随机信号表示法

1、王 静静初等概率论初等概率论高等数学（对简单函数的微积分）高等数学（对简单函数的微积分）信号分析信号分析第第1 1节、随机信号节、随机信号第第2 2节、随机信号的统计特征描述节、随机信号的统计特征描述第第3 3节、几种典型的随机过程节、几种典型的随机过程第第4 4节、随机信号通过线性系统节、随机信号通过线性系统确定性确定性信号，就是其每个时间点上的值可以用某个信号，就是其每个时间点上的值可以用某个数学表达式或图表唯一地确定的信号。数学表达式或图表唯一地确定的信号。 随机随机信号只能用统计的方法进行描述，只能在一定信号只能用统计的方法进行描述，只能在一定的准确性（的准确性（accuracyacc

2、uracy）或可信性（）或可信性（confidenceconfidence）范）范围内进行预测。围内进行预测。 本节重点：平稳且各态遍历本节重点：平稳且各态遍历ECGEEG随机信号随机信号的性质：随机信号的性质： 1.1.随机信号中的任何一个点上的取值都是随机信号中的任何一个点上的取值都是不能先验确定的不能先验确定的随机变量随机变量。( (硬币实验硬币实验）2.2.随机信号可以用它的统计平均特征来表征。随机信号可以用它的统计平均特征来表征。用柱状图表示摩根的四个样本出现正面 次数出现反面 次数1061104810171039987100010311009统计结果是否准确？P=0.04物理信号确

3、定性随机性周期性 非周期性平稳平稳 非平稳各态遍历各态遍历 非各态遍历 如果随机信号的统计特性与开始进行统计 分析的时刻无关，则为平稳随机过程，否 则为非平稳随机过程。如果所有样本在固定时刻的统计特征与单一样本在全时间上的统计特征一致，则为各态遍历的随机过程。结全图来说明，每一行曲线代表随机信号的一个样本；随机信号在不同时刻是取值不同的随机变量，但它们的分布遵循概率密度函数，在t1时刻服从p(x1;t1),t2时刻服从p(x2;t2)。如果总有E(x1)=E(x2)即要求p(x1;t1)=p(x2;t2)则此随机过程在均值 意义上平稳结合图来说明，每一行曲线代表随机信号的一个样本；设x(i)(

4、t1)表示第i个样本在t1时刻的取值，如果总体平均等于时间平均：( )( )11(1)( )limlimTNiiNTiTx txt dtN则为各态遍历的u3.2.13.2.1概率分布函数概率分布函数 . .一维概率分布函数一维概率分布函数 对于一个随机变量xn,用P xn ( x1,n)来表示它的概率分布函数，则有： ),(),(),(11111xxnxpnxpxxxnxPnxxnnxnnn概率概率密度函数：来表示的取值是离散的，则用如果概率. .二维概率分布函数二维概率分布函数二维联合概率分布函数 二维联合概率分布函数的二阶偏微分对应着相应的二维联合概率密度函数： 当随机变量和统计独立时则有

5、： ),(),;,(,2211221121xxxxnxnxPnnxxnn概率),(),;,(,2211221121xxxxnxnxpnnxxnn概率)()(),;,(,221122112121xxpxxpnxnxpnxnxxxnnnnu3.2.2 3.2.2 广义的平稳随机过程广义的平稳随机过程1.1.平稳随机过程平稳随机过程一阶平稳过程一阶平稳过程( first order stable process )( first order stable process )：信号的：信号的平均值平均值与与t t无关的过程叫一阶平稳过程。无关的过程叫一阶平稳过程。二阶平稳过程：二阶平稳过程需满足：二阶

6、平稳过程：二阶平稳过程需满足：（1 1）信号的）信号的平均值平均值与与t t无关；无关；（2 2）信号的）信号的均方值均方值与与t t无关；无关；（3 3）信号的）信号的协方差协方差只是时间间隔的函数，而与时间原点的只是时间间隔的函数，而与时间原点的选择无关。选择无关。 今后我们所提到的平稳随机过程均认为是广义平稳随机过今后我们所提到的平稳随机过程均认为是广义平稳随机过程，只有一阶，二阶统计特征具有平稳性即可。程，只有一阶，二阶统计特征具有平稳性即可。u3.2.3 3.2.3 统计特征量统计特征量 . .数字期望（均值）数字期望（均值）随机变量的均值定义为： . .均方值均方值随机变量的均方值

7、定义为： dxxxpxEmnxn)(dxxpxxEn)(22. .方差方差 随机变量的方差定义为：随机变量的方差定义为： 利用以上式容易得到方差、均值、均方值的关系：利用以上式容易得到方差、均值、均方值的关系： 对于平稳随机过程，方差、均值、均方值对于平稳随机过程，方差、均值、均方值( (3 3个一阶个一阶统计特征量统计特征量）都是与时间无关的常数，可以将时间）都是与时间无关的常数，可以将时间坐标省去。坐标省去。)(22nnxnxmxE222nnxnxmxE.协方差 （重点）一个平稳随机信号的自协方差定义为一个平稳随机信号的自协方差定义为 对于两个平稳随机过程对于两个平稳随机过程 xnxn 和

8、和 ynyn 的互协方差定义的互协方差定义为：为： )()(xmnxnxxmxmxEmC)()(ymnxnxymymxEmC. .相关函数（重点）相关函数（重点）一个平稳随机信号中的两个时间点上的随机变量之一个平稳随机信号中的两个时间点上的随机变量之间的自相关函数定义为：间的自相关函数定义为： 对于两个平稳随机过程对于两个平稳随机过程 xnxn 和和 ynyn 的互相关函数定的互相关函数定义为：义为：利用以上关于利用以上关于 xnxn 式子可以看出两者有如下关系：式子可以看出两者有如下关系： )(mnnxxxxEmR)(mnnxyyxEmR2)()(xxxxxmmRmC互相关函数和互协方差是衡

