(推荐)2.2.1综合法与分析法

1、(推荐推荐)2.2.1综合法与分析法综合法与分析法边城高级中学边城高级中学 张秀洲张秀洲2.2.1 2.2.1 综合法和分析综合法和分析法法1、掌握直接证明的两种基本方法：分析法和综合法、掌握直接证明的两种基本方法：分析法和综合法;2、了解分析法和综合法的思考过程、特点、了解分析法和综合法的思考过程、特点自学教材自学教材 p85p89 解决下列问题解决下列问题一、一、掌握直接证明的两种基本方法：分析法和综合法掌握直接证明的两种基本方法：分析法和综合法.二、二、教材教材 89 练习练习. 用用p表示已知条件、已有的定义、公理、定理等表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,q表示所要证明的结论表示

2、所要证明的结论. 则则综合法综合法用框图表示为用框图表示为:一、综合法一、综合法(顺推证法或由因导果法顺推证法或由因导果法) 利用利用已知条件已知条件和某些和某些数学定义、公理、定理数学定义、公理、定理等等,经过经过一系列的推理论证一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立最后推导出所要证明的结论成立,这这种证明方法叫做种证明方法叫做综合法综合法。其特点是。其特点是:“由因导果由因导果”1pq12qq23qqnqq练习练习.已知已知a0,b0,求证求证a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc 首先，分析待证不等式的特点：不等式的右端是首先，分析待证不等式的特点：不等式的右端是3个数个数a

3、,b,c乘积的乘积的4倍，左端为两项之和倍，左端为两项之和,其中每一项都是一个数与其中每一项都是一个数与另两个数的平方和之积另两个数的平方和之积.据此据此,只要把两个数的平方和转化为只要把两个数的平方和转化为这两个数的积的形式这两个数的积的形式,就能使不等式左、右两端具有相同的就能使不等式左、右两端具有相同的形式形式. 其次，寻找转化的依据及证明中要用的其他知识：应其次，寻找转化的依据及证明中要用的其他知识：应用不等式用不等式x2+y22xy就能实现转化，不等式的基本性质就能实现转化，不等式的基本性质是证明的依据是证明的依据.证明证明: b2+c2 2bc,a0 a(b2+c2) 2abc.又

4、又 c2+a2 2ac,b0 b(c2+a2) 2abc. a(b2+c2)+b(c2+a2) 4abc. 用用p表示已知条件、已有的定义、公理、定理等表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,q表示所要证明的结论表示所要证明的结论. 则则综合法综合法用框图表示为用框图表示为:1pqqq1 12 2qq2 23 3qqn n例：在例：在abc中，三个内角中，三个内角a、b、c对应的边分别为对应的边分别为a、b、c，且，且a、b、c成等差数列，成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：成等比数列，求证：abc为等边三角形为等边三角形证明：证明：由由a，b，c成等差数列，有成等差数列，有 2b=a+c

5、.因为因为a，b，c为为abc的内角的内角,所以所以a+b+c=180.b =.3由由a，b，c成等比数列，有成等比数列，有2bac 由由 ，得，得 ，得，得由由 ，得，得注：注：解决数学问题时，学会解决数学问题时，学会语言转换语言转换；还要细致，；还要细致，找出隐含条件。找出隐含条件。符号语言符号语言图形语言图形语言文字语言文字语言由余弦定理及，可得由余弦定理及，可得22222b = a +c -2accosb = a +c -ac.再由，得再由，得22a+ c- ac = ac,即即2a-c= 0.（）因此因此a=c.从而从而a=c.a = b = c =.3所以所以abcabc为等边三角

6、形为等边三角形. .由由 ,得得练习：证明不等式：练习：证明不等式： (a0,b0).2abab 证法证法1:1:因为因为: : 所以所以所以所以所以所以 成立成立2()0ab 20abab 2abab 2abab 证法证法2:2:要证要证2abab 2()0ab2abab 只需证只需证: :20abab 只需证只需证: :2()0ab 只需证只需证: :因为因为: : 成立成立2abab 所以所以 成立成立综合法综合法分析法分析法 要证明结论成立，逐步寻求推证过程中，使每一要证明结论成立，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论步结论成立的充分条件，直至最后，

7、把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定已知条件、定理、定义、公理等义、公理等)为止为止.这类证法的特点是这类证法的特点是:这就是另一种证明方法这就是另一种证明方法分析法分析法.特点：特点：执果索因执果索因. 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后,把要证明把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、已知条件、定理、定义、公理等定义、公理等)为止，这种证明的方法叫做为

