复习3数列通项与数列求和名师课件

1、复习复习3:数列通项与数列求和数列通项与数列求和 综合复习综合复习 数列通项与数列求和数列通项与数列求和 数列通项的常见题型与解法数列通项的常见题型与解法 1 由给定数列前几项由给定数列前几项 ，找规律写通项，找规律写通项 2 2 由等差、等比定义（转化为等差、等比），写出通项由等差、等比定义（转化为等差、等比），写出通项 3 3 利用迭加利用迭加 an-an-1=f(n) 、迭乘、迭乘 an/an-1=f(n)、迭代迭代 an?1?pan?q给定的数列，利用待定给定的数列，利用待定 4 4 由首项及一阶递推由首项及一阶递推 系数与换元求通项系数与换元求通项 Sn或或 an利用利用3 3、4

2、4求求Sn与与 an的方程的数列，保留的方程的数列，保留 5 5 给定给定 通项通项 数列求和的常见题型与解法数列求和的常见题型与解法 1直接用等差、等比数列的求和公式求和直接用等差、等比数列的求和公式求和 2错位相减法求和错位相减法求和 3分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其转分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。化为等差或等比数列，再求和。 n2n如如 an?2?3 n?1an?n?2n?34合并求和合并求和 5拆项相消法求和拆项相消法求和 111?n(n?1 )nn?1n1?n?1?nn?1?nn(n?1 )2k?2k?13nn(n?1 )(2n?1

3、)26常用结论求和常用结论求和 ?k?6k?17倒序相加法求和倒序相加法求和 22 Sn?n?N,n?2?求求an an?例例1 数列数列an中中,a1=1, , 2Sn?1 22 Sn解：原式化为解：原式化为 Sn?Sn?1?Sn?1?Sn? 2Sn?1Sn2 Sn?111111?1所以所以 ?2 n?1?2又又 SnS1a1SnSn?11知知 Sn?2 n?1? 1(n?1 ) 得得 an?2(n?2 )?(2 n?1 )(2 n?3 )?an?，构造一个新数列，构造一个新数列 例例2 已知数列已知数列 1是首项为是首项为 1 ，公比为，公比为 的等比数列的等比数列 3a1,(a2?a1)

4、 ,(a3?a2)?,(an?an?1)?an?的通项公式的通项公式 an与前与前 Sn求求 n项和项和 解：解：a n?a1?(a2?a1)?(a3?a2)? ? ?(an?an?1)1n1?( )3?1n?3?1?( )?(n?N?)?123?1?33?1111?Sn?n?(?2?3? ? ?n)?2?3333?331?n?n?1244?35?a1?且对于任意且对于任意 ?an?中，中， n?N都有都有 例例3 ：已知数列已知数列 611n?11an?1?an?( )?bn?满足满足 bn?an?1?an，数列，数列 322?an?的通项公式的通项公式 bn?是等比数列，并求是等比数列，并

5、求 求证：求证：? 1n?1?111?1n?1b n?an?( )?an?( )?an解：解：2?2?3261n?211n?21?11n?1?1?(1)n?1?1a?bn?1?( )?an?1?( )?an?( )?n?6?26?32?3?2261又又 b1?09bn?11?（常数）（常数） 所以所以 ?bn?为等比数列为等比数列 bn3(n?N )?1n?1?1n?11n?1?进一步可得进一步可得 bn?( )?an?6?( )?( )?3?23例例4:4:求数列求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，前前n项和项和S n解解: : ak?(2k?1 )?2k?(2k?1 )? ?

6、?(2k?1 )?(k?1 )k(2 k?1 )?(3 k?2 )523?k?k22252232?Sn?a1?a2?an?(1?2?n )?(1?2?n)225 n(n?1 )(2n?1 )3n(n?1 )?26221?n(n?1 )(5 n?2 )6?6 n?5(n为奇数)?an?的通项公式为的通项公式为 an?n例例5 已知数列已知数列 4(n为偶数)?求该数列的前求该数列的前n项和项和 Sn解：当解：当n为偶数时，为偶数时， Sn?(a1?a3?a5?an?1)?(a2?a4?a6?an)?(1?13?25?6n?11 )?(4?4?4?4 )3 n?5 n16n? ?(4?1 )215

7、当当n为奇数时，为奇数时， 2246nSn?(a1?a3?a5?an)?(a2?a4?a6?an?1)?(1?13?25?6n?5 )?(4?4?4?423 n?n?2 16n?1? ?(4?1 )215246n?1)?an?为等差数列，公差为等差数列，公差 d?0 ,?an? 例例6 6 已知数列已知数列 ak1,ak2,?,akn?恰为等比数列，恰为等比数列， 的部分项的部分项 组成下列数列：组成下列数列： k1?1 ,k2?5 ,k3?17 ,求求 k1?k2?k3? ?kn.其中其中 a1?4 d?3?(a1?4 d)?a1(a1?16 d)得得 a1? 2d ?q?ak1a12解：因为解：因为 ak1,ak2,ak3成等比数列，成等比数列， ak2?akn?a1?(