外接球内切球问题答案

1、1球与柱体规那么的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以 外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者外表积等相关问题1.1 球与正方体发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到 两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半 径的关系，进而将空间问题转化为平面问题例1棱长为1的正方体ABCD AiBiCiDi的8个顶点都在球O的外表上，E， F分2别是棱AA1，DD1的中点，那么直线EF被球O截得的线段长为A. 2 B . 121.2球与长方体 长方体各顶点可在一个球面上，故长方体

2、存在外切球.但是不一定 存在内切球.设长方体的棱长为a,b,c,其体对角线为I 当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径R 212例2在长、宽、高分别为2 , 2 , 4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此 长方体，那么球经过的空间局部的体积为n图2 B1.3球与正棱柱求 = 1/3 + 乏"V 23例3正四棱柱ABCD AiBiCiDi的各顶点都在半径为R的球面上，那么正四棱柱的侧面积有最值，为.2球与锥体规那么的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分 的组 合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球

3、的半径和棱锥的棱和高产 生联系，然后考查几何体的体积或者外表积等相关问题.球与正四面体R r23a , R2 r2 CE2=a3 ,解得：R 46a,r 126 a.这个解法是通过利用两心合一的思路，建立含有两个球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现,球心O为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系，可为解题带来极大 的方便.例4将半径都为1的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最A. 3 2 6B. 2+2 6 C. 4+2 6 D.3小值为33而正四面体的球的外切正四面体，这个小球球心与外切正四面体的中心重合, 中 心到顶点的距离是中心到地面距离的3倍.球

4、与三条侧棱互相垂直的三棱锥球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题， 接主要是表达在球为三棱锥的外球解决的根本方法是补形亠正棱SA 2 3那么例5在正三棱锥 S ABC中，M、N分别是棱 SC、BC的中点，且 AM MN ,假设侧球与正棱锥球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二 是球 为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切， 球心到四个面的距离相等，都为球半径 R.这样求球的半径可转化为球球心到 三棱锥面 的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.例6

5、在三棱锥P - ABC中，PA = PB=PC= 3侧棱PA与底面ABC 所成的角为60 ° ，那么该三棱锥外接球的体积为A . B. C. 4 D.7°图s接球的球心，那么R S2C.例7矩形ABCD中,AB 4,BC 3,沿 AC将矩形 ABCD折成一个直二B AC D ,那么四面体ABCD的外接球的体积是A. 125 B. 125 C. 125 D. 12512 9 6 33 球与球对个多个小球结合在一起，组合成复杂的几何体问题，要求有丰富的空间 想象能力，解决本类问题需掌握恰当的处理手段，如准确确定各个小球的球心 的位 置关系，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平

6、面问题求解4球与几何体的各条棱相切球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，到达明 确球 心的位 置为目的， 然后通过构造直角三角形进行转换和求解.如与正四面体各棱都相切的 球的半径为相对棱的一半：r 2 a .4例8把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四 综 合上面的四种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体， 解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，那么作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放 在球面上 即为球的内接问题.解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即 球心到多面 体的顶点的距离

7、等于球的半径发挥好空间想象力，借助于数 形结合进行转 化，问题即可得解.如果是一些特殊的几何体，如正方体、 正四面体等可以借助结论直接求解，此时结论的记忆必须准确 .1. 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1的球面上，其中底面的三个顶点在 该球的一个大圆上，那么该正三棱锥的体积是4 3 4 122.直三棱柱ABC A1B1C1的各顶点都在同一球面上，假设AB AC AA 12 , BAC 120，那么此球的外表积等于。解：在ABC中 AB AC 2, BAC 120 ,可得 BC 2 3 ,由正弦定理 ，可得 ABC夕卜 接圆半 径r=2,设此圆圆心为 O，球心为0，在RT OBO中，易得球半

8、径 R 5， 故此球的表为 4 R2 20 .3 .正三棱柱ABC A1B1C1内接于半径为2的球，假设A,B两点的球面距离为， 那么正三棱柱的体积为.答案84. 外表积为2 3的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，那么此球的体积为2 B .1 C .2 D .2 2 答案 A【解析】3 3 3 3此正八面体是每个面的边长均为 a的正三角形，所以由8 3a2 3 知,4a1，那么此球的直径为 2，应选A。，那么正方体的棱长等于5. 正方体外接球的体积是3232 B. 2 3 C.36.正方体的内切球与其外接球的体积之 比为A. 1 :3 B9答案C423D.4 3答案D37. 一个六棱柱的底面

9、是正六边形，其侧棱垂直底面.该六棱柱的顶点都 在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9，底面周长为3，那么这个球的体积8为.答案438. 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为9. 一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 的底面2 cm的球面上。如果正四棱柱边长为1 cm，那么该棱柱的外表积为cm 2.答案2 4 2 那么此正六棱锥10.如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF，面积是答案6 711.棱长为2的正四面体的四个顶点都在同 一个 球面上，假设过该球球心的一个截面如图，那么图中 三角形正四面体的截面的面积是答案212. 一个几何体的三视图如右图所示，那么该几何体外接球的外表积为A.3D 163D 以上都不答案C13.设正方体的棱长为2 3 3，那么它的外接球的外表积为C . 4 nD.43