8、止，这种证明的方法叫做分析法分析法 用框图表示分析法的思考过程、特点用框图表示分析法的思考过程、特点. .1 1qpqp2323pppp1212pppp得到一个明显得到一个明显成立的结论成立的结论3 +7 2 5. 求求证证分析分析 从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们直从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件.证明：证明：3 +7 2 5，只需证只需证223 +7 2 5 .（） （）展开得展开得10+2 21 20，只需证只需证21 5，因为因为 和和 都是正数，所以要证都是正数，所以要证3 +72

9、5只需证只需证2125.因为因为2125成立，所以成立，所以 成立成立.3 +7 2 5 在本例中，如果我们从在本例中，如果我们从“2125”出发，逐步倒推出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论回去，就可以用综合法证出结论.但由于我们很难想到但由于我们很难想到从从“21 2 2 +5( 6 +7) (2 2 +5)13+2 42 13+4 1042 2 10( 42) (2 10)42 40.证证明明：要要证证，只只需需证证，即即证证，即即证证，只只需需证证，即即证证，这这是是显显然然成成立立的的所所以以，命命题题得得证证2222222222222222222223.:(-) = ( -

10、) ( + ) = (2sin) (2tan) =16sin tan 16=16(tan+sin)(tan-sin)sin(1+cos)sin(1-cos)=16coscossin (1-cos )sin sin =16=16cos cos =16sin tan (-) =16sin taba bababab 证证明明 因因为为，又又因因为为，从从而而2an .所所以以，命命题题成成立立22222.,(),sincos2sin,sincossin21tan1tan1tan2(1tan)kkz 例例 已已知知且且求求证证：分析：分析：证明式中没有证明式中没有 ,因此我们要将因此我们要将 消掉消掉

11、,如何消掉如何消掉 ？ 而且在条件中只有弦而且在条件中只有弦,而在证明结果里面只有切而在证明结果里面只有切, 因此我们要因此我们要弦化切。弦化切。证明：证明：22222222222222222sin +cos -2sincos =1,4sin -2sin =1.1-tan 1-tan =1+tan 2(1+tan )sin sin 1-1-cos cos =sin sin 1+2(1+)cos cos 因因为为（）所所以以将将(1)(2)(1)(2)代代入入，可可得得 另另一一方方面面要要证证 ，即即证证 ，222222221cos -sin =(cos -sin )211-2sin =(1-

12、2sin )2 4sin -2sin =1. ， ， 即即证证即即证证即即证证由于上式与相同，于是问题得证由于上式与相同，于是问题得证.1、综合法：、综合法：(sin+cos)2-2sincos1(2sin)2-2sin214sin2-2sin212(cos2sin2)cos2-sin2即：即：2(cos2sin2)cos2+sin2cos2-sin2cos2+sin222221tan1tan1tan2(1tan)（二倍角公式）（二倍角公式）2、分析法：、分析法：22221tan1tan1tan2(1tan)2(cos2sin2)cos2+sin2cos2-sin2cos2+sin2要证：要证

13、：只要证：只要证：2(cos2sin2)cos2-sin2只要证：只要证：只要证：只要证： 4sin2-2sin21(sin+cos)2-2sincos1只要证：只要证：这是三角函数的基本性质这是三角函数的基本性质22221tan1tan1tan2(1tan)证明：证明：a，b，c为不相等正数，且为不相等正数，且abc=1,提示提示此题采用综合法此题采用综合法.1、已知、已知a，b，c为不相等正数，且为不相等正数，且abc=1,求证求证：111+.abcabc111111+222bccaab111=+.abc111+abcabc成成立立. .111+=+abcbccaab2、如图、如图,sa平

14、面平面abc,abbc,过过a作作sb的垂线的垂线,垂足垂足为为e,过过e作作sc的垂线的垂线,垂足为垂足为f,求证求证 afsc.fescba提示提示此题采用分析法此题采用分析法.证明证明:要证要证afsc只需证只需证:sc平面平面aef只需证只需证:aesc只需证只需证:ae平面平面sbc只需证只需证:aebc只需证只需证:bc平面平面sab只需证只需证:bcsa只需证只需证:sa平面平面abc因为因为:sa平面平面abc成立成立所以所以. afsc成立成立fescba你学会了吗你学会了吗?对自己说，你有什么收获？对自己说，你有什么收获？对同学说，你有什么提示？对同学说，你有什么提示？对老师说，你有什么疑惑？对老师说，你有什么疑惑？综合法综合法分析法分析法特点特点由因索果由因索果由果索因由果索因条件条件充分条件充分条件不要条件不要条件格式格式pq1q2.qnqqp1p