二次函数动点问题典型例题

1、二次函数动点问题典型例题等腰三角形问题1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx的对称轴为x,且经过点A (2, 1),点P是抛物线上的动点，P的横坐标为m (0vmv2),过点P作PBL x轴，垂足为B, PB 交OA于点C,点。关于直线PB的对称点为D,连接CD, AD,过点A作AELx轴，垂足为E.(1)求抛物线的解析式；(2)填空：用含m的式子表示点C, D的坐标:C (, ), D (, );当m=时，4ACD的周长最小；(3)若4ACD为等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标.面积最大, 一 1O .1 .如图，抛物线y= - x2+mx+n与x轴父于A、B两点，与

2、y轴父于点C,抛物线的对称轴 1交x轴于点D,已知A ( - 1, 0), C (0, 2).(1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使 PCD是以CD为腰的等腰三角形如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)点E时线段BC上的一个动点，过点 E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时，四边形 CDBF的面积最大求出四边形 CDBF的最大面积及此时 E点的坐标.2 .已知：如图，直线 y=3x+3与x轴交于 CM 与y轴交于A点，B点在x轴上，4OAB是 等腰直角三角形.(1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式；(2)若直线CD/ AB交抛

3、物线于D点，求D点的坐标；(3)若P点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么4PAB是否有最大面积若有，求出此时P点的坐标和4PAB的最大面积；若没有，请说明理由.3 . (2015黔西南州)(第26题)如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 ABOC如图放置, 将此平行四边形绕点 。顺时针旋转90。得到平行四边形 A B' OO物线y= - x2+2x+3经过点A、C、A'三点.(1)求A、A'、C三点的坐标；(2)求平行四边形 ABOC和平行四边形 A B' OC1部分 C' ODJ面积；(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点 M在何处时， AMA

4、的面积最大最大面 积是多少并写出此时 M的坐标.最短路径1. (2014绵阳)如图，抛物线 y=ax2+bx+c (aw。的图象过点 M (-2,),顶点坐标为 N (-1,),且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点.(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线对称轴上的动点，当 4PBC为等腰三角形时，求点 P的坐标；(3)在直线AC上是否存在一点 Q,使4QBM的周长最小若存在，求出 Q点坐标；若不存 在，请说明理由.I，一 .，一 、“，O， j ,2. (2014泸州)如图，已知一次函数都经过点B (0, 1)和点C,且图象y1=jx+b的图象l与一次函数 y2=-x2+mx+b的图象C

5、C过点 A (2-, 0).(1)求二次函数的最大值；(2)设使y2>y1成立的x取值的所有整数和为 s,若s是关于x的方程X-Iy=0的根，求a的值； a _ 1 x _ 3(3)若点F、G在图象C'上，长度为的线段 DE在线段BC上移动，EF与DG始终平行于y 轴，当四边形 DEFG的面积最大时，在 x轴上求点P,使PD+PE最小，求出点P的坐标.平行四边形1. （2015贵州省贵阳，第24题9分）如图，经过点 C （0, -4）的抛物线y=ax2+bx+c （awQ 与x轴相交于A （-2, 0）, B两点.（1） a 0, b2- 4ac > 0 （填 多”或 之”

6、）；（2）若该抛物线关于直线 x=2对称，求抛物线的函数表达式；（3）在（2）的条件下，连接 AC, E是抛物线上一动点，过点 E作AC的平行线交x轴于点 F.是否存在这样的点 E,使彳#以A, C, E, F为顶点所组成的四边形是平行四边形若存在， 求出满足条件的点 E的坐标；若不存在，请说明理由.- 一，一， V .2. （14分）（2015葫芦岛）（第26题）如图，直线y=-x+3与x轴交于点C,与y轴交于4点B,抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点.（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当BEC面积最大时，请求出点 E的坐标和 BEC面积的最大值（3

7、）在（2）的结论下，过点 E作y轴的平行线交直线 BC于点M ,连接AM ,点Q是抛物 线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P,使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.3. （2015辽宁抚顺）（第26题，14分）已知， ABC在平面直角坐标系中的位置如图所 示，A点坐标为（-6, 0）, B点坐标为（4, 0）,点D为BC的中点，点E为线段AB上一动 点，连接DE经过点A、B、C三点的抛物线的解析式为 y=ax2+bx+8.(1)求抛物线的解析式；(2)如图，将4 BDE以DE为轴翻 折，点B的对称点为点G,当点G恰好落在抛物线

