点到平面距离地若干典型求法

1、标准实用点到平面距离的若干典型求法目录1 .引言 12 .预备知识 13 .求点到平面距离的若干求法 33.1 定义法求点到平面距离 33.2 转化法求点到平面距离 53.3 等体积法求点到平面距离 73.4 利用二面角求点到平面距离 83.5 向量法求点到平面距离 93.6 最值法求点到平面距离 113.7 公式法求点到平面距离 131 .引言求点到平面的距离是高考立体几何部分必考的热点题型之一，也是学生较难准确把握难 点问题之一。点到平面的距离的求解方法是多种多样的， 本讲将着重介绍了几何方法（如体 积法，二面角法）、代数方法（如向量法、公式法）及常用数学思维方法（如转化法、最值 法）等角

2、度等七种较为典型的求解方法，以达到秒杀得分之功效。2 .预备知识（1） 正射影的定义：（如图1所示）从平面外一点P向平面s引垂线，垂足为P',则点P'叫 做点P在平面a上的正射影，简称为射影。同时把线段 PP'叫作点P与平面口的垂线段。文案大全图1(2)点到平面距离定义：一点到它在一个平面上的正射影的距离叫作这点到这个平面的距离， 也即点与平面间垂线段的长度。(3)四面体的体积公式1 -V Sh3其中V表示四面体体积，S、h分别表示四面体的一个底面的面积及该底面所对应的高。(4)直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此 平面垂直。(

3、5)三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直， 那么它和 这条斜线也垂直。(6)二面角及二面角大小：平面内的一条直线l把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做 半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。图2所示为平面口与平面P所成的二面角，记作二面角a -l -P ,其中l为二面角的棱。如图在棱l上任取一点O ,过点O分别在平面a及 平面P上作l的垂线OA、OB ,则把平面角/AOB叫作二面角a _ l _ P的平面角，/ AOB的 大小称为二面角a -1 - P的大小。在很多时候为了简便叙述，也把/

4、AOB称作ot与平面P所 成的二面角。(7)空间向量内积：，工、，、/人"41心一人一口 ，、八口，一 、一代数止义：设两个向重a=(x，y1，z), b=(“，y2,z2),则将两个向重对应分重的乘积之和定义为向量：与b的内积，记作alb ,依定义有力稹= x1x2+y1y2+z1z2几何定义：在欧几里得空间中，将向量a与b的内积直观地定义为a_b心cos<a,b>, 这里ai、ib分别表示向量a、b的长度，<a,b>表示两个向量之间的夹角。向量内积的 几何意义为一个向量的模与另一个向量在这个向量正方向上投影向量模的乘积。当|cos90°=0。&l

5、t;a,b>=900,即，,1 时，otbqa|b|cos<a,b>=|ag卜面说明这两种定义是等价的。C 二 PQ如图3所示，设O、P、由余弦定理T2 Tl22|c|'二|af |b | -2| a |b | cos ： a,b再设 a =（无，必，乙），b =（X2,y2,Z2）,则 c =（x2 x，y? y1，z2 4）从而有（X2 -x）2（V2-yi）2（Z2-4）2 = x2y2Z2x；y2Z2 -2| a|b|cos ： a,bx1x2 y1y2 z1z2 =|a|b |cos 二 a,b这就证得了两个定义是等价的。3求点到平面距离的若干求法3.1 定

6、义法求点到平面距离（直接法）定义法求点到平面距离是根据点到平面的定义直接作出或者寻找出点与平面间的垂线段，进而根据平面几何的知识计算垂线段长度而求得点与平面距离的一种常用方法。定义法求点到平面距离的关键在于找出或作出垂线段，而垂线段是由所给点及其在平面射影间线段，应而这种方法往往在很多时候需要找出或作出点在平面的射影。以下几条结论常常作为寻找射影点的依据：(1)两平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的 直线垂直于另一个平面。(2)如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这个点在该平面内的射影在 这个角的角平分线所在的直线上。(3)经过一个角的顶点引

7、这个角所在平面的斜线。设斜线和已知两边的夹角为锐角且相等，则这条斜线在这个平面的射影是这个角的角平分线。(4)若三棱锥的三条棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心。例 如图4所示，所示的正方体ABCD ABC D'棱长为a ,求点A到平面ABD'的距离。(注: 本文所有解法均使用本例)图4解法一(定义法)：如图5所示，连结交BD'于点E ,再连结AE ,过点A'作A'H垂直于 AE ,垂足为H ,下面证明 AH _L平面AB'D'。丁 AA'_L平面 ABCD .BD _AA又在正方形ABCD'中，对角线B

