第一章Fourier变换

1、工程数学工程数学之积分变换积分变换（第四版）（第四版）东南大学数学系东南大学数学系 张元林编张元林编高等教育出版社高等教育出版社引言引言在自然科学和工程技术中，为了把较复杂的运算简单化，人们常常采用所谓的变换的方法来达到目的。如十七世纪，航海和天文学积累了大批观察数据，需要对它们进行大量的乘除运算。在当时，这是非常繁重的工作，为了克服这个困难，1614年纳皮尔（Napier)发明了对数，它将乘除运算转化为加减运算，通过两次查表，便完成了这一艰巨的任务。 十八世纪，微积分学中，人们通过微分、积分运算求解物体的运动方程。到了十九世纪，英国著名的无线电工程师海维赛德（Heaviside）为了求解电工

2、学、物理学领域中的线性微分方程，逐步形成了一种所谓的符号法，后来就演变成了今天的积分变换法。即通过积分运算把一个函数变成另一个函数。同时，将函数的微积分运算转化为代数运算，把复杂、耗时的运算简单、快速完成。 积分变换的理论和方法不仅在数学的学多分支中，而且在其它自然科学和各种工程技术邻域中都有着广泛的应用。所谓积分变换，就是把某函数类所谓积分变换，就是把某函数类A中的任意一个函数中的任意一个函数经过某种可逆的积分方法（即为通过含参变量经过某种可逆的积分方法（即为通过含参变量的积分）的积分）变为另一函数类变为另一函数类 B中的函数中的函数 这里这里 是一个确是一个确定的二元函数，通常称为定的二元

3、函数，通常称为该积分变换的核该积分变换的核 称为称为 的的像函数或简称为像像函数或简称为像， 称为称为 的的原函数原函数( )( ) ( , )dbaFf t K tt( )f t( )f t( ),F( )F( )F( )f t( , )K t 在这样的积分变换下，微分运算可变为乘法运算，原来的偏在这样的积分变换下，微分运算可变为乘法运算，原来的偏微分方程可以减少自变量的个数，变成像函数的常微分方程；微分方程可以减少自变量的个数，变成像函数的常微分方程；原来的常微分方程可以变为像函数的代数方程，从而容易在像原来的常微分方程可以变为像函数的代数方程，从而容易在像函数类函数类B中找到解的像；再经

4、过逆变换，便可以得到原来要在中找到解的像；再经过逆变换，便可以得到原来要在A中所求的解，而且是显式解中所求的解，而且是显式解 另外需要说明的是，当选取不同的另外需要说明的是，当选取不同的积分区域和核函数积分区域和核函数时，时，就得到不同名称的就得到不同名称的积分变换积分变换: （1）当核函数）当核函数 时（注意已将积分参时（注意已将积分参变量变量改写为变量改写为变量），当），当，则，则称函数称函数 为函数为函数 的的傅里叶（傅里叶（Fourier）变换）变换，简称简称为函数为函数的的傅氏变换傅氏变换同时我们称同时我们称 为为的的傅里叶逆变换傅里叶逆变换i t( ,)K tei( )( )dtF

5、f t et,ab ( )F( )F( )F( )f t( )f t( )f t（2）当核函数）当核函数 时（注意已将积分参变量时（注意已将积分参变量改写为变量改写为变量），当），当，则，则称函数称函数 为函数为函数 的的拉普拉斯拉普拉斯 (Laplace)变换变换，简称，简称 为函数为函数 的的拉氏变换拉氏变换同时我们称同时我们称 为为 的的拉氏逆变换拉氏逆变换 ( , )ptK t pep0,ab 0d( )( )pttF pf t e( )F p( )F p( )F p( )f t( )f t( )f t第一章第一章 Fourier变换变换1.1 Fourier积分积分1.1.1 傅立叶