8、的 对称轴上时，求G点的坐标；(3)如图，当点E在线段AB上运动时，抛物线y=ax2+bx+8的对称轴上是否存在点 F,使 得以C D、E、F为顶点的四边形为平行四边形若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由.圈图4. (2015梧州，第26题12分)如图，抛物线 y=ax2+bx+2与坐标轴交于 A、B、C三点，其中B (4, 0)、C (-2, 0),连接AB、AC,在第一象限内的抛物线上有一动点D,过D作DE，x轴，垂足为E,交AB于点F.(1)求此抛物线的解析式；(2)在DE上作点G,使G点与D点关于F点对称，以G为圆心，GD为半径作圆，当。G 与其中一条坐标轴相切时，求G点

9、的横坐标；(3)过D点作直线DH/AC交AB于H,当4DHF的面积最大时，在抛物线和直线AB上分别取M、N两点，并使D、H、M、N四点组成平行四边形，请你直接写出符合要求的M、N两点的横坐标.5. (2015甘南州第28题12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-三x2+bx+c,经过 A (0, - 4) , B (xi, 0), C (x2, 0)三点，且 |x2-xi|=5 .(1)求b, c的值；(2)在抛物线上求一点 D,使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形;(3)在抛物线上是否存在一点 P,使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为

10、正方形若不存在，请说明理由.角度问题1. (2015宁德 第24题14分)已知抛物线 y=x2+bx+c与x轴交于A, B两点，与y轴交 于点C,。是坐标原点，点 A的坐标是(-1, 0),点C的坐标是(0, -3).(1)求抛物线的函数表达式；(2)求直线BC的函数表达式和/ ABC的度数；(3) P为线段BC上一点，连接 AC, AP,若/ ACB=Z PAB,求点P的坐标.函数应用40元，经市场调查整理1. (2015广东茂名23, 8分)某公司生产的某种产品每件成本为出如下信息:该产品90 天内日销售量（m 件）与时间（第x 天）满足一次函数关系，部分数据如下表：时间（第x天）1 3

11、6 10日销售量（m件）198 194 188 180 该产品90 天内每天的销售价格与时间（第x 天）的关系如下表：时间（第 x天）1WX 50 50<x<90销售价格（元/件） x+60 100（ 1 ）求m 关于 x 的一次函数表达式；（2）设销售该产品每天利润为y元，请写出y关于x的函数表达式，并求出在 90天内该产品哪天的销售利润最大最大利润是多少【提示：每天销售利润=日销售量x（每件销售价格-每件成本）】（ 3）在该产品销售的过程中，共有多少天销售利润不低于5400 元，请直接写出结果相似三角形1. （2015辽宁铁岭）（第26题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a

12、x2+bx+与x轴交于A （-3, 0）, B （1, 0）两点.与y轴交于点C,点D与点C关于抛物线的对称轴对称.（ 1 ）求抛物线的解析式，并直接写出点D 的坐标；(2)如图1,点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿 A-B匀速运动，到达点 B 时停止运动.以 AP为边作等边 APQ (点Q在x轴上方)，设点P在运动过程中， APQ 与四边形AOCD重叠部分的面积为 S,点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；(3)如图2,连接AC,在第二象限内存在点 M,使得以M、O、A为顶点的三角形与 AOC 相似.请直接写出所有符合条件的点M坐标.解析式的应用1. (2015天津，第25

13、题10分)(2015天津)已知二次函数 y=x2+bx+c (b, c为常数).(I )当b=2, c= - 3时，求二次函数的最小值；(n)当c=5时，若在函数值y=l的怙况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；(出)当c=b2时，若在自变量x的值满足b<x<b+的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21,求此时二次函数的解析式.综合练习1. (2015辽宁阜新)(第18题，12分)如图，抛物线 y=-x2+bx+c交x轴于点A ( - 3, 0)和点B,交y轴于点C (0, 3).(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P在抛物线上，且 SA aop=4Sbo

14、c,求点P的坐标;(3)如图b,设点Q是线段AC上的一动点，作 DQ，x轴，交抛物线于点 D,求线段DQ长度的最大值.85耻2. (2015黑龙江省大庆，第28题9分)已知二次函数y=x2+bx-4的图象与y轴的交点为C,与x轴正半轴的交点为 A,且tan / ACO(1)求二次函数的解析式;(2)(3)与在X1, X2的值；若不存在，说明理由.P为二次函数图象的顶点，Q为其对称轴上的一点， QC平分/ PQO,求Q点坐标;是否存在实数 Xi、x2 (xiX2),当xWx卷时，y的取值范围为y= - x2+4x+5的顶点为 D,与x轴连接 CE,将线段CE绕点E按逆3. (2015北海，第26题14分)如图1所示，已知抛物线交于A、B两点，与y轴交于C点，E为对称轴上的一点, 时针方向旋转90°后，点C的对应点C恰好落在y轴上.(1)直接写出D点和E点的坐标;(2)点F为直线C'屿已知