平面向量的应用

1、平面向量的应用考点4平面向量的应用(在平面几何、解析几何与物理中的应 用)1、(江苏省南京市2015届高三上学期9月调考数学试卷)在平面直角坐标系 xOy中，已知圆22uuu uuuex2 y2 6x 5 0,点A,B在圆C上，且AB=2j3 ,则|OA+OB|的最大值就是 、【考点】平面向量的应用、 【答案】8【分析】设 A(xh y/ Bd, y2),AB 中点 M (x , y)、xi X2yi y2- x , y 22uuu uuruuuu OA+OB=(xi x2,yi y2) 2OM ,22_一.22圆 C：x y 6x 5 0 ,. (x 3) y4 ,圆心 q3,0)，半径 C

2、A=2、点 A,B 在圆 C上 AB=2j3,2212 一CA CM(AB),即 CM=1、2点M在以C为圆心，半径r=1的圆上、，OMWOC+r=3+1=4、 uuuu uuu uuu |OM |<4,|OA+OB|<8、2、在平面直角坐标系中，0为坐标原点，已知向量a=(2,1),A(1,0),B(cos t),uuur uuu uu uuu uuu若all AB，且| AB| 二 45 OA，求向量OB的坐标、uuur22(2)若a/ AB,求y cos cos t的最小值、 uuu【解析】(1)因为AB = cos 1,t ,uuu又 a / AB，所以 2t cos 10

3、、所以cos 1 2t、uuu uuu2又因为 | AB| 二 J5|OA ,所以 cos 1t2 5、2_2由得，5t 5,所以t 1、所以t 1、当t 1时，cos 3 (舍去),平面向量的应用当 t 1 时,cos 1,所以B 1, 1uuu，所以OB1,(2)由(1)可知tcos 12所以 y cos2cos(cos 1)2452315,2coscos(cos424431所以当cos3时，ymin1556cos) 55(cos45)2 53.已知 a| 4, b3,(2a 3b) (2a b) 61.(1)求a与b的夹角仇(2)求| a+b|、uur uur(3)若 AB a,BC b

4、,求 ABC的面积、【解析】(1)因为(2a 3b) (2a b) 61,所以4 a24a b 3 b61、又 |a| 4, b| 3,所以 644a b 2761,所以a b6 ,所以cosa b|a| |b|又0w兀所以20=-3(2) a22a b3213,所以|a b|加、uuu(3)因为ABuuu2 一与BC的夹角 片一，所以/ABC=uuu一.又| AB |=| a|=4, 3uuu| BC|=| b|=3，所以 Sa ABCuuu uuin一AB BC sin ABC 24 3平面向量的应用4、 (15宿迁市沐阳县银河学校高三上学期开学试卷)已知圆C过点P(1,1),且与圆M :

5、(x 2)2uuu uuuu+ (y 2)2 =r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称.若Q为圆C上的一个动点，则PQ - MQ的最小值 为.【考点】向量在几何中的应用.【答案】-4a 22【分析】设圆心C(a,b),则b 2 22匕1a 2，解得a 0b 0,则圆C的方程为x2+ y2 =r2,将点P的坐标代入得r2 =2,故圆C的方程为x2 + y2 =2, 设 Q(x,y),则 x2 + y2=2,uuu uuuu且 pQ - MQ =(x1,y1)(x+2,y+2)= x2 + y2+x+y4=x+y 2, 令 x= 72 cos a,y=虚 sin %贝U x+y=2sin(

6、 a+ )> 2uuu uuuuuuu uuuu4、所以PQ , MQ =x+y2-4U PQ - MQ的最小值为-uuu5、(2015南昌模拟)已知向量OAuuu2,2 ,OBuuu uuu4,1，在x轴上一点P使AP BP有最小值则点P的坐标为()A、( 3,0)B、(2,0)【答案】Cuuu【分析】设点P x,0，则AP xC、(3,0)D、(4,0)uuu2, 2 ,BP x 4, 1，故unr uurAP BPx 2 x 4 2 x2 6x 102x 31，因此当x =3时取最小值，此时P 3,0、2(2015宿州模拟)已知直线 x+y=a与圆x2y 4相交于A,B两点且满足u

