经典：排列与排列数公式应用题

1、排列数的应用莆田二中高二1班12021/8/6例例1：（：（1）7位同学站成一排，共有多少种位同学站成一排，共有多少种 不同的排法？不同的排法？(2) 7位同学站成两排位同学站成两排(前前3后后4)，共有多少种，共有多少种不同的排法？不同的排法？(3) 7位同学站成一排，其中甲站在中间的位位同学站成一排，其中甲站在中间的位置置,共有多少种不同的排法？共有多少种不同的排法？(4) 7位同学站成一排，甲、乙只能站在两位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？端的排法共有多少种？(5) 7位同学站成一排，甲、乙不能站在排位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？头和排尾的排

2、法共有多少种？(5) 7位同学站成一排，甲、乙不能站在排位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？头和排尾的排法共有多少种？解法一解法一:(特殊位置法特殊位置法)第一步第一步:从其余从其余5位同学中找位同学中找2人站排头和排尾人站排头和排尾,有有 种种;25A第二步第二步:剩下的全排列剩下的全排列,有有 种种;55A25552400A A共共有有种种答：共有答：共有2400种不同的排列方法。种不同的排列方法。解法二解法二:(特殊元素法特殊元素法)第一步第一步:将甲乙安排在除排头和排尾的将甲乙安排在除排头和排尾的5个个位置中的两个位置上位置中的两个位置上,有有 种种;25A第二步

3、第二步:其余同学全排列其余同学全排列,有有 种种;55A25552400A A共共有有种种答：共有答：共有2400种不同的排列方法。种不同的排列方法。(5) 7位同学站成一排，甲、乙不能站在排位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？头和排尾的排法共有多少种？(5) 7位同学站成一排，甲、乙不能站在排位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？头和排尾的排法共有多少种？解法三解法三:(排除法排除法)先全排列有先全排列有 种种,其中甲或乙站排头有其中甲或乙站排头有 种种,甲或乙站排尾的有甲或乙站排尾的有 种种,甲乙分别站在排头和甲乙分别站在排头和排尾的有排尾的有 种

4、种.77A662A662A2525A A7625762542400AAA A 共共有有种种答：共有答：共有2400种不同的排列方法。种不同的排列方法。例例2：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。成一排照相留念。若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？解：将三个女孩看作一人与四个男孩排队，有 种排法，而三个女孩之间有 种排法，所以不同的排法共有： （种）。5353720A A 55A33A捆 绑 法捆 绑 法若三个女孩要

5、站在一起，四个男孩也要站在一若三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一起，有多少种不同的排法？起，有多少种不同的排法？不同的排法有：不同的排法有：234234288A A A （种）说一说说一说捆绑法一般适用于捆绑法一般适用于 问题的处理问题的处理。 相邻相邻例例2：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。成一排照相留念。捆绑法捆绑法:对于对于相邻相邻问题问题,常常先将要相邻的元素常常先将要相邻的元素捆绑捆绑在一起在一起,视作为一个元素视作为一个元素,与其余与其余元素

6、全排列元素全排列,再再松绑松绑后它们之间进行全后它们之间进行全排列排列.这种方法就是这种方法就是捆绑法捆绑法.若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？解：先把四个男孩排成一排有解：先把四个男孩排成一排有 种排法，在每一排种排法，在每一排列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入空档中有空档中有 种方法，所以共有：种方法，所以共有： （种）（种）排法。排法。35A44A43451440A A 插 空 法插 空 法例例2：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男孩，三家是一个

7、女孩，现将这七个小孩站个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。成一排照相留念。男生、女生相间排列，有多少种不同的排法？男生、女生相间排列，有多少种不同的排法？解：先把四个男孩排成一排有解：先把四个男孩排成一排有 种排法，在每一排种排法，在每一排列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入列中有五个空档（包括两端），再把三个女孩插入空档中有空档中有 种方法，所以共有：种方法，所以共有： （种）（种）排法。排法。33A44A4343144A A 插 空 法插 空 法例例2：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小

8、孩站个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。成一排照相留念。甲、乙两人的两边必须有其他人，有多少种不甲、乙两人的两边必须有其他人，有多少种不 同的排法？同的排法？解：先把其余五人排成一排有 种排法，在每一排列中有四个空档（不包括两端），再把甲、乙插入空档中有 种方法，所以共有： （种）排法。24A55A52541440A A 插 空 法插 空 法例例2：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一：七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。成一排照相留念。插空法插空法:对于对于不相邻不相邻问题问题

