行列式试题库

1、.判断题（易）1、&1&2ana21a22a2nan1an2annn阶行列式是由n2个数构成的n行n列的数表（）答案：x（较容易）2、答案：X（较容易）3、答案:（较容易）答案:二.填空题（中等）1.设A答案：0, 0（中等）2.卜84.若方阵k2k10A的各行元素之和为零，则 A 0 （）, A31A32A33, A34A35, 求 A11A21A31A41 =答案：0（较容易）3. 5阶行列式D的第2列元素依次为1,1,0,2,1它们对应的余子式分别为一1,3,2,0,1 ,则 D答案：3（较容易）4.acca答案：1答案:（较容易）答案:2942x2yxx2x3yx yx

2、2x3yxyy)（较容易）5.2xy(x24642732710145434433427216216.1050有非零解.0x3答案：3, 0（中等）7.已知三阶行列式36，它的元素a”的代数余子式为Aj （i 1,2,3, j 1,2,3）,9则与a4 bA22CA23对应的三阶行列式为答案:（中等）8.设行列式答案：-28（较容易）9.则第四行各元素余子式之和的值为答案：x2y2（中等）10.行列式答案：x4（较容易）11.时,齐次方程组x1x2x30x1x2x12 x2*3（较容易）2.设D答案：（d（较容易）2a3ac)(d b)(d13.为 1,2, 2, -1, 答案：-1b2b3a)

3、(c已知四阶行列式则行列式D2c3cd2dd3，则D=b)(c a)(b a)D的第二行元素分别为3, 1, -1,2,他们对应的余子式分别答案：1（较容易）14.设A是三阶方阵，且|A| 3,则|（2A）1| =入1答案：24答案：1或-1（较容易）16.已知四阶行列式（容易）15. A为正交矩阵，则|A|D的第3列元素分别为1,3,-2,2,他们对应的余子式分别为3,-2,1,1,则行列式答案：D=5（容易）17.行列式中元素a的代数余子式答案：4（较容易）18.四阶行列式的第二行的元素都是2,且第二行元素的代数余子式都是3,则D=1,则 A 2A _ 一.一 ，一 * *2 ,则其伴随矩

4、阵 A的行列式 A2301 ,则第3行第2列元素的代数余子式52答案：0（较容易）19.设A是三阶行列式，且 A答案：512（较容易）20.设五阶矩阵A的行列式A答案：161（容易）21.已知三阶行列式D 21A32 = 答案：7（容易）22.按自然数从小到大为标准顺序，排列4132的逆序数为 （容易）23.当i k 时排列1274i 56 k 9为偶排列.答案：8, 3（容易）24.排列1 3（2n 1） 2 4（2n ）的逆序数为 .答案：皿二2（容易）25.在五阶行列式中项a13a24a32a41a55前面应冠以 号（填正或负）答案：负（容易）26.四阶行列式中含有因子 a11a23且带

5、负号的项为 答案:a11 a23 a32 a44（容易）27.设A为n阶矩阵，且ATA E,则必有|A 答案：1或1 .一*（容易）28.设A为n阶可逆矩阵，如果 A 2 ,则A 答案：2n 1（容易）29.设A为n阶可逆矩阵，如果 | A|2，则A 答案：（2）n 1（容易）30.设A为n阶矩阵，且ATA E,则必有|AT 答案：1或1*a,则|A | =*（容易）31.设A是n阶万阵，A为其伴随矩阵，若| A |答案：an1（容易）32.若 |A44|则|A |答案：821（容易）33.设D31 1341答案：0x a a（较容易）34.若a x a11 , 则 A31A32A330答案：

6、2a或0x y z（较容易）35.已知3 0 211 11,则答案：2（较容易）36.设 D2a4a30a20答案：24（容易）37.答案：-18（容易）38.答案：32（较容易）39.答案：0（较容易）40.若齐次线性方程组3xD1x yx 3y3zy 3y , 22a203z3a304a4D200有非零解，则答案:（容易）41.行列式a中元素两的代数余子式Aj与余子式Mj之间的关系答案：Aj （1）ijMj（较容易）42.若n阶方阵A的秩为n-1,在A 答案:0（较容易）43.设A,B是两个三阶的方阵，且A 1, |B 2,那么3（ATB1）3答案:27"8（容易）44.设三阶方