8、9;D'_LA'C',且AAnAC'=A'AA'u平面AA'E , AC七平面AAE二由线面垂直的判定定理知道 BD ' _L平面AAEa AH仁平面AAEAH _ BD又由AH的作法知道AH 1 AE ,且有B，D，n AE = E ,B'D'u 平面 ABD', AE cAB D H二由线面垂直的判定定理知道 A'H _L平面AB D '根据点到平面距离定义，A'H的长度即为点A，到平面ABD'的距离，下面求AH的长度=0。2ABD'中，容易得到 AB'

9、= BD，= D'A = J2a ,从而 AAB'D'为正三角形，/AB'D'=600。进而在 RtMBE 中，AE =AB'sin/ABD' = V2asin600.1.1由 SE =AA%AE =，AE MAH 得到 221 ah=二CAEAEa j 22,62从而A'到平面ABD'的距离为33.2 转化法求点到平面距离有时候限于几何体的形状，不易直接寻找出点在平面的射影，或者由直接法作出的射影 线段在所给几何体中不易计算其长度，此时转化法不失为一种有效的方法。转化法即是将点 到平面的距离转化为另一点到平面间的距离的方

10、法。转化法依据主要有以下两点： 若直线l /平面口，则直线l上所有点到平面口的距离均相等。 若直线AB与平面u交于点M ,则点A、B到平面a的距离之比为AM : BM。特别地， 当M为AB中点时，A、B到平面a的距离相等。下面用转化法重解上面例题解法二（转化法）如图6所示，连结AC、A'C、AC、A'B、AB', AC交BD'于点E ,连结AE交AC于点H ,延长AC至点G使得CG='A'C',连结CG o2图6丁 CB _L 平面 AABB,从而斜线AC在平面AA'BB的射影为AB,A'B、AB'为正方形AA&#

11、39;B'B对角线 , AB'_L AB ,二由三垂线定理知道 AB'_L AC同理可以得到AD _ A C又ABCAD'A, AB'u 平面 ABD，AD'u平面 ABD'二 AC _L平面 AB DAH _L平面ABD',即点H为A'在平面ABD'的射影，AH的长度为所求1. . 1 .AC/AC 即 AC/EG ,且 EG =EC +C G =A C +A C = A C = AC 22二四边形ACGE为平行四边形.AE/CG在&ACG由等比性质有AH AE 1AC EG 31 .A H AC3而在正

12、方体 ABCD -AB CD'中对角线 A'C= Jaa2 +AB2 +BC2 = T3aA L. 3A H = a3在本例中，未直接计算垂线段 A'H的长度，而是找出了其与正方体 ABCD-A'B'CD'中 对角线A'C的数量关系，从而转化为求正方体 ABCD -ABCD'对角线AC长度，而AC长度是极易计算的，故用这种转化方法降低了运算量。本例运用的转化方法与依据（2）类似，都是寻求所要求的垂线段与某一已知或易求线段的数量关系，从而简化计算。3.3等体积法求点到平面距离用等体积法求点到平面的距离主要是一个转换的思想，即要将所要

13、求的垂线段置于一 个四面体中，其中四面体的一个顶点为所给点，另外三点位于所给点射影平面上，这里不 妨将射影平面上的三点构成的三角形称为底面三角形。先用简单的方法求出四面体的体积， 然后计算出底面三角形的面积，再根据四面体体积公式V =1Sh求出点到平面的距离h。在3常规方法不能轻松获得结果的情况下，如果能用到等体积法，则可以很大程度上提高解题效 率，达到事半功倍的效果。特别是遇到四面体的有一条棱垂直于其所相对的底面时，首选此方法。下面用等体积法求解上面例子.解法三（等体积法）：如图7所示，作A'H垂直于平面ABD，于点H ,则ABD，长度为所 求。对于四面体AABD；易见底面ABD&#

14、39;的高为AH ,底面ABD，的高为AA。对四面体 A'AB'D'的体积而言有：Ya-ABD V VA,:-AB D ,图71 1即有：AA Sabd,二 AH S abd '33也即：AH =AA SABDS Abd '由AB' = BD' = DA = >/2a ,从而AAB'D'为正三角形，/ABD' = 600,进而可求得S. abd = A AB AD sin，AB D = g（、2a）2sin 60。=a2又易计算得到Rt：ABD.的面积为SABD a21 2所以ah = AAS型a S AB

