2020年山东新高考函数精选模拟试题(含解析)

1、2020届山东省新高考高三优质数学试卷分项解析02专题5 一元函数导数及其应用命题规律揭秘从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力 .预测2020年高考命题将保持稳定.主观题应用导数研究函数的性质，备考的面要注意做到全覆盖，如导数几何意义

2、的应用、单调性问题、极（最）值问题、零点问题、不等式的证明、参数范围的确定等精选试题解析一、单选题1. （2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）函数 y x3 x2 mx 1是R上的单则函赘，则m的范围是（）A . (1,) 3B.(,3)C- 3,)?D.(,32. （2020山东高三下学期开学）已知函数f （x）是偶函数,当x0时,f(x)xln x 1 ,则曲线 y f (x)在x 1处的切线方程为（）A. y xb. y x 2 C. y xd. y x 23. （2020届山东省济宁市高三 3月月考）已知ln xi xi yi 2 0, x2 2y2 4 2ln 2 0,记 22

3、M x x2yi y2 ,则（）A . M的最小值为2B. M的最小值为-55C. M的最小值为8D. M的最小值为 55VVe e sin x4. （2020山东滕州市第一中学高三 3月模拟）函数f x 2 x的图象大致为（）e155. （2020届山东省荷泽一中高三2月月考）已知奇函数 f X是R上增函数，g Xxf x 则（）x的图象如图所示，则下列判断正确的是（）132A. g 10g3 1 g 2 2 g 2 3 41 23B. g 1og3 g 2 3 g 2 2 4321C. g 2 2 g 2 3 g 10g3;4231D. g 2 3 g 2 2 g 10g3;46. （20

4、20届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知函数y f X的导函数f_1A.函数y f x在区间 3, 一内单倜递增 2B.当x 2时，函数y f x取得极小值C.函数y f x在区间 2,2内单调递增D.当x 3时，函数yf x有极小值7. （2020届山东省青岛市高三上期末）已知奇函数f x是R上增函数，g x xfx则（）B.10g3 4C.32210g3 14D.10g3 14二、多选题8. （2020届山东省济宁市高三3月月考）设函数ln x , x 0x,右函数g xe x 1 ,x 0x b有三个零，则实数b可取的值可能是 （）A.1B.一2C.D. 29.（2020山东滕州市第

5、一中学高三 3月模拟）设定义在R上的函数x满足f x f2x ,且Xo为函数0时，f x x.己知存在XoXex Jex a（aR,e为自然对数的底数）的一个零点，则实数a的取值可能是（C.10.（2020 2020届山东省淄博市高模）已知ln X)Xiy14 21n2X1X2V12y2，贝U （M的最小值为C.M的最小值为2不54B.最小时,X2D.最小时,1256X2三、填空题11. （2020届山东省荷泽一中高2月月考）已知直线y x 2与曲线y1n( xa）相切,12. （2020届山东省烟台市高三模拟）设定义域为R的函数f x满足fx 1 _e f x f 2x 1的解集为13. （

6、2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）已知函数f x 2sin x sin2x,则f x的最小值是14. (2020山东高三模拟)已知函数f(x) xlnx 2a在点(1, f (1)处的切线经过原点，函数g(x)f(x)的最小值为m ,则m2 a 15. (2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测)若函数 f (x) a1nx,(a R)与函数g(x) Jx ,在公共点处有共同的切线，则实数 a的值为16. (2020届山东省济宁市高三 3月月考)如图所示，某几何体由底面半径和高均为1的圆柱与半径为1的半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱

7、的底面平行， 则小圆柱体积的最大值为 17. (2020届山东省淄博市高三二模)已知函数f x的定义域为R,导函数为f x ,若sin xf x cosx f x ,且f x 0,则满足f x f x0的x的取值范围为.2四、解答题x18. (2020届山东省济宁市第一中学局三二轮检测)已知函数 f x x 1 ae(1)讨论f x的单调性； 1(2)当 a 1时，设1 x10,x20 且 f k fx25 ,证明：x12x24 -.e19. (2019宁德市高级中学高三月考(理)已知函数f(x) ae2x+(a- 2) ex-x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的