7、阵A的不同特征值为-1,2,4 ,则A答案：-8（较容易）45.若A,B为n阶方阵，且|A 1,|B3,则 2AB答案：（1）n 1（容易）为三阶方阵2,则1a 2（较容易）47.设行列式,则 2A414A426A438A44答案：0（较容易）x y z4133 0 22,则x 1 y 1 z1 1111148.若答案：6答案：2（较容易）827641254916252345111149.答案：12aiia12a13aii3ai2a13（较容易）50.如果Da21a22a233,则2 a216 a222a23a3ia32a33a313a32a33答案：-18（较容易）51.aiia12a132

8、aii2a122a13a21a22a233,则2 a212a222 a23a31a32a332 a312 a322 a33如果D答案：24（容易）52.已知三阶方阵A的三个特征值为1, - 2, 3（容易）53.Dn答案：（1)n1n!（容易）54.答案：0（容易）55.已知答案：（容易）abacaebdcddebfcfef56.答案：4abcdef（较容易）57.答案：1（较容易）行列式答案：9三.选择题（容易）1.如果A.1b10011 b1b20011 b2b30011 1D(k2x11)Xi (k2x21)X20， 仅有零解，则（）.01, B.3, C.k 3, D. k 1 且k3

9、.答案：D（较容易）2.,分别表示行列式 D的三个列，则 D （）A.B.答案：DC.D.（较容易）3.四阶行列式D=a10A. a1a2a3a4 b1b2b3b4B.C. (a1a2 b1b2)(a3a4答案:（容易）A. 2 B.答案:D（较容易）b4a2b30b2a30为a2a3 a4b10b3b4) D.(a2a3的值等于（）b2b3)(a1a4 bh)a11a12a132a112a122a13a21a22a232,则2a212a22 2a23()a31 a32a332a312 a322a334.如果16C.12 D.5.已知4阶方阵A其第三列元素分别为1 , 3, - 2, 2,它们

10、的余子式的值分别为3,-2,1,1则行列式A. 5 B. -5答案:AC. -3D.（中等）6.设f(x)x2x3x，则方程f（x）0的三个根分别为（）A. 1,-1,2 B.答案：A1,1,4C. 1,-1,8D. 2,4,8（较容易）7.行列式a1a1a2a2二()a3a3A. 0B.b c C.(c b)(a2 a1) D.b(a2 a1)（容易）8.行列式D中元素a32的代数余子式为（）A. 0答案:BB. -10C.10 D.（容易）9.行列式D中元素a32的代数余子式为（）A. 4答案:AB.-4 C.D. 2（较容易）10.若ana!2a21a31a13a31a32a33a231

11、则2a212 a222aa333aii3a123a1a2223a323A. -5 B.答案：B6 C.-1D. 1（较容易）11.设f(x)，则方程f(x)0的根分别为（）A. 1,1,3,3答案： （较容易）B. -1,-1,3,3DC.-1,-1,-3,-3D. 1,-1,3,-312.已知a11a12a133 a313a323a33a21a22a23d,则行列式a31a32出32a21a113aii2 a22a123a122a23a133a)3A. 6d答案：AB.6dC.3dD.3d（较容易）13. 3A.3alb1a2a33a1 3a2 3a33a13 a2 3 a33b2b3B.3

12、 bl 3b2 3b3C.bib2b3C23c33ci 3c2 3c3C1C2C3Cic2c3Ga1b1a3b3a2b2a13a2a3D.b,3b2b3Ci3c2C3答案:D3 00000()0002000001(较容易)14.行列式D 020100000A. -12 B. 12 C. -6 D. 6答案：A0的充分必要条件是（）(较容易)15.设 Dn det(aj),则 DnA. Dn中有两行（歹U）元素对应成比例B. Dn中有一行（歹U）的元素均为零C. aiAj1ai2 Aj 2ain Ajn0(ij)D. ai1 Aj1ai2 Aj2ainAjn0(ij)答案：C（中等）16f(x)

13、10是（）次多项式A. 4 B. 3答案：CC. 2 D. 1（较容易）17.四阶行列式D的某行元素依次为-1,0,k,6,它们的代数余子式分别为3,4,-2,0,且D 9 ,则kA. 0 B. 3答案：B()C. 1D.-1A. 5 B. -5 C. 20a11a12a13a)34a11a125a11a21a22 a231,则a234a21a225a21a31a32 a33a334a31a325a31（较容易）18.若D. -20()答案：A（容易）19.A. abc答案：C（较容易）A.答案:C（较容易）A. 5答案:CabacB. 120.B.21.B.ab b2acbcbc2cC. 0