6、级数的复指数形式傅立叶级数的复指数形式设 是以 为周期的周期函数，如果它在区间 上满足狄利克雷条件：)(tfT,22TT（1） 在 上连续或者只有有限个第一类间断点；)(tf,22TT（2） 在 上只有有限个极值点。)(tf,22TT那么， 在 上就可以展开成傅里叶)(tf,22TT级数，在 的连续点处，级数的三角形式为：)(tf)sincos(2)(10tnbtnaatfnnnT其中，), 2 , 1 , 0( ,cos)(2,222ntdtntfTaTTTTn), 2 , 1( ,sin)(222ntdtntfTbTTTn01(0)(0)cossin22nnntf tf taan tbn

7、tTT在间断点 处成立：引进复数形式：cos,sin22in tin tin tin teeeen tn ti0101 222 222in tin tin tin tnnnin tin tnnnnnaeeeeabiaaibaibee级数可化为：0020222222222,1,2,2221( )11( ) cossin( )11( ) cossin( )nnnnnnTTTTTin tnTTTTTTin tnTTnTTaaibaibccdncft dtTcftn tin t dtf tedtTTdftn tin t dtf tedtcTT令则221( )0, 1, 2,Tin tnTTcft ed

8、t nT 从而原级数可合并为：若令nn则 的傅里叶级数可写成tinnnectf)()(tf或tininTTnedefTtf 22)(1)(这就是傅立叶级数的复指数形式。1.1.2 傅立叶积分定理傅立叶积分定理对任何一个非周期函数 都可以看成是由某个周期函数 当T时转化而来的.)(tf)(tfT作周期为T 的函数 , 使其在-T/2,T/2之内等于 , 在-T/2,T/2之外按周期T延拓到整个数轴上, 则T 越大, 与 相等的范围也越大, 这就说明当T时, 周期函数 便可转化为 , 即有)(tfT)(tfT)(tfT)(tf)(tf)(tflim( )( )TTftf t22jj1( )lim(

9、 )d,TnnTtTTnnf tfeeTn 故2n当 取一切整数时=所对应的点便均匀分T布在整个数轴上.12()20,()nnnTnTT 令与 无关 ，此时视为连续变量2222jjjj01( )lim( )d1 lim( )d2TnnTTnnTntTTntTnnf tfeeTfee 22jj0()( )d1( )lim()2TnTnnTnTtTnnnFfef tFe 令22()( ) ( )( )nTiTnTTiFfedfedFT 1( )( )2i tf tFe d由定积分定义（注：积分限对称）.1( )( )2ii tf tfede d即 f t 傅里叶积分公式傅立叶积分定理傅立叶积分定理

10、若 在 上满足下列条件：)(tf),(（1） 在任一有限区间上满足狄利克雷条件；)(tf（2） 在无限区间 上绝对可积（即积 分 收敛）。)(tf),(dttf| )(|dedeftftjj )(21)( 则有左端的 在它的间断点处，应以)(tf2)0()0(tftf来代替。这个公式称为傅立叶积分公式。若 为奇函数，则有)(tftddftfsinsin)( 2)(00若 为偶函数，则有)(tftddftfcoscos)( 2)(00它们分别称为傅立叶正弦积分公式和傅立叶余弦积分公式。例例1 求函数 的傅立叶积分表达式。其它 , 01| , 1)(ttf解解：根据Fourier积分公式的复数形式

11、，有 dedeftftjj)(21)( 11)sin(cos21dedjtj 10cos1dedtjdtjt)sin(cossin1) 1( ,cossin20tdt当 时， 应以代替。1t)(tf212)01()01(ff2400| | 1sincos d( )| | 120| | 10,sin d2ttf ttttxxx因此可知当时 有根据上述结果，可得练习：练习： 求矩形单脉冲函数 的傅里叶积分公式。其它。, 0;2|,)(tEtf解： dedsesftftjsj)(21)( 2221dedsEetjsjdeEtj)2sin(2210cos2sin2dtE在傅里叶积分公式中，设)3 .