7、uu uurOA OBuur uuuOA OB ,O为原点、则正实数a的值为(A、1B、2C、3【答案】B uuuuuruuuuuu【分析】由OAOBOAOB可得D、4uuu uur uuuOA OB，又 OAuurOB 2,uuu故AB 2夜,所以点O到AB的距离d二鬼,2 得|a|=2,0 0a所以 一2又 a>0,故 a=2、 7、 (2015 赣州模拟)已知向量 a=(cos% 2),b=(sin %1),且 a/b,贝U2sinocosa 等于()A、3【答案】DB、C、【分析】由a “ b 得 cos o= 2sin a,1所以tan =、2所以2sin ocos产2sin2

8、sincos2cos2tantan218、(2015江淮模拟)在ABC中，已知a,b,c分别为内角A,B,C所对的边，S为4ABC的面积、若向量 p=(S,a+b+c),q=(a+b c,1),满足 p/q,则 tanC=(2A、1B、1C、2D、442【答案】D【分析】由 p / q得S= a b 2 c2 2ab a2 b221c，即 a absinC=2ab+2abcosC,亦即sinC=1+cosC,tan -= '所。=4、42 1 cosC9、(2015临沂模拟)若向量a=(cos %sin *b=(cos 0sin曲则a与b 一定满足 ()A、a与b的夹角等于 a 3B、

9、a±bC、a/ bD、(a+b)±(a b)【分析】因为 a b=(cos o,sin a) (cos 0sin 3=cos( a3),这表明这两个向量的夹角的余弦值为cos(a 就、同时，也不能得出a与b的平行与垂直关系、因为计算得到（a+b） （a b）=0,所以（a+b），（a b）、10、（2015鹰潭模拟）已知P,M,N就是单位圆上互不相同的三个点uuuuruuir，且满足| PM |=| PN |,则uuuu uuurPM PN的最小值就是（A、1B、4【答案】BC、D、1【分析】根据题意，不妨设点P的坐标为（1,0），点M 的坐标为（cosQsin凯点N的坐标

10、为（cos Qsin 0)，其中 0< « 兀，uuuuuuuur则 PM =(cos o 1,sin 9, PN =(cos 0 1, sin 0),uuuu uuur所以 PM PN =(cos 0 1,sin (cos 0 1,sin 0),i、2. 2=(cos1)sin2=cos2cos 1 sin22=2cos 2cos =2 cos所以当cos 9=1时，PMu PN有最小值211、（2015宝鸡模拟）在平行四边形ABCD中，E,F分别就是边CD与BC的中点，若uuur uuur uuurAC = XAE+AF （入代 R）,则 log3 的值为 （）2A、2B、

11、1C、1D、2【答案】A【分析】如图,第11题图zl169uuuuuuunr令 AB =a, AD =b，则 AC =a+b,uuruuruur1AEADDE-a +b,2uuuruuuuuir1AFABBF =a+-b,所以跑=提+济=1a b 2a 1b = 1221. _ab，21由，得2121解得12M=-,3故 log 32210g3 -2321og 3 2 32、12、 （2015银川模拟）已知正三角形 OAB中，点O为原点，点B的坐标就是（3,4），点A在第uur象限，向量m=（ 1,0）,记向量m与向量OA的夹角为%则sina的值为 侨案】山10【分析】设向量 Ouu与x轴正向

12、的夹角为 3,则廿户兀口=&，且有sin3=4,3 353冗 1 百413，34373cos 户 g,sino=sin（兀 a）=sin = sin 3cos 3= x x =、uuu uuu uuuuuu13、（2015 九江模拟）在锐角 ABC 中,AC=BC=2,CO=xCA+yCB （其中 x+y=1），函数 f（归 CA挑|的最小值为 Q，则|Co |的最小值为【分析】如图所示：Z1170uuu uuu 设入CB=CD,uuauuu uuu uuu uuu所以 |CA 入CB|=|CA CD|=|DA|,uuuuuuuuu由于CDCB,所以点D在直线BC上，所以f(归DA|,

13、结合图形知：当ADBC时,f(与取最小值,sin/ACB=# ,由于/ ACB为锐角，所以uuu_即 f min =| CA |sinZ ACB =2sin / ACB= J3 ,所以，因为COxCA+yCB ,且x+y=1,所以点, 兀.一一/ACB= ，因为CA=CB,所以 ABC为等边三角形3O,A,B三点共线，uuu所以当COLAB时,| CO |取最小值，uuinulu7tL所以 | CO |min =| CA |sin / BAC=2sin = J3、314、(2015西安模拟)已知向量1 立，OA = a 2 2uuub, OB =a+b,若AOAB就是等边三角形，则 OAB的面