14、D.2, 2 2a b c设A*, A 1分别为n阶方阵A的伴随矩阵和逆矩阵n 1n 2n 3AC. A D. A已知A为三阶矩阵，其第三行元素分别为-5 C. 7 D.-7，则A A1,3,-2,它们的余子式分别为3,-2,1,a1142a134a112a113a12a13（较容易）22.如果a21a22a231,则4 a212a213a22a23a31a32a334 a312 a313a32a33-12 C. 24 D.-24()A. 8 B.答案：B（较容易）23.行列式103100204199200395301300600A. 1000 B. -1000 C. 2000答案：C（较容易

15、）24.行列式D4的值为（）A. -12 B.-24 C. -36 D. -72答案：D（较容易）25.设A为n阶方阵，且AA.B.C.D.A中必有两行A中任意一行A中必有一行（列）的对应元素成比例；（列）向量是其余行（列）向量的线性组合（列）向量是其余行（列）向量的线性组合A中至少有一行（列）向量为零向量答案：C（较容易）26.已知三阶矩阵 A的特征值为1, 2, 3,则行列式 A2 =（）A. 0 B. 1答案：DC. 6D. 36ana12a133a313a323a33（较容易）27.如果Da21a22a23m, D13a213a223a23a31a32a333a113a123a13那么

16、Di().A. 3m; B. 3m; C. 9m; D.27m .答案：D0001000100（较容易）28.已知D,则D010001000000001n(n 1)(n 1)(n 2)A. 1 B. -1 C.(1) 2 D. ( 1)2答案：D29.行列式D非零的充要条件是（）的所有元素都不为零至少有n2 n个元素不为零的任意两列元素之间不成比例D.以D为系数行列式的线性方程组有惟一解答案：D四.解答题1111(a 0,i 1,2,L,n)1ali1L 111 a21L 1(较难)1.111a3 L 1M M M M解:1 L L' u L L IL00110 uu 01 u o 乙

17、7« u)u i")10 010 01 L u I，11LL1LL(L u)u1 L L u o 乙 7 77« u)u1 LL01 LL0一 1 乙 u 1111乙199uL19£uu1£乙uu1乙 L u一 1乙1111乙199L1 9£u1 £乙1 Z L11乙L1乙L1乙L一1乙111Z19L19u1£12Lu11111 9 9 £ :搦1 9£乙1 2 LL u1 1P £ N (郡幽)£ Z乙 L01 !e乙0记!十 L !(0. p .UB 1 01101汩01

18、0Iz Iz 1 Iz七乙！% .ue o 1 0 0 l l/l l/l l/l l/l l/l 0 0 1 ee o 00 010至0ueo100也Al IAI IAI IAI IAI l/l 001汩0心0010电L L 1 L L ke i，ueo100七Al IAI IAI IAI IAI l/l 001eeo七0010他LL1LLLL l/l l/l l/l l/lL L 1 eB i， i， I，L L 1 L 2e i， 1L L 1 L L t=(1)n1 n(n 1)(1)nn(n21)n1( 1)n( 1)n 1L1)（较难）3- Dn解：Dn=(x a)Dn由递推关系有

19、（较难）4.解：Dn=(1)(n 1)(n 4)1)n(n 1)2DnDn(xa)Dn1a(x a)n 1(xn a)(xn a)1)nn10L01)( 1)n1(1)n(n 1)1)( 1)n1(1)n(1)n 1L1)2(7 1)2 n n=(n 1)n（中等）5.写出四阶行列式值.解:1)2 3（中等）解:(1)3(2)100a23 A236.1 ( 1)120.a33 A33计算行列式1019101)3(1)nn21)一5n 42(n1)n 11)1021019(n1)n中元素a231,a334的代数余子式，并求其十(-5)96.2)9634(1)220)176.1010131235(

20、7 69) 5 62 310.7371323713010 00 0L L0 aa00L0a0L(中等)7.计算n(n 2)阶行列式D 0 0aL LLLL100L解：按第一行展开，得 D a0 0 La0a0L000aL00L L L L L00L0a0a0L00aL1 1 n L L L L000L100L再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开，则可得到n Jn jn 11n 2 n n 2 n 22.D a 11 a a a a a 1abbLbbabLb（中等）8 .计算行列式DbbaLbLLLLLbbbLaaa解：D aan1bbn1ban1bbL Ln1bbbLbbLbaLbLL