8、取值范围.1 220.(2020山东局三模拟)已知函数f (x) -m x 1 ln x(m R).(1)若 m 1,求证：f (x) 0.(2)讨论函数f(x)的极值；11(3)是否存在实数 m ,使得不等式f (x) f 在(1,)上恒成立？若存在，求出 m的最小值；右不 x e存在，请说明理由21. (2020届山东省高考模拟)已知函数f(x) x2 ax 21nx(a R).(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个极值点 ox2 4 x2 ,当a 2je亳时，求f 乂2f xi的最大值.22. (2020届山东省济宁市高三 3月月考)已知函数x 1 ax(1)求函数f x的单

9、调区间;(2)是否存在一个正实数 a,满足当x R时,01恒成立，若存在,求出a的值；若不存在，请说明理由.23. (2020届山东省潍坊市高三模拟一)已知函数_ x_ e cosx xsin xsin x 2ex,其中e是自然对数的底数.(I ) X ,0 , x20,使得不等式22f (为)m g(x2)成立，试求实数m的取值范围;(n)若 x 1 ,求证：f(x) g(x) 0 .24. (2020届山东省潍坊市高三模拟二)已知函数f(x)xln x kx,k R.(1)求y f (x)在点(1, f(1)处的切线方程；(2)若不等式f (x) x2 x恒成立，求k的取值范围；,、，*n

10、 1.2 .2n2 n 八(3)求证：当n n时，不等式 ln 4i 1成立.1 12n 125. (2020届山东省荷泽一中高三 2月月考)已知函数 f x ln x x 2sinx, f x为f x的导函数.求证：f x在0,上存在唯一零点；(2)求证：f x有且仅有两个不同的零点.26. (2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考)已知函数f(x) 21nx ax, a R.(I )讨论f (x)的单调性;(n)当a1时，令g(x) x2 f (x),其导函数为g (x),设x,x2是函数g(x)的两个零点，判断土产是否为g (x)的零点？并说明理由27. (2020届山东省潍坊市高三下

11、学期开学考试)已知 f(x) 21n(x 2) (x 1)2, g(x) k(x 1).(1)当k 2时，求证：对于 x 1, f(x) g(x)恒成立;(2)若存在xo1 ,使得当x1, xo时，恒有f (x) g(x)成立，试求k的取值范围28. (2020届山东省淄博市高三二模)(本小题满分12分)设函数f x21n x 1(I)讨论函数 f x的单调性;(n)如果对所有的 x >q都有f x wax,求a的最小值；(出)已知数列 为 中，a1 1,且1 an 1 1 an1 ,若数列an的前n项和为Sn,求证：Sn n- 1nan 1 .2ana 229. (2020届山东省烟台

12、市图二模拟)已知函数 f x -x x 1nx b 1 , a,b R.2(1)当b -1时，讨论函数f x的零点个数；(2)若f x在0,上单调递增，且c e2ab求c的最大值.12.八30. (2020山东滕州市第一中学局三3月模拟)已知 f x ln x, g x -ax bx a 0 ,2h x f x g x .(I )若a 3,b 2,求h x的极值；(n)若函数y h x的两个零点为ox?Xix2，记x°xx2,证明：hx00.2x 2231. (2020届山东省泰安市肥城市一模)已知函数 f(x) e ax x a 在x 1处取得极小值.(1)求实数a的值；(2)若函

13、数f(x)存在极大值与极小值，且函数g(x) f (x) 2x m有两个零点，求实数 m的取值范围(参考数据：e 2.718, 75 2.236)2-32. (2020山东局三下学期开学)已知函数f x xln x 1, g x ax a 2 x.(1)设函数H x f x g x ,讨论H x的单调性;B x2, V2两个不(2)设函数Gx gx a2x,若fx的图象与G x的图象有A x1, y1同的交点，证明：ln x1x22 ln 2.33. (2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测)已知函数 f(x)2xln x ,函数a2g(x) x 一 (lnx),其中a R,xo是g(x)

14、的一个极值点，且g x02.(1)x讨论f(x)的单调性(2)求实数xo和a的值(3)n证明k 1 4k2 11-ln(2n 1)234. (2020届山东省六地市部分学校高三3月线考)已知函数 f xlnx2 ax x a1讨论函数f x的极值点的个数;2若函数f x有两个极值点x1，x2,证明：f xf x23 21n2.精选试题解析、单选题1. （2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）函数y x3 x2 mx 1是R上的单调函数，则m的范围 , 是（）1C ?)?D.(11A. （1,）B. （,3）【答案】C【解析】 若函数y x3 x2 mx 1是R上的单调函数，只需 y 3x2

