第课等差数列与等比数列

1、第22 课等差数列与等比数列考试目标主词填空1.数列的定义用自然语言可叙述为依一定次序排列的一列数叫做数列， an 与an是不同的概念，前者表示数列，后者表示数列的第n 项 .2.数列的通项公式一般形式为：an=f(n)(n N* )，数列通项公式的形式有时并不惟一.3.数列的表示有三种方法.即：解析法，列表法和图像法.4.数列的分类，按项数分类可分为有穷数列与无穷数列；按前后项之间的大小关系可分为递增数列，递减数列，摆动数列以及常数列；按数列中任何一项的绝对值是否都小于某一正数，可分为有界数列与无界数列.5.(1) 其通项公式分别是an=a1+(n-1)d 及 an=a1qn-1(2) 其中

2、项公式分别是an1an k )及 | an |ankan k(an k21na1(q1)(3) 其前 n 项和分别为 Snna1n(n1)d以及 Sn a1 (1q n ).2( q1q1)题型示例点津归纳【例 1】 写出下列各数列的一个通项公式 .(1)1 ，9， 1， 9， 1， 9(2) a，b， a， b， a， b(3)1 ，0，1， 0，1， 0，1， 0， 223423456131517【解前点津】(1) 相邻两项之间的“中间数”为5，每一项可表为5±4型.(3) 该数列可重排为：1 ，0，1，1203， 其分子的规律是1， 0， -1， 0， 1，11212340，

3、-1， 0 周期出现，故可考虑三角函数的周期性.【规范解答】(1)an =5+4· (-1) n；(2) an= a b+(-1) n· ba222sin n(3) an=2 .n( n1)【解后归纳】写数列的通项公式，要善于从各种不同的角度去观察数列的规律，如，分别观察数列各项的“符号”规律，每项与n 的运算规律，分子的规律，分母的规律等等.【例 2】 设 an 是等差数列， bn 是等比数列.(1)若 a21=103， a29=-53 ，求 a2004； (2)若 bn>0且b6b8+2b6b10+b8b10=36，求 b7 +b9 之值 .【解前点津】 确定等差

4、数列就是要确定首项与公差，确定等比数列就是要确定首项与公比，可通过列方程组和解方程组求解 .【规范解答】(1) 设公差为d，由条件得：a120d103a1493a2004=a1+2003d=493-19.5 × 2003=-38565.5.a128d53d19.5(2) 设公比为q，则2(b1·q5)· (b1q7)+2( b1 q5)·(b1q9)+( b1q7)· (b1q9)=36 b 1 q12·(1+2q2+q4)=36626862b1q (1+ q )=6b7+b9=b1q +b1q =b1q (1+ q )=6.【解后归

5、纳】确定等差数列，等比数列的通项公式，关键是确定“基本量”，首项与公差是等差数列的基本量，而首项与公比是等比数列的两个基本量.【例 3】记等差数列 an 的前 n 项之和为Sn 且 S4=-62 ， S6=-75.(1) 求通项 an 及前 n 项和 Sn；(2) 求 |a1|+|a2|+|a3|+ +|a14|的值 .【解前点津】(1)列方程组，求首项与公差；(2)讨论 ak 的正负，从而去掉绝对值求和 .【规范解答】(1)设公差为 d，则4a16d62解得：a12032-436a116d75d 3故 an=3n-23， Sn=nn.22(2) 由ak03k23020 k23k=7故前7 项

6、为负， |a1|+|a2 |+|a3|+ak 103(k1)23033+|a14|=-(a0+a2+a3+ +a7)+( a8+a9+ +a14)=S14-2S7=147.【解后归纳】确定等差数列各项的正负，是去掉绝对值符号的常规方法.【例 4】 在某厂的三年生产计划中，每年比上年增长的电脑台数相同，而实际生产时第三年比原计划多生产了1000 台，且使每年生产的台数恰好成等比数列，第三年生产的台数是原计划三年生产台数总和的 2 倍，如果按照这样的增产幅度生产，并使生产的台数超过36 万台，问至少需要多少年 ?【解前点津】先确定原计划第一年生产的台数以及每年增产的台数，最后列不等式求解.【规范解

7、答】设原计划第一年生产a1 台，每年增加d 台，则由条件知3a13d1 (a12d 1000)a1=40 ，d=200 由此可得公比为6，经 n 年后生产台数总和为：2d )2(a12d1000) a1( a1a1 (1q n )40(60n1)nnnn6，即至少需要6 年.Sn=q618(6 +1) 令8(6 -1)>3600006 >450001【解后归纳】解形如6n>45000 的不等式，常将45000 写成与6m 接近的数即 6m 45000<6m+1从而确定 n 值 .对应训练分阶提升一、基础夯实1.已知等差数列 an ， a1=-5 ， d=7， an 69

8、5，则这个等差数列至多有( )A.98 项B.99 项C.100 项D.101 项2.已知 lga， lgb， lgc 成等差数列，且公差d<0， a， b，c 分别是 Rt ABC 的 A， B， C 的对边，则：sin B 的值是()sin A51B.5112(5 1)A.2C.不存在D.223.已知 an 为等差数列，且有 a2+a3+a10+a11=48 ，则 a6+a7 等于()A.12B.16C.20D.244.等差数列 an 中， d=-2， a1+a4+a7+ +a31=50，那么 a2+a6+a10+ +a42 的值等于()A.60B.-82C.182D.-965.已知