21、LbLa1bbL1abLa (n 1)b1baLL L L Lb = a (n 1)bLb b La b a bO2315097508144378968（较容易）9.计算行列式 D00210000340 0102解:2315097508211（较容易）10.4311(47896812)11(83)16176.k取何值时，下列齐次线性方程组有非零解:0,0,0.x1 x2 kx3x1 kx2 x3X1 x2 2x3解：方程组有非零解的必要条件是系数行列式等于零纸十1）(k1)(k 1)(k1)(4 k).即(k1)(4k)0.所以当k4时,齐次线性方程组可能有非零解(中等)11.计算行列式解：D

22、101610115)21115)5)31155xaa（中等）12.计算行列式Dnri“2解:Dnrn)x(n（中等）13.解:1 11111a xa0 x a0x (n 1)aa ax00xax1)a1ax(n 1)a(x计算行列式的值（难）4.计算1719n阶行列式的值n a)382111057815121017(9口530 .00253 .00025 .00 0 0. .0 . .5.3000 .25Dn解按第一行展开,得:2Dn 5Dn1按第一列展开5Dn1 6Dn 2得到递推式:写作Dn写作Dn而D1DnDn（中等）15.Dn2Dn13Dn 15, D22Dn3Dn计算解按照第一列展开

23、5Dn16Dn 23( Dn2( Dn3n2n2Dn 2)Dn2Dn 13n 2(D22D。3Dn 2）,可得19解之得阶行列式Dn3n 1Dn2n3Dn2n 2(D23Di)的值(1)11)n(1)(1)nnyx1x2x3（较容易）16.问取何值时，齐次线性方程组x1x1x22 x2x300有非零解?解：齐次方程组有非零解的必要条件是系数行列式等于零，故x30(11齐次线性方程组有非零解。（较容易）17.问取何值时，齐次线性方程组(12X1)X1 (3解:(11 2)20,2或3.X1X2（较容易）18.已知齐次线性方程组X1X2（中等）19.解：D（较难）2)(计算行列式D=101020.

24、计算行列式X1X2X1X2(12x2 4x3 0)X2 X3 0有非零解?)x30X3X3X32)(3) =000有非零解，求1)2200101011122 11 . 111 1 . 11 2 1 . 11 2 1 . 1解：D1 1 2 . 1(n 1)11 2 . 1n 1.111.2.111.2（较难）21.设D是一个3阶行列式，1, 2, 3分别是其第1,2,3歹U.已知D = 2,求3 22 3, 1解：D 1, 2, 32则有3 22 3, 1, 2 22 3, 1, 2（中等）23.用克拉默法则解下列方程组XX2X3X45X12X2X34X422x13x2X35x423x1X22

25、X311x4043,1 ,241 ,2 ,351112214231GJ01211142, D1142 ,1111121 423153 12 11151111511214D31224d22842221523253021131011426D41123112131125220142D1.D2X11, X2DDX4D4D（中等）24.计算行列式4 12 412 0 210 5 2 00 117解:411001 2 42 0 25 2 01 1 712 0 24 12 410 5 2 00 11712 0 20 11710 5 2 04 12 412 020 117 0 .0 0 17 850 0 9

26、45（较容易）25.计算行列式a100100b101c101 d解:ab 110100口b101c101 da 0 r1c 11 da20 ab 11b0100a 010c 11 d(ab 1)r2 0 a (ab 1)c ab 11 c1= abcd ad ab cd 101 d（较难）26.计算n（n 2）阶行列式Dn1xm2乂佻Lnxy1X2%2X2y2LnX2ynL L L L1Xny12Xny2Lnyn12Xy2LnX*xn2xy2Lnx*Dn12乂2丫2LnX2ynX2%2X2y2LnX2ynLLLLLLLL12%丫2LnXnyn巾2Xny2LnXnVn解：将Dn按第一列拆成两个行

27、列式的和，即再将上式等号右端的第一个行列式第i列（i 2, 3,，n）减去第一列的i倍；第二个行列式提出第一列的公因子y1,则可得到1X1V2LX1VnX12X1V2LnX1Vn1X2V2LX2VnV1X22X2V2LnX2VnLLLLLLLL1XnV2LXnVnXn2Xn V2LnXnVnDn当n 3时，Dn当n 2时，D2X2 Xi y2 2Vl.（较难）27.已知方程153 X153 X123 X0,求X1X1LX1X12Ln1X2LX2V1X22LnLLLLLLLL1XnLXnXn2Ln0V2L Vn解：由行列式的加法性质，原方程可化为1 11 21 11 X11484 1523X X