15、 2x m 0恒成立，即1V 4 12m 0, m 一. 3故选：C.2. （2020山东高三下学期开学）已知函数f（x）是偶函数，当x 0时，f（x）xln x 1 ,则曲线 y f (x)在x 1处的切线方程为（）a. y xb. y x 2c. y xD. y x 2因为 x 0, f(x) f( x)xln( x)1, f( 1) 1, f (x)ln( x) 1 , f ( 1)1 ,所以曲线y f （x）在x 1处的切线方程为 y 1故选：A3. （2020届山东省济宁市高三 3月月考）已知lnx1 x1y1 2 0, x2 2y2 4 2ln 2 0 ,记22M x x2y1 y

16、2 ,则（）2A. M的最小值为一58C. M的最小值为一5【答案】B【解析】4B. M的最小值为一512D. M的最小值为一5由题意，M2x1x22y1V2的最小值可转化为函数y ln x x 2图象上的点与直线x 2y 4 21n 2 0上的点的距离的最小值的平方y 1n x与直线x2y 4 21n 2 0平行的直线斜率为2,所以切点的坐标为2,1n 2切点到直线2y 421n 2 0的距离d21n 2 4 21n 22.55故选：B4.C.2Vi2, a ,4V2的最小值为一.5（2020山东滕州市第一中学高三itjrx3月模拟）B.D._ xe sin xex的图象大致为（由函数的解析

17、式可得:则函数f x的图像关于坐标原点对称,据此可排除B选项,考查函数ge x,则 g2xe 15 xe当x 0时,g x单调递增，则据此可排除C选项;0,据此可排除D选项;当 0 x 兀时，ex ex 0,sin x 0 ,则 f x本题选择A选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手:从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势.(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.(4) 从函数的特征点，排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项.5. (2020届山东省荷泽一中高三2月月考)已知奇函数f X是R上增函数，g X X

18、f X则()1 32A. g log3- g 2 23所以 g 10g3 g 2 3 g 2 2 . 4故选：B. 6. (2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测)已知函数y f X的导函数f X的图象如图所示， 则 g 2 下列判断正确的是() 41 23B. g log3- g 2 3 g 2 2 4321C. g 2 2 g 2 3 g 10g3二 4231D. g 2 3 g 2 2 g 10g3; 4【答案】B【解析】由奇函数f (x)是R上的增函数，可得 f X 0,以及当 x 0 时，f X 0,当 X 0 时，f X 0,由 g X Xf X ,则 g( X) Xf ( X

19、) Xf (x) g(X),即 g(X)为偶函数.因为g x f x Xf x ,所以当X 0时，g X 0,当X 0时，g X 0.故x 0时，函数g(x)单调递增，x 0时，函数g(x)单调递减.132因为 g log3 4 g log34， 2 2 2 3 2c0 1 log34_1A.函数y f x在区间 3, 内单倜递增2B.当x 2时，函数y f x取得极小值C.函数y f x在区间 2,2内单调递增D.当x 3时，函数y f x有极小值【答案】BC【解析】1对于A,函数y f x在区间 3,-内有增有减，故 A不正确；对于B,当x 2时，函数y f x取得极小值，故 B正确；C正

20、确;对于C,当x 2,2时，恒有f x 0,则函数y f x在区间 2,2上单调递增，故对于D,当x 3时，f x 0,故D不正确.故选：BC7. （2020届山东省青岛市高三上期末）已知奇函数f x是R上增函数，g x xf x则（132A. g log3- g 2 31 g 2 D. g 2 3 g 2 2 g 10g3二 【答案】B【解析】41 23B. g log3- g 2 3 g 2 24321C. g 2 2 g 2 3 g 10g3二4由奇函数f (x)是R上的增函数，可得 f X 0,以及当 X 0 时，f X 0 ,当 X 0 时，f X 0 ,由 g x Xf X ,贝U