9、数列 an 的通项公式是 an=lg1536-( n-1)lg2 ，则使得 an<0 的最小正整数n 的值为 ()A.11B.12C.13D.146.等差数列 an 中， a1>0， S20=S30，则 Sn 取得最大值时n 的值为()A.23B.24C.25D.267.设 M=11122 2(n N),则()2n个n 个A. M 为无理数B.M= 111C.M= 22 2D.M=333n个n个n 个8.小王从 1983年起，每年9 月 3 日在银行新存入a 元一年定期，若年利率r 保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2000 年 9 月 3 日将所有存款及利息取回，

10、她可取回的钱数(元)为()A. a(1+r)1718B. a(1+ r)C. a (1+ r)17-(1+ r )D.a (1+ r )18-(1+ r)rr9.某超市去年的销售额为a 万元，计划在后10年内每年比上一年增加10%，从今年起10 年内这家超市总销售额为()A.(1.1) 9aB.(1.1) 5aC.(1.1) 10-1 aD.11· (1.1) 10-1a10.已知线段 PQ=a， A1 是线段PQ 的中点， A2 是 QA1 的中点， A3 是 A1A2 的中点， A4 是 A3A2 的中点， ， An 是 An -2An-1 的中点，则PAn 长为()A. a&#

11、183;C.a·1 (1) nB. 2 a 1(1) n2n 132n 11 (1) nD. 2 a 1(1) n2 n32n二、思维激活11.已知一个等差数列共有 1999 项，那么它的偶数项之和与奇数项之和的比值是.12.有浓度为 P 的酒精一满瓶A 升，每次倒出 B 升后，再用水加满，一共倒了n 次，加了 n 次后瓶内酒精浓度为.13.在 10 到 2000 之间，形如2n(nN * )的数之和为.14.a 1 时 1+2a+3a2+ +nan-1 =.三、能力提高15.已知等差数列 an ， an=21-2n，又知 bn =|an |，求数列 bn 的前 30 项之和 .16

12、.一个首项为正数的等差数列 an ，如果它的前 3 项之和与前 11 项之和相等， 那么此数列前多少项之和最大 ?17.在直线 y=2x 上分别取横坐标为a1 的点 A1，以 A1 的纵坐标为横坐标取点A2，以 A2 的纵坐标为横坐标取点 A3，这样一直下去 .分别由 A1，A2，A3， ，An 引 x 轴的垂线， 垂足分别为 B1，B2，B3， ， Bn.(1) 求 A1， A2， A3 ， ， An 的纵坐标所成数列的通项公式；(2) 若点 A6 的纵坐标为192，求 OAn Bn 的面积所成数列前5项的和.18.某企业年初有资金1000 万元，如果该企业经过生产经营能使年资金平均增长率达

13、到50%，但每年年度都要扣除消费基金x 万元，余下的基金投入再生产，为实现经过5 年资金达到2000 万元 (扣除消费基金后 )，那么每年应扣除消费基金多少万元?第 1 课 等差数列与等比数列习题解答1.D由 an 695 得 (-5)+7( n-1) 695 解之即得 .2.A2故22 222(b 2b 1=0解之由 2lg c lga+lgb 得： c =ab，因 d<0a =b +ca =b +ab)aabsin B( 51)=sin A=.a23.D注意到 a6+a7=a2+a11=a3+a10.4.B令 t=a2+a6 +a10+ +a42 又 50=a1+a4+a7+ +a3

14、1 两式相减：t-50=d+2d+ +11d=66d 又 d=-2， t=-82.5.B可验证 n=11， n=12.6.C用 n 表示 Sn.7.DM=(102 n102n110 1)2(10n10n 1101)1 (10 2n1)2 (10n1)99=1102 n2 10 n1 =1(10n-1)= 333 .33n 个8.A存入的时间为17 年，最后求本息和 .9.D首项为 1.1a，公比为1.1 的等比数列前 101.1a(11.1)10=11 ·（1.110项和 S10=11.1-1)a.naaana2(1) n .10.BPQ-QA1+A1A2-A2 A3 + +(-1)

15、Pn-1Pn=a-2+4-8+ +(-1)2n=3a 1+2n 111.0.998求和公式 .12.设第 n 次浓度为 an ，a1= ( AB) P=(1-B )·P，a2= ( A B) a1=(1-B )2 ·P，依次类推： an=(1- B )n·P.AAAAA13. 2032n=4， 5， 10时，2n在 10 到 2000之间，其和为S=242.2101=2032.214.1 ( n1)a nna n 1.(1 a) 22115.若 21-2n>0 即 n<.2当 1 n 10 时， an>0 由 bn=|an|得 bn=2-2n；当

16、 11 n 30 时， an<0 由 bn=|an|得 bn =-an=2n-21.(191)10(139)20又 b10=a10=1， b11=-a11=1， b30=-a30=39 ， S30=S10+S 20=2+2=500.16. S3=S11， d=- 2a1， Sn=-1a1n2+14a1n=-1a1(n-7)2+49a1 ，故当 n=7 时， Sn 最大，即此数1313131313列前 7 项和最大 .17.(1) yn=2na1.(2) 由 y6=26a1 得 26a1=192，a1=3 ，S AB C=1 × 2n-1 a1× 2na1=9× 4n-1 ，故 SAB C所成的数列首项为9，nn2nn公比为 4 S5= 9(145 ) =3069.(14)18.第一年余下的基金为：31000(1+50%)- x=1000