28、1 11 20 21 X11485 1223X X1111112 43 92X X18273 X11111 23X21 49X2_31 8 27 X(2 1)(3 1)(3 2)(x 1)(x 2)( x 3) 0得 x 1,2,3112313 3795（中等）28.计算行列式D204213571464410102231321431541解：D 1120 010200210023102415 32211231020 410010202 153002 22112314342（较难）29.-1-3-1-1-2-1-2计算n其中 a1a2 L an 1 0 .12 .1阶行列式n ana2Lnan

29、1n 11ahn 1.a2 b2Ln 1.an 1bn 1n 2 2a匕n 2, 2a2 b2Lan 2b2 an 1bn 1解：这个行列式的每一行元素的形状都是0,1, 2,按升哥排列，且次数之和都是 n,又因ai0,若在第则D可化为一个转置的范德蒙行列式,b1a1b_a1bin n Da1a2 L1b2b2Lb2a2a2a2LLLLL21bn 1bn 1Lbn 1an 1an 1an 1a12nnan 11<j i<n 1（较容易）30.计算行列式a1a1a2a1解：从第n行开始，后行减去前行:a2a2riri1(iananann, n1,a1b1na2b2nL1,nai1&l

30、t;j其中i2,1)得2,-i< n 1b： b； L bnn1即多按降建排列,bai0, (in）提出公因子bjaj1,2, ,n).nai,a11a2a3an 1an12000ci02300i 1,2,nD000n 10000n 1nCl (C2aa 2 a3an 1 an1 一 一 一-123n 1n110000110012n0001000011Cn)111 2 n (1ai1 a2 2解：DnnDn 1 ( 1)n 1(n 1)!（较难）31.计算D2nbbi o-ba-b 0 a* x j4bONabcdNO；dd解:D2n(1)1;0ID2(n 1)；，0ni ) n bb

31、,|iHr，00 ； d(1)12nb1）0 i -, D2(n 1)0， / hi ¥! aan,c 00(2n 1)(2n 1) (2 n 1)(2n 1) 11 1)ad D2(n 1)( 1)( 1)bC D2(n 1)n 1 、(ad bc)D2(n 1) (ad bc) D2 a bD2ad bc2 c dD2n (ad bc)n1i1II1；2 2；II（较难）32.计算Dn11033IIIIM' M M O O 'II1 ： 0 0 L n 1 ： n 11，0 0 L 0 ' n （中等）n (nn(nn(nD2Dn33.解法解法（较难）(n

32、!)1)Dn 2(1)Dn2 (1) 3 D2(1)2因为D1D1与D的第1)(n 1) 1(n1)nn!1)21 1)!(1)n1(n1)!1)1)3n 1 n!1)nn!1)n1- n(1)32(1)43(1)n1,求 A11A21A31 A41 -列元素的代数余子式相同所以将D1按第1列展开可得A112： 因为D的第3列元素与D的第为0,即所以34.计算D解：采用加边法.DnA21A31A411列元素的代数余子式相乘求和3A113 A213 A31A11A21A311a10 a1bl0a10 a1ab1a23A410a2a2b2a2a2b2a2anan(bi0)a2ananananbna

33、nbn1a1a2anaia2 Lanbibib2bnaia2b2bib2bnbnb1b2 Lbna2anb1b2bn（中等）35.计算行列式 D13121534021151331312153402115133131202110846016271312084602110162712112510 151310210020002151040（较难）36.计算行列式Db2解：Dd2 d1 a1 b1 c1 d1111b2d21b21d2b21 2 c1 a 1 b1c 1 d（已知 abcd 1）1c1dabcd（较难）1a1 b7 1 c1不37.n阶行列式为Dn1 -2 a1 b2 1 c110.

34、,求第一行各元素的代数余子式之和AI1A12L解:第一行各元素的代数余子式之和可以表示成AnA2 L Ann!（中等）38.用克莱姆法则求解线性方程组XiX22x453x12x2X32x464x13x2X3X402x1X30解：系数行列式按第三列展开1)1)4按第三列展开（1)1)3同样可以计算D3所以（较容易）39.试问解：系数行列式DD12,X2为何值时,方程组10,20,3,X3X1X1X1D2D415,4,X4D4D25当D0时有唯一解1原非齐次方程组有唯一解kX（较容易）40.试问k为何值时,方程组2x解：系数行列式DD (k2)(k1)，（中等）解:X22x2X3X312有唯一解?X2X3y ky仅有零解?2513