21、 g( x)Xf ( X) Xf (x) g(X),即 g(X)为偶函数.因为g Xf x xf X ,所以当 X 0时，g X 0,当 X 0时，g x 0.故x 0时，函数g(x)单调递增,x 0时，函数g(x)单调递减.1 因为g 10g3 一4g log 3 4 ，322 22 3201 1og34123所以 g 10g3 g 2 3 g 2 2 4故选：B.二、多选题8. (2020届山东省济宁市高三3月月考)设函数f X1n x , x 0x 1 ,xb有三个零，则实数b可取的值可能是 ()A. 0B. 1C. 1D. 22【答案】BC【解析】由题意，函数g x f x b有三个零

22、点，则函数 g x f x b 0,即f x b有三个根，当 x 0时，f x ex x 1 ,则 f x ex x 1 ex ex x 2由f x 0得x 2 0,即x2 ,此时f x为减函数,由f x 0得x 2 0,即2 x 0,此时f x为增函数，1 一即当x 2时，f x取得极小值f 2 下，作出f x的图象如图:e1要使f x b有三个根，则0 b 1,则实数b可取的值可能是 一，1 2故选：BCX2,且当9. (2020山东滕州市第一中学高三3月模拟)设定义在 R上的函数f X满足f x f X1 2-1 ,2-x 0时，f X X.己知存在X0x f x -x f 1 x -

23、1 X ,且X0为函数22g xex /ex a (a R,e为自然对数的底数)的一个零点，则实数 a的取值可能是()A. 1B. C. eD,222【答案】BCD【解析】1 22Q 令函数 T(x) f(x) 3X ,因为 f( x) f (x) X , .12.12.2T(x) T( x) f(x) 2X f( x) 2 x) f(x) f( x) x °，T(x)为奇函数，当 x, 0时，T (x) f (x) x 0 ,T(x)在 ,0上单调递减，T(x)在R上单调递减.1 2'Q 存在 X。xT(x)T(1 x),得 T(x。)T(1 X0) , X0, 1 X。，

24、即 X0,Q g(x) ex Vex a ； (x, 1),Qx0为函数y g(x)的一个零点;1”Q 当 X -时，g (x) e <ex, 0, 21函数g(x)在x, 一时单调递减，2a 1由选项知a 0 ,取x ，e 2 即函数y lnx x 2上的点到直线x 2y 4 21n 2 0上的点的距离的最小值为 "5.要使g (x)在x,只需使g 1.e2解得a_e , 21一时有一个零点,21 泥 a, 0 ，2a的取值范围为故选：BCD.10.(2020 2020届山东省淄博市高.模)已知In x1x1y10 , X2 2y2 4 2ln 2 0 ,记C.2x1x2V1

25、M的最小值为M的最小值为2V2，贝U (2.5545B.D.最小时,最小时,X2X212565BC由 ln x1Xiyi2 0,得：y In x1为Vi2y2的最小值可转化为函数ln xx 2图象上的点到直线x 2y 4 2ln 2 0上的点的距离的最小值的平方,由 y ln x x 2得：y与直线x2y 42ln 20平行的直线的斜率为,人1则令一1x解得:x 2 ,切点坐标为2,ln2 ,2,ln2到直线x 2y2 2ln 2 4 2ln 22 54 2ln 2 0 的距离 d ,52 224Mx1 x2y y2的最小值为d 一，5过 2,1n2 与 x 2y 4 21n 2 0 垂直的直

26、线为 y In 2 2 x 2 ,即 2x y 4 In 2 0.由 x 2y 4 2x y 421n21n2x 一，即当M最小日x512523故选：BC.三、填空题11. (2020届山东省荷泽一中高三2月月考)已知直线 y x 2与曲线y 1n(x a)相切，则a=设切点为( 1 _e f x f 2x 1的解集为【答案】(1,)【解析】(x)(x)°, y0),由题意可得：曲线的方程为 y = 1n (x+a),所以y'=.所以 k 切=1,并且 y0= xo+2, yo= 1n (xo+ a ),解得：y0= 0, xo= - 2, a = 3-x0 a故答案为3.1

27、2. (2020届山东省烟台市高三模拟)设定义域为R的函数f x满足f x f x ,则不等式F' (x)>0,即函数F (x)在定义域上单调递增.x 1e f x f 2x 1f x f 2x 1-< 一27，即 F (x)v F(2x 1) e ex<2x 1 ,即 x>1.不等式ex1f x f 2x 1的解为1,故答案为：1,13. (2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测)已知函数f x2sin x sin2x,则f x的最小值是分析：首先对函数进行求导，化简求得cosx 1 cosx,从而确定出函数的单调区间，减区间为2k5r，2ki k2k -