9、量两个随机过程互相关函数和互协方差是衡量两个随机过程 xnxn 和和 ynyn 的随机变量间的相关性，利用关于的随机变量间的相关性，利用关于 xnxn 和和 ynyn 可以看出两者有如下关系：可以看出两者有如下关系： 相关函数或者协方差是与二维概率分布有关的统计相关函数或者协方差是与二维概率分布有关的统计特性，也隐含了一维特征量，因此相关函数或协方特性，也隐含了一维特征量，因此相关函数或协方差是表征一个随机过程的差是表征一个随机过程的最重要的统计特性。最重要的统计特性。 yxxyxymmmRmC)()(3.2.4 3.2.4 平稳各态遍历随机过程的样本数字特征平稳各态遍历随机过程的样本数字特征

10、各态遍历随机信号：所有各态遍历随机信号：所有样本函数在某给定时刻的统计特性与单一样本函数在长时间内的统计特性一致的平稳随机信号。 这就是说，单一样本函数随时间变化的过程可以包括该信号所有样本函数的取值经历。随机信号的各态遍历特性，使我们能由单一样本函数的时间平均来代替集总平均。本课程分析的医学信号的前提是平稳且各态遍历的本课程分析的医学信号的前提是平稳且各态遍历的对于一个平稳各态遍历随机过程，如果我们测得该对于一个平稳各态遍历随机过程，如果我们测得该过程的一个样本值，就可以计算出以下的一些样本过程的一个样本值，就可以计算出以下的一些样本数字特征，可以用它们来估计统计特征量：数字特征，可以用它们

11、来估计统计特征量： 样本平均值样本平均值 样本均方值样本均方值 niixxnm11niixxnmE1221样本方差样本方差 样本协方差样本协方差 是另外一个平稳随机过程的样本，是它的是另外一个平稳随机过程的样本，是它的样本平均值，当样本平均值，当 与与 相同时，上式求相同时，上式求到的就是样本自协方差。到的就是样本自协方差。 212)(1nixixmxn)(11yminixixymymxnC 1iniyiym 1iniyi 1inixi样本相关函数样本相关函数 【例例3-13-1】下图所示是随机产生的符合高斯分布的下图所示是随机产生的符合高斯分布的100100点样本序列，并且均值为零，方差为点

12、样本序列，并且均值为零，方差为1 1。讨论该。讨论该信号的样本特征量。信号的样本特征量。nimiixyyxnmR11)(nimiixynixmixixxnixixniixxniixxxnmRmxmxnmCmxnxnmEmxnm112122122211)()(1)(7468. 0)(17491. 010023. 00479. 01征量，有：计这一个样本的数字特我们用样本统计法来估x=randn(1,100);mx=mean(x);varx=var(x);stdx=std(x);mx=0.0479varx=0.7543stdx=0.8685r=xcorr(x), plot(r)高斯过程：高斯过程：

13、描述过程特性的所有概率密度函数都是高斯型的，描述过程特性的所有概率密度函数都是高斯型的，它的均值为它的均值为)()(21exp)2(1)()(.)(.)()(,.,121221122221121121nnnnPmxEmxmxEmxmxEmxEmmm概率密度函数为协方差矩阵为高斯过程的特性高斯过程的特性只要知道信号的均值矢量和协方差矩阵，则任意阶的只要知道信号的均值矢量和协方差矩阵，则任意阶的概率密度函数都可以解析表达出。概率密度函数都可以解析表达出。 只要均值和方差是常数，协方差只与时间差有关，只要均值和方差是常数，协方差只与时间差有关，（即即1 1，2 2阶平稳阶平稳），则必然是高阶平稳。）

14、，则必然是高阶平稳。 如果各随机变量互不相关，也必然互相独立。如果各随机变量互不相关，也必然互相独立。 高斯过程经过线性运算（加减微分积分）后还是高斯高斯过程经过线性运算（加减微分积分）后还是高斯型的。型的。理想白噪过程理想白噪过程：功率谱是常数的随机过程，用功率谱是常数的随机过程，用w(nw(n) )表示白噪过程，表示白噪过程，该功率谱为该功率谱为只有当只有当m=0m=0时时, ,自相关才有值自相关才有值。即不同时刻白噪的即不同时刻白噪的取值总不相关取值总不相关。)()()(mAmRAPww自相关函数为限带白噪过程限带白噪过程：实际的线性系统总是有限的带宽实际的线性系统总是有限的带宽, ,理

15、想白噪通过线理想白噪通过线性系统后也会变成有限带宽。性系统后也会变成有限带宽。用用w(nw(n) )表示限带白噪过程，该功率谱为表示限带白噪过程，该功率谱为mmAmRAPww00000sin)(,0,)(自相关函数为例 3-5、3-6研究确定性信号常用的方法：傅立叶变换knjwkkeAknjwekkkjweHA)(H(ejw)H(ejw)(nx)(ny)(nx)(nynjwe0njwjweeH00)(1.2图当输入信号当输入信号x x是随机信号时我们无法求它的傅立叶是随机信号时我们无法求它的傅立叶变换。如何分析输出变换。如何分析输出y y呢？呢？1.1.分析分析y y的概率密度函数是最直接的概率密度函数是最直接、最全面的方法。最全面的方法。 2.2.分析分析y y的自相关函数或功率谱密度，反映二阶特的自相关函数或功率谱密度，反映二阶特征征 。3.