14、积为【分析】因为a=ab,uuuOB =a+b,uuu uuu所以 OA + OB =(ab)+(a+ b)=2a=(1, - 3),uur uuu 2- 2所以 |OA + OB|=J 1 如=2、所以等边三角形OAB的高为，一，21,边长为,因此其面积为 4.315、(2015 上饶模拟)已知 a=(sinx,1),b=(cosx, 工),若 f(x)=a (a b),求:2(1) f(x)的最小正周期及对称轴方程、 (2)f(x)的单调递增区间、 当xC 0,-时，函数f(x)的值域、1【斛】 因为 a=(sinx,1),b= (cosx,),所以ab= sin x3cos x, 一 2

15、2所以 f(x)=a (a b)=sinx(sinx cosx)+ = sin x1cos2x13= -sin2x+ 一222=2 (sin2x+cos2x)23sinxcosx+ 一2二2asin 2x222所以函数f(x)的最小正周期为 T=22 M2令 2x = +k % k Z), 4 2解得 x= - +虫(kC Z),8 2所以函数f(x)对称轴方程为九k九 x= + (kCZ)、(2)因为 f(x)=2金冗sin 2x 一24，一 一. 它所以函数f(x)的单调增区间为函数 y二sin 2x -的单调减区间4令；+2卜兀0 2x+；& +2kjt k Z),即得 8+kT

16、t5 x 8-+k 7tk Z),所以函数f(x)的单调增区间为 -k兀3 k冗(kC Z)、 88冗冗5冗令 2x+ 一=te ,一44 4所以原式化为f(t)=2.2sint2因为te即得2 工0 f(t)所以函数f(x)在区间0,T上的值域为 2,2 5 - 、2 ,2116、 (2015南昌模拟)已知向量a=(一21.3，sinx+ cosx)与 b=(1,y)共线，设函数 y=f(x)>22(1)求函数f(x)的最小正周期及最大值、(2)已知锐角 ABC的三个内角分别为A,B,C,若有 f八 冗 二，l 121A = . 3，边 BC=7 ,sinB=,37求 ABC的面积、【

17、解】(1)因为a与b共线, m=(a+Gb a),n=(a c,b),且 mn、 (1)求角C的大小、所以1y21 人 sin x2贝U y=f(x)=2sin，所以f(x)的最小正周期 丁二2兀,当 x=2k 兀 H ,k C Z 时,=2、 max(2)因为f A二3所以2sin A-二出，所以3sinA=-、因为2冗底 、 、 .一0<A< ，所以 A=、由正弦定理得BCsin AACsin BP C 21 一 又sinB=，所以BC sin B 3.21AC=2,且 sinC=sin A14所以Sa ABC3.3=AC BC sinC=、17.(2015成都模拟)已知4AB

18、C的个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量2 B 、(2)右向重s=(0,1),t= cos A, 2cos ,试求|s+t|的取值氾围、2【解】由题意得m n=(a+c,b a) (a c,b)= a2 c2 b22. 22.由余弦定理得 cosC= a-= 一2ab 2一.一一.兀因为0<C<Tt所以C二、32 B ,(2)因为 s+t= cos A, 2cos - 1 =(cosA,cosB), 2m_« 22 A2r2A227tA肝以 s t =cos A cos B cos A cos A 3因为0<A<2?，所以康<2A 晟个, 1U所以一<sin 2 A W 1、1所以1 W s22<5,故且&|s+t|仓、42222, 2ab=0,即 c = a bab、1C八 冗一sin 2 A +1、262618、(2015九江模拟)在 ABC中,a,b,c分别就是角 A,B,C的对边，m=(2a+c,b), n=(cosB,cosC),且 m n=0、 (1)求角B的大小、(2)设函数f(x)=sin2xcos(A+C) cos2x,求函数f(x)的最小正周期，最大值及当f(x)取得最大值3时x的值、【解】(1)由已知得，(2a+c)cosB+bcosC=0,即(2sinA+sinC)cosB+sinBc