15、D 'a 2a 3aa3 23a2我们在使用等体积法求点到平面距离时使用的点与平面间的垂线段只是概念上的,不一定要知道点在平面射影的具体位置，从而也就不需要使用几何方法寻找或者求作垂线 段，垂线段的长度在这种方法上只是作为几何体高的意义而存在的。3.4利用二面角求点到平面距离如图8所示,l为二面角a -l -P的的棱，NAOB为二面角0 - -P的一个平面角。下面考虑点B到平面a的距离。作BH _LOA ,垂足为H ,下面证明BH _L平面u 。图8/AOB为二面角a - -P的一个平面角二 OA _L 、OB .L又 OAQOB =0j. _L平面 AOB 又 BH仁平面AOB ,B

16、H _又 BH_LOA, OAp=O , OAU 平面 ct, u 平面 ot二BH _L平面a在RtiOBH中，有BH = OB sin/BOH 这个公式就建立点到平面距离与二面角的一个数量关系。从而如果能将点与平面置于一个二 面角中，则可利用通过所给点关于平面的一条斜线及二面角计算点与平面间的距离。卜面利用二面角法求解上面例子。解法四（二面角法）：如图9所示，连结A旧、AB、AB与AB，相交于点O ,连结DO。: A'B与AB'为正方形ABBA'的对角线二 AB _LAB'(即 AO _L AB'), O 为 AB'中点图9二/AOD'

17、;为二面角A - AB - D，的平面角设A'到平面ABD'的距离为d , OA'是过点A'的关于平面AB'D'的一条斜线，又上面得到的公式有d = OA sin . A OD易见，D A'_L 平面 ABBA',从而 D A'_LOA.在 RtAA'OD'中有tan AOD =AD = a_ =.、五OA .2a2从而点A到平面ABD'的距离为2223d =OA sin - A OD =asin(arctanv2)=a =a22333.5向量法求点到平面的距离向量法求点到平面的距离主要是依据如下结

18、论：点到平面的距离等于这个与平面上任 一点所连接的向量与该平面法向量方向上的单位向量数量积的绝对值。证明：如图10所示，P为平面a外一点，Q为平面上任意一点，PO _L平面口于点O , n即IQ_n|为平面a的单位法向量。|Po|=|pQn|这个公式将点到平面的距离转化为了过所给点的任意斜线上的起点和终点分别在所给 点及所给平面上一点的向量与平面法单位法向量的内积。卜面用向量法从新求解上面例子解法五（向量法）如图11所示以D点为原点，DA,DC , DD* '所在的正方向分别x, y, z轴的正方向建立空间直角坐标系o图11由所给条件知道坐标点 A(a,0,0)、A'(a,0,

19、 a),由(a,a,a) , D'(0,0, a),从而有 AB'= (0,a,a),AD =(-a,0,a) , AA =(0,0, a)。设平面ABD '的任意一个法向量为n0 = (x, y,z),则有n0 1 AB n0 _LAD',即代入已知得到ay az = 0-ax az = 0这是一个关于x,y,z的不定方程，为了方便起见，不妨设 z = 1,这样上式变为ay a =0-ax a = 0解该式得到x =1,y - 一1这样就得到平面ABD，的一个法向量为=（1-1,1）,将其单位化得到平面 AB'D'的一 个单位法向量为4=工=（

20、二,二,）。设点A'到平面AB'D'的距离为d ,结合式所给出的结论有d =| AA肃|=|0 0 0 a 11 =33.33即点A'到平面ABD'的距离为 3用向量法求解点到平面的距离比之前面提供的几种几何方法而言，这种方法不需要大量的几何证明，而主要是较为机械地进行代数运算。因而在实际使用这种方法时，第一步建立 空间直角坐标系常常成为最为关键的步骤，如果所建立的坐标系不能确定所给几何图形中关 键点（所给平面外点及所给平面上不共线的任意三个点）在建立的坐标系的坐标，则无法进 行后续步骤；如果所建立的坐标系虽然能够表示的关键点的坐标，但在所建立的坐标系中

