以a1=4.由星+ 3为=

25、6§»+6,得鬲+3ttl =&n+6,即6=af3可.把R =4代人上式，得44.当Q4时，由词一切一4=0及卬>0,得eq =4.所以存在实数=4,使得数列4是以4为首项，以3为公差的等差数列数列/明)的通项公式为& =$+3(n-l)=3n+L 10分若选择，由。“上一a, = 3得a?一仆=3,又巳知 S =q +a = 9»所以a =3此？=6.由d+3%=6S,+仇得裙+初=6口+6仍=成一3a】，所以6=32-3X3=0.当6=0时，由出一kt =0及m >0,得m =3,由底+既2 =6S? .a】=3及的>。9得

26、* =6, 所以勾=3和处=6满足an =3,所以存在实数4=0,使得数列(% )是以3为首项，以3为公差的等 差数列，数列的通项公式为%=3+3(- 1) = 3儿 10分若选择，由 a； +3a“=6Sx +4得 ai+3dl -6ai +6.即 af-3al 6=0.因为已知数列的各项均为正数所以。,>0.因为关于0的一元二次方程就一为| -A=o至少存在一个正实数解的充要条件是4=9+奶>0解得4一看，这与已知条件/<一3矛盾，所以不存在实数。使得数列%是等差数列. 10分注:若K2-3父6=。存在两个实数解分别为不，工? 则© +网=3,工|%2=一当6A

27、o时,三一3xb=0的解一正一负；当。=0时 3一。=。的解一正一零;当一件WY0时,下一 3了一=0的解均为正.所以当且仅当4=9+520时，方程/一3工一/,=0至少存在一个正实数解.)18 .解:本题考查独立性检验.由题知嚅1 一啸=La+b+25=】OO,解得&U45.830. 5分1VU1 viz1U由可得如下2X2列联如普杳员使用手机h门入户登记通同互联网自主填报合计年资不超过40岁104555年龄超过40岁301545介计4。60100100X(30X45-15X10)2 800力 央、真久如-40X60X55X45一前”24. 24足 635,所以有99%的把握认为年龄

28、与普查登记方式有关. 12分19 .解:本题考查解三角形.(l)8sin2 X - -7=2cos 2A即 4C1cos(B+C>J7=2<2cos2A_ 1),化简得 4cos4cos 4+1=0,解得 cosA= /，所以 A=?, 6分(2)由余弦定理得a& =，/+1奶ccqs A,即 7=+/一庆二(64»2一淑=253加,解得兀二6.则A0C的面积为方标5inA=*X6xg=¥.记BC边上的高为人因为S-,必平，所以.警一呼X. 12分20 .解;本题考查线面垂直与二面角.(l)./AC=90；AULBCJ】CG JL平面 ABC,，ACJ_

29、CG ,.；OQ n必=C,，ACJ_平面 BCGB1.：C)EU平面 BCC B：，二ACJ_G E AB=&C=g"骷=黑=乌，： /皿 8 尸 NCNB,/EG 场 +NG B】C= /C场 B+ZCiB, C= 90°,:. BiCXQ E.又8CU平面 ACB ,ACC平面 AS】，用CPIAC=C, G£_L平面 ACBj. 6分(2)不妨设入C=3C=，则AX=b4 =2.如图.以C为原点,CA.CbOG所在的直线分别为斗y,z轴，建立空间直 角坐标系，则6(0,0,2),。(0,0.1).人(四,0,0),8(0.2),七(0,&.

30、 13就=(0,龙.1>,苏=(笈，0. - 1).In D忒=gy+z=0设n=Cr.»/为平而ADB的一个法向量，则>”,U 珠=氏-2=0令 2=7.得 k=l ,3=-l,=(L1 ,1).由知底6=(0,畲,一1)为平面ACB的一个法向量，设二面角C-A&-D的平面角为6,由图知06(0,等)，GG” 八|不由 2疙 76所以A-博市一万云F'所以二面角CABi-D的余弦值为母. 12分21 .解:本题考查轨迹方程与椭圆中的定值同期.(D设从点F引NEMB的外角平分线的垂我，垂足为R善考答案第3页(共6页)在APME中,RM是/KMP的角平分线.

31、 |A）| = |MF| |，可得 |MF J +1 MB | = | MP| + |MFJ = | PFZ,根据椭圆的定义，可得IMB I + IMB I -2a-M j2.|PI；21 =4.即动点P到点I't的第禹为定值4我，因此点P的轨迹是以点鼻（2,0）为圆心，半径为4笈的圜（不含与.r轴的交点），其轨迹方程为Q2V+：/=32（丫=0）. 5分因为直线/的斜率存在且不为。，设直线，1=，3,+”，字0） ,A5 .y）,坎心，分） ,95.一投），才y+f联立<y2 _ ,可得（/+2）942"修了十/ -8=0.囱+彳=由韦达定理知y+=一悬直线八8的方程为），一m = "子（.,一43X| 前2,” 一8令,，=0,可得）=二也=也十刀=二初岭f? +弟？=也产+,=考T十yi+j子>1十gyi十2yi十）吆2加产！ 2-+-去即 H-y-,0）.所以|ON| 1071 = 1/1 . |予 1=8 为定位.12分22 .解:本期考查导数的几何意义以及函数的零点.（L）因为/（公=工一 2八所以= 1 - 2 = 1.又因为八1）=0,所以曲线.y=/（N）在点处的切线方程为，<0= 一（-1）=】一即彳+厂=6 4分42）解法一:山言知，（*! ）=ln.ri ,rH I