28、,2k3,确定出函数的最小值点,从而求得sinx-,sin2x2、3代入求得函数的最小值2详解：f' x2cosx 2cos2x24cos x 2cosx 2 4 cosxcosx1cosx 一时函数21.单倜减，当cosx 一时函数单调增, 2从而得到函数的减区间为2k53，2kZ ,函数的增区间为 2k , 2k k Z33,所以当x 2k,k3时,函数f x取得最小值，此时sinx3 ,sin2 x3,所以22f xm.214. (2020山东高三模拟)已知函数f(x) xln x2a在点(1,f(1)处的切线经过原点，函数g(x)f(x)x的最小值为m ,则m 2af (x)

29、1 In x ,f (1) 1f(1) 2a,切线11的方程：y 2a x 1又li过原点，所以2a 1, f(x) xlnx 1,1,、11x 1g(x) Inx , g(x) - T- xx x x当 x (0,1)时，g (x) 0；当 x (1,)时，g(x) 0.f (x)故函数g(x) ()的最小值g(1) 1,所以m 1,m 2a 0. xR)与函数g(x) Jx ,在公故答案为：0.15. (2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测)若函数 f (x) a1nx,(a共点处有共同的切线，则实数 a的值为【答案】e2【解析】函数f x alnx的定义域为 0,_1_2Vx &#

30、39;设曲线f xalnx与曲线g xJx公共点为 x0,y0 ,由于在公共点处有共同的切线，由f 址 g x0 ,可得alnx0衣.x0 4a2联立l，解得aalnx0x0e故答案为：e.216. (2020届山东省济宁市高三 3月月考)如图所示，某几何体由底面半径和高均为1的圆柱与半径为1的半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行,则小圆柱体积的最大值为 【解析】由题意，设小圆柱体底面半径为cos则高为1 sin ,0,2小圆柱体体积V2 cos1 sin设sint,0,1 ，t2t3 t23t22t 13t3时,Vmax322732故答

31、案为：32-2717. （2020届山东省淄博市高三二模）已知函数f x的定义域为R,导函数为f x ,若cosx f x ,sin xF 6则满足f x 0的x的取值范围为依题意,cosxcos xcosx2故函数为奇函数cosxsin x0，故函数在R上单调递减,cos xcosx 02x ,故x"2，则x的取值范围为故答案为:225四、解答题x18.(2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测)已知函数f x x 1 ae(1)讨论f x的单调性；1(2)当 a 1 时，设 1 x1 0,x2 0且 f % f x25 ,证明：x1 2x24 -.e【答案】(1)见解析(2)见

32、解析【解析】(1) f x 1 aex,当a 0时，f x 0,则f x在R上单调递增.1一. 1当a 0时，令f x 0,得x ln ,则f x的单调递增区间为 ，ln ,aa11】，则f x的单调递减区间为In -(2)证明：(法一)设 g x f x 2xex 3x 1,则 g x由 g x 0得 x ln3 ;由 g x故 g x max g ln3 3ln3 4 0从而得g x f x 2x 0,Q f X f x25, f x22x25 f x12x2 0,rr1即 x1 2x24 一 .（法二）Q fxfx25,xex1ex2x23,x1x2x1 2x2 e e3x2 3,设 g

33、 xex 3x,贝 u g xex 3,由g x 0得 x ln3;由g x0得 x ln3,故 g x min g 1n33 31n3 .Q 1Xi”)。,c11x1 2x2 e 3 3ln3 3ln3 , e-c1Q 3ln3 ln27 4,x1 2x24 -.e19. (2019宁德市高级中学高三月考(理)已知函数f(x) ae2x+(a-2) ex-x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围【答案】(1)见解析；(2) (0,1).(1) f x的定义域为2xx /xx /f x 2ae a 2 e 1 ae 1 2e 1 ,0,所以f x在单调递减.3