21、得 到关键点坐标的计算过程复杂，或者得到的关键点坐标表达式复杂， 都将会导致繁琐的的计 算。因此，选择恰当的直角坐标系对于使用本方法及简化计算都是相当重要的。3.6 利用最值求点到平面距离在介绍最值法之前，先介绍一个简单的知识，即点到平面的距离是点与平面上任意点连 线的最小值。以下对这点做简要说明。如图12所示，平面a外一点P在平面a的射影为点P', Q为平面口上任意一点。若Q不与P'重合，则PQ#0, PPQ构成三角形。因PP'_L平面口，PQu平面a , PP'_L PQ ,三角形PPQ为直角三角形，从而由勾股定理有PQ 二 PP 2 P Q2 PP这样就证

22、得了结论。有了上面这个结论，那么只要找到平面外一点到平面上任意一点的距离的函数表示，再般构造函数没求出该函数的最小值，则由上面结论即可知该最小值即为点到平面的距离。有确定的方法，不同的角度构造出的函数表示很可能是不一样的， 不过这并不影响最终结果。下面用常用的向量构造方法构造函数求解上面例子中点到平面的距离解法六(最值法)如图13所示，E为平面AB D'上任意一点，以D点为原点，DA , DC ,DD '所在的正方向分别x,y , z轴的正方向建立空间直角坐标系。图13由所给条件知道A(a,0,0)、A'(a,0, a), B'(a,a,a), D'(0

23、,0, a)从而有 AB； = (0,a,a) AD=(-a,0,a), AA = (0,0, -a)。设点E在所建立的坐标系下的坐标为E(x, y,z),因E在平面ABD'上，从而向量aE=.aB+n7D （九*wr）AE = (x -a, y,z)可由相交向量 AB AD线性表示，不妨设则+ tAE =AA AE = AA ' AB AD =（-a，a' © a-a）因此| AE | 二.jQaJ）2 ）2 （a-a- a）2二 a, 2厂22-2X.L -2、-2:>11 21 21 1 1= a,2-）2 2（J 2（T（ & ：3333

24、34a（当且仅当九=N =3时取等号）从而A型平面ABD点的距离最小值为 叵a ,也即点A'到平面ABD的距离为 a033最值方法提供了求解点到平面距离的一种较为新颖的方法， 同时这种方法是建立在对点 到平面距离的深入理解的基础上的，也有助于加深理解点到平面距离的概念。不过这种方 法对使用者的代数知识素养要求较高，要将几何图形中的几何关系转化为代数关系，构造 出平面外点到平面上点的函数关系，而且对函数最值的求法也需要较高的变形技巧，否则 即使构造出平面外点到平面上点的函数关系也难求出函数最值，故一般这种方法对水平较 高的读者比较适用。3.7 利用点到平面的距离公式求点到平面的距离点到平

25、面的距离公式主要是利用解析几何的知识，将所给点及平面均给予代数表式，从 而用代数方法得到的点与平面距离的统一的代数表示。 点到平面的距离公式的推导方法有相 当多，如直接用两点间距离公式推导、利用直线参数方程中参数的几何性质推导、利用球的切平面性质推导、利用极值法推导等等。公式法的实质是几何量代数化的结果，因此绝大多 数求解点到平面距离的几何方法转化为代数语言都可以得到一般意义上的点到平面的距离 公式。限于本文篇幅，就不对这些方法一一介绍了，下面仅从利用两点间距离公式的角度给 出点到平面的距离公式一种推导。如图14所示，平面二外一点P在平面色的射影为点P"在某空间直角坐标系下，设平面a

26、的代数方程为：Ax + By + Cz + D = 0 ,点P的坐标为P(X0, % , 4 )。将平面a的方程改写为A(xX0) +B(y y0) +C(z Zo) = (Ax。+ By。+C4 + D)又由PP'_L平面a及直线PP'过点P(x0,y0,z0)知道直线PP'的方程为下面不妨设将代入中得到X -X0y = Z -Z0ABCX-X0y y°z- Z0=tABCAX0 By° Cz° D22_ 2ABC显然P'的坐标P'(X,y,z)在直线PP'上，从而满足，即有X - X0 = At=A(Ax° By° Cz° D)一A2 B2 C2y - y0 = Bt =B(Ax° By° C4 D)一A2 B2 C2C(AX0 By0 Czg D)一A2 B2 C2进而根据两点间的距离公式d PP > (x -X0)2 (y - y0)2 (y -yo)22 .2.2,.