12、1 ( )()( dtetfFtj则)4 . 1 ( )(21)( deFtftj(1.3)式称为 的傅立叶变换式傅立叶变换式，可记为)(tf)(F)(tf )(F)(tf)(F)(tf)(1F 叫做 的象原函数象原函数。)(tf)(F当 为奇函数时，)(tf0sin)( )(tdttfFs叫做 的傅立叶正弦变换傅立叶正弦变换，而)(tf0ssin)( 2)(tdFtf)(F当 为偶函数时，)(tf0cos)( )(tdttfFc叫做 的傅立叶余弦变换傅立叶余弦变换，而)(tf0ccos)( 2)(tdFtf叫做 的傅立叶余弦逆变换傅立叶余弦逆变换。)(F注注：若 仅在 上有定义，且满足Fou

13、rier积分存在定理的条件，也可采用奇延拓或偶延拓的方法，得到 相应的Fourier正弦积分展开式或余弦积分展开式。)(tf)(tf), 0( 例例1 求函数 的傅立叶变换及其积分表达式，其中 ，这个 叫做指数衰减函数，是工程技术中常碰到的一个函数。0,; 0 , 0)( tettft0)(tf解：解：傅立叶变换为dtetfFtj)()(0dteetjt220)(1jjdtetj故所求积分表达式为deFtftj)(21)(dejtj2221dtt22sincos21例例2 求函数 的正弦变换和余弦变换。1 , 0, 10 , 1)(tttf解解： 的正弦变换为)(tf0;cos1sin)()(

14、tdttfFs 的余弦变换为)(tf.sin1cos)()(0tdttfFc1.2.2 非周期函数的频谱非周期函数的频谱Fourier变换和频谱概念有着密切的联系，随着无线电技术、声学、振动学的蓬勃发展，频谱理论也相应地得到了发展。在频谱分析中，傅氏变换 又称为 的频谱函数，而模 称为 的振幅频谱，简称频谱，它是 的偶函数，即 。)(F)(tf| )(|F)(tf| )()(| FF1.2.3 单位脉冲函数及其傅氏变换 在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在电学中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流; 在力学中, 要研究机械系统

15、受冲击力作用后的运动情况等. 研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数. 在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流i(t). 以q(t)表示上述电路中的电荷函数, 则. 0, 1; 0, 0)(tttqttqttqttqtit)()(limd)(d)(0 当t0时, i(t)=0, 由于q(t)是不连续的, 从而在普通导数意义下, q(t)在这一点是不能求导数的.如果我们形式地计算这个导数, 则得ttqtqitt1lim)0()0(lim)0(00 这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电流强

16、度, 引进一称为狄拉克(Dirac)的函数, 简单记成d-函数: 000tttd有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量, 例如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的量那样, 以统一的方式加以解决.0001( )0000( )lim( )0ttttttttddd 给函数序列，定义。d(t)1/O0001( )dlim( )dlim1ttttdtdd（在极限与积分可交换意义下）工程上将d-函数称为单位脉冲函数。 可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示, 这个线段的长度表示d-函数的积分值, 称为d-函数的强度.tOd (t)1d-函数

17、有性质： 00( ) ( )d(0)() ( )d( ).t f ttfttf ttf tf tdd及（为连续函数）可见d-函数和任何连续函数的乘积在实轴上的积分都有明确意义。d-函数的傅氏变换为:0 ( )()( )ede1j tj tttFttdd于是d (t)与常数1构成了一傅氏变换对.11( )12i tte ddF2( )i te dtd证法2：若F()=2d (), 由傅氏逆变换可得j01( )2( )ed12tj tf ted 例1 证明：1和2d ()构成傅氏变换对.证法1： 12.j tj sedtstedsd 1000jjjj0j01( )( )ed212()edee.2e