34、2(ii )若 a 0,则由 f x 0得 x Ina.Ina 时，f x 0；当 x Ina,时，f x 0,所以f x在Ina单调递减,在 Ina,单调递增.(2) ( i )若a 0,由(1)知，f x至多有一个零点.1Ina.(ii )若a 0,由(1)知，当x Ina时，f x取得最小值，最小值为f Ina 1 a当a 1时，由于f Ina 0,故f x只有一个零点；1当a 1, 时，由于1 Ina 0,即f Ina 0,故f x没有零点； a1一 一当 a 0,1 时，1 Ina 0,即 f Ina 0. a 422又f 2 ae a 2 e 2 2e 20,故fx在 ，Ina有一

35、个零点. 3设正整数 n0满足 Aq In 1 ,则 f ri。e0 ae0 a 2 n0 e0 nO 20 n0 0.a,3由于In - 1 Ina,因此f x在 Ina,有一个零点a综上，a的取值范围为 0,120. (2020山东高三模拟)已知函数f(x)In x(m R).(1)若 m 1,求证：f (x) 0.(2)讨论函数f(x)的极值;(3)是否存在实数 m ,使得不等式f(x)在(1,)上恒成立？若存在，求出 m的最小值；若不存在，请说明理由.(1)证明见解析;(2)见解析；(3)存在,1.(1) m1,1 f(x) 22x 1 In x(x0),f (x)x2 1x (0,1

36、)时,f (x)(1,)时,f (x) f(x)minf(1)0,故f(x)0.(2)由题知，x0, f(x)1一mx x2 mx当m 0时,2/ mx(x) x所以f(x)在(0,)上单调递减，没有极值;当m 0时,2.,、mx 1c(x) 0,x时，f (x) 0 ；当 x时，f (x)0,所以f (x)在-1，0,- 上单调递减，在 ,nn上单调递增.故f (x)在x1f=处取得极小值f，m1lnm 2无极大值.(3)不妨令x 11 工 e x h(x)x 1x 1,x e xe设 u(x) ex 1 x, x (1,), u (x) ex 11 0 在(1,)恒成立,u(x)在1,)单

37、调递增，u(x) u(1) 0ex 1 x 0在(1,1值成立,所以，当x (1,)时,h(x) 0,由(2)知，当m 0,x1时，f(x)在(1,)上单调递减,f(x) f(1) 0 恒成立;1 所以不等式f (x)-1 F在(1,)上恒成立，只能 e所以m 1时,1,由(1)知f(x)在1,.m上单调递减,f Jmf(1)0,不满足题意.1时,设F(x)ln x因为m1,xmx x,e1,00, eF (x)mx1 2 x2x2x即 F (x)(x1)x2 10，所以F(x)在(1,)上单调递增,又 F(1) 0,所以 x (1,)时,F(x)0恒成立,即f (x) h(x) 0恒成立,故

38、存在m 1 ,使得不等式f(x)在(1,)上恒成立,此时m的最小值是1.21. (2020届山东省高考模拟)已知函数f(x)ax 2ln x(a R).(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个极值点x1,x2 x1 x2 ,当a- -22/e7时，求f x2f x1的最大值.a a2 16【答案】(1)当a 4时，f(x)在(0,)上单调递增；当a 4时，f(x)在0, ,4上单调递增；在% a2 i6 a、.a2 i6 田, , 上单倜递减;【解析】(1)由f(x)ax 21n x 得 f(x)2x a因为x0,所以2x4;因此，当4时，f(x)2x0 在（0,）上恒成立，所以f

39、（x）在（0，）上单调递增;4时,由 f (x)2x0 得 2x2ax(x) 2x a0得刍所以f (x)在0,£递减;综上，当a当a 4时,上单调递减;.a2 i64、a2 i6x4a、.a2 i64a2 i6;4上单调递增;4时，f (x)在(0,）上单调递增;f(x)在 0，a Ja2 i64a a2 i64（2）若f（x）有两个极值点xi,x2xix2由（1）可得，xi,x2是方程2x2ax 20的两不等实根,所以xixix2 i因此fx2(x22ax221n x2)2xi2(xix2)(xix2)x221n xi2xii则 fM) f (xi) X22X221naa2 i6