9、,先将其余元素全排先将其余元素全排列列,再将这些不相邻的元素再将这些不相邻的元素插入空挡插入空挡中中,这种方法就是这种方法就是插空法插空法.几种特殊的排列几种特殊的排列1.1.优先排列优先排列3 6例人排一排，甲不在头，也不在尾，有几种排法？解法三：间接法65652480PP1545480P P ()特殊位置 头和尾解法一：2454480P P 解法二：()特殊元素 甲2.2.集团排列（捆绑法）集团排列（捆绑法）443例已知 男 女排成一排，男一起；女一起；男一起，女一起，分别有几种排法？3535720P P 432432288P P P 44P1 第第一一步步：排排男男生生有有)(44P有有

10、一一起起后后看看作作一一个个整整体体，第第二二步步：把把男男生生捆捆绑绑在在576PP4444 共共有有3.3.间隔排列间隔排列543例已知 男 女排成一排，男不一起；女不一起；男不一起，女不一起，分别有几种排法？43451440P P 3434144P P 33P1 第第一一步步：排排女女生生有有)(44P4个个空空位位排排男男生生，即即两两端端共共有有第第二二步步：女女生生之之间间加加上上441PP4433 共共有有644例已知 男 女排成一排，男不一起且女不一起，有几种排法？ 解：或4314421152P P P 4.4.有序排列有序排列75例已知 人比赛跑步，甲比乙快，有几种情形？解：

11、甲比乙快和甲比乙慢的情形一样多，55/ 260P8, , , , ,a b c d e fa b c例，按顺序的排列有几种？6633120PP解：963例书架上有 本书，插入 本，要求不改变原顺序，有几种插法？99669 8 7504PP 解：有附加条件的排列应用题的基本解法：1）优先法）优先法有关特殊元素有关特殊元素“在不在在不在”特殊位置的排列问题要先找特殊位置的排列问题要先找出出“受限位置受限位置”与与“受限元素受限元素”，然后以，然后以“受限位置受限位置”为主，用直接法逐位排列之，有时用间接法解之。为主，用直接法逐位排列之，有时用间接法解之。2）捆绑法）捆绑法若干个元素相邻排列问题，一

12、般用若干个元素相邻排列问题，一般用“捆绑法捆绑法”。先把。先把相邻的若干元素相邻的若干元素“捆绑捆绑”为一个大元素与其余元素全为一个大元素与其余元素全排列，然后再排列，然后再“松绑松绑”，将这若干个元素内部全排列，将这若干个元素内部全排列3）插空法）插空法若干个元素不相邻的排列问题，一般用插空法，即若干个元素不相邻的排列问题，一般用插空法，即先将先将“普通元素普通元素”全排列，然后再在排就的每两个全排列，然后再在排就的每两个元素之间及两端插入特殊元素。元素之间及两端插入特殊元素。4）排除法）排除法对某些问题的反面比较明了，可用排除法。对某些问题的反面比较明了，可用排除法。练习1:用 0 到 9

13、 这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？6488992919PP648899181919PPP百位十位个位解法一：对排列方法分步思考。解法二：间接法. 从0到9这十个数字中任取三个数字的排列数为 ，P310.648898910P310P29 所求的三位数的个数是 其中以0为排头的排列数为 . P29练习2：7位同学排成一列，且甲、乙两同学必须相邻，丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？ 解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有A52种方法；将剩下的4个元素进行全排列有A4种方

14、法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A2种方法所以这样的排法一共有A52A4A2960种方法甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？ 解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素， 若丙站在排头或排尾有2A5种方法， 所以丙不能站在排头和排尾的排法有 (A6-2A5)P2=960种方法甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有P41种方法， 再将其余的5个元素进行全排列共有P5种方法， 最后将甲、

15、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有P41P5P2960种方法3.1, 2,95从中取出 个，组成无重复数字的五位数。规定奇数数字必须排在奇数位号，求这样的五位数的个数。4.1 884穿有号运动衣的位运动员排成一排，其中号运动员必须排在号码比他大的运动员左边，共有几种排法？解：偶数位上只能放偶数，而奇数位上皆可。23472520P P共有个8064x8858!xPx解：设有 种排法，45,6,7,8x把号分别与号运动员互换位置，仍然分别得到种排法。5. 2534(1)(2)(3)(4)名教师， 名学生排二排照相，前排人，后排人。共有几种排法？两教师在前排？两教师相邻且在前排？教师甲在前排，乙在后排？115345(4)1440P P P 125225(3)2480P P P 将教师作为一个整体，先合后分，2535(2)720P P 解：本题关键在于将两排对应到一排。77(1)5040P 6. 104个同学排一队行走，要求女相邻，且既不走前面，又不走后面，问有几种排法？16456486400P P P 解：7.1, 2,7(1)(2)(3)用排成无重复数字的七位数。偶数不相邻，有几种排法？偶数一定在奇数位上？奇数位上一定是奇数，偶数位上一定是偶数？4343(3) P P4345(1)P P解： 间隔排列。3444(2)4P P先在个奇数位上排偶数。8. 38