18、2()tttttf tF d d 证：即和构成了一个傅氏变换对。0j0e2()td 例2证明和构成一个傅氏变换对。由上面两个函数的变换可得0jj()0ed2( )ed2()tttt d d 例如常数, 符号函数, 单位阶跃函数以及正, 余弦函数等, 然而它们的广义傅氏变换也是存在的, 利用单位脉冲函数及其傅氏变换就可以求出它们的傅氏变换. 所谓广义是相对于古典意义而言的, 在广义意义下, 同样可以说,原象函数f(t) 和象函数F() 构成一个傅氏变换对. 在物理学和工程技术中, 有许多重要函数不满足傅氏积分定理中的绝对可积条件, 即不满足条件|( )|df tt 例4 求正弦函数f (t)=s

19、in0t的傅氏变换。0000j0jjj()j(j0000( ) ( )esindee1ed(ee)d2j2j12()2()j()() .2jttttttFf tt ttt d d d d Ft00O|F()|0sint例 5 证明：0,0( ),1,0tu tt单位阶跃函数1 ( )( ).u tjd 证：10111( )( )2111( )2211cossin2211sin11sin222j tj tj tedjjededjtjtdjttddd d d F0,20,2sin0ttdt1110,02211( ),0( )2111,022ttu tjtd F1.3 Fourier变换的性质变换的

20、性质1、线性性质、线性性质设 ， ， 是常数，)(1F)(1tf)(2F)(2tf)()()()(2121FFtftf,则2、对称性质、对称性质)(F)(tf),(2)(ftF)(2)(ftF3、位移性质、位移性质0 0)(tjettf)(tf例例1 求矩形单脉冲 的频谱函数。其它, 0;0 ,)(tEtf解一：由定义，有dtEedtetfFtjtj0)()(2sin220tjtjeEejE解二：因其它。, 0;2|,)(1tEtf的频谱函数为2sin2)(1tEF故)(F)(tf)()2(121Fetfj2sin22tjeE)(tf),(|t0)(tfjtf)()(tf)()(tfk),(1

21、, 2 , 1 , 0, 0)(lim)(| |nktfktnnjtf)()()()(tf( )Fj 像函数的微分性： ( )tf t ( )( )tf tjF或( )( )()nnFj ( )nt f t或( )( )( )nnnt f tj F例例2 已知函数 ，)0(0, 0, 0)(tettft试求 及 。)(tft)(2tft解：解：由1.2中例1可知，)(tf的傅里叶变换为利用象函数的求导公式，有)(tft2)(1)(jFddj)(2tft3222)(2)(jFddjjF1)(5、积分性质、积分性质ttdttftg0)()(tjdttf1)()(tf运用傅立叶变换的线性性质、微分性

22、质以及积分性质，可以将线性常系数微分方程（包括积分方程和微积分方程）转化为代数方程，通过解代数方程与求傅立叶逆变换，就可以得到相应的原方程的解。1.4 卷积与相关函数卷积与相关函数1. 卷积的概念卷积的概念)(1tf)(2tfdtff)()(21t)(1tf)(2tf)()(21tftfdtfftftf)()()()(2121)()()()(1221tftftftf)()()()()()()(3121321tftftftftftftf. 0,; 0 , 0)( , 0, 1; 0, 0)(21tettftttft)(1tf)(2tf由 ，0, 0t可知当 时，0t0)()(21tff的区间为 ，故, 0tdtfftftf)()()()(2121deedetttt00)(1ttteee1) 1()(),(21tftf)()(11Ftf)()(22Ftf)()()()(2121FFtftf)()()()(21211tftfFF)()(21)()(2121FFtftf例例2 求单位阶跃函数和指数衰减函数的傅立叶变换的卷积 。0, 10, 0)(tttu0,; 0 , 0)( tettft)()(21FF解解：2)()(21FF)()(21tftf2)()(2tftuj2n1.5 Fouri