40、 a，4上单调递增;a4 21n k)2X22X2a 、.a2 i6=;4,a2 i6 上单倜4在 a a2 i6a2 i6421nX2 i21x2xix2221n x2 ,21n t ；由(1)可知-2 ._当 a 2 ee =时， a Va16e & 42、e 2、.e'- -2所以tX2e,人1一令 g(t) - t 2ln t , t e,_2_25)告*在t e,1所以g(t) - t 2ln t在te,上单调递减,一1 一故 g(t)max g(e) - e 2. e1 一即f X2f X1的最大值为e 2.e22. (2020届山东省济宁市高三 3月月考)已知函数

41、 f X1 ax ex a R(1)求函数f x的单调区间;(2)是否存在一个正实数 a,满足当x R时,f x 01恒成立，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.21【答案】(1) a 0时，f x的增函数区间为,无减函数区间；a 0时，f x的增函数区间为,减函数区间为；a 0时，f x的增函数区间为,减函数区间为；(2)存在,1.【解析】(1)函数 x R, f x1 ax ex的定义域为R,若 a 0, f xex, f x 在上为增函数;若1 a0 , 当x 时,a1 a0;当x 时,af x 0；所以1a上为增函数，在 a上为减函数;若八 ,1 a i0, 当x 时, a所以上

42、为减函数，在a 0时,a 0时,1)若对任意实数又因为a即：ln a.当0所以,.当00时，fx的增函数区间为x的增函数区间为x的增函数区间为知，a 0时，f0,所以不等式lna S aa1 时，g a当a 1时,当a 1时,0;当 x 1一a时,af x 0；为增函数,无减函数区间;,减函数区间为,减函数区间为x的最大值为f1 a1恒成立，只须使ae1 ac aae1即可.1 a ae- ae1等价于：In1 ac aae1时,在0,1上为减函数，在1时,g 10,1,上为增函数,不等式0不成立,存在正实数a且1时,0,不等式满足当xIn aIn aR时,0不成立,0成立,4423.(202

43、0届山东省潍坊市高三模拟一)已知函数f x excosx xsinx, g x sinx J2ex,其中e是自然对数的底数.兀冗一 一一、(I) X ,0 , x20-，使得不等式f(xj m g(x2)成立，试求实数 m的取值范围;22(n )若 x 1 ,求证：f (x) g(x) 0 .【答案】(i ) J2 1,; ( n)证明见解析.【解析】.-一、冗冗 .一.(I)由题息，x1,0 ,x20,一，使得不等式f(x1)mg(x2)成立,22等价于f (x1) maxg(x2) max. 1 分xxxe (cosx sinx) (sinx xcosx) (e x)cosx (e 1)s

44、inx,当x ,0时，f x 0,故f(x)在区间0,上单调递增， 22所以x 0时，f x取得最大值1.即f(x)max 1又当 x 0, 时，g x cosx 亚太,g x sinx V2ex 0所以g x在0,-上单调递减，所以 g x g 01 J2 0,2故gx在区间0,j上单调递减，因此，x 0时，g(x)max g(0)J2.所以1 m J2，则m衣1 实数m的取值范围是近 1,()当x1 时，要证/一对.工"。，只要证 excosx xsinx sin x V2ex 0，即证 ex cosx J2x 1 sinx,由于 cosx J2 0,x 1 0,x e 只要证x

45、 1sin xcosx 2卜面证明x1时，不等式cosx 4 、尸成立.sin x 2x ex xxxe x 1e-x 1 ,则 h X 21x 1xxe2x 11,0时，h x 0h x单调递减;0,时，h x 0h x单调递增.所以当且仅当x 0时，h x取最小值为1.则 kcosx .2ksinx,即 sinxkcosx72k,即 sin(x )/2kTV，由三角函数的有界性,.2 k1 k21,所以kmax1,但当x 0时，k0时，hxe所以，x 1 .minsinxcosx 2maxsin xcosx 、. 2综上所述，当x1时，卜）下0成立.法二：令 （x）sin xcosx,其可看作点 A cosx,sin x 2BJ2,0连线的斜率所以直线AB的方程为:由于点A在圆x2y21上，所以直线AB与圆x21相交或相切,当直线AB与圆x1相切且切点在第二象限时,直线AB取得斜率k的最大值为1 .而当x 0时,(0)x 0时，h x1 k ,所以，h(x)min(x)maxsin xcos x 、2综上所述，当x1时,（力一成立法三：令 （x）n,则(x)1 72co