清华大学谢金星数学实验-作业3

1、土木系 结23 李会平 2011012208实验5线性方程组解法实验6非线性方程求解【实验目的】1学会用MATLAB软件数值求解线性代数方程组，对迭代法的收敛性误差作初步分析；2通过实例学习用线性代数方程组解决简化的实际问题。3学会用MATLAB软件数值求解线性代数方程组，对迭代法的收敛性误差作初步分析；4通过实例学习用线性代数方程组解决简化的实际问题。【实验内容】一.种群繁殖问题（教材5.9）（1）建立数学模型根据问题描述，建立如下所示的模型：-=令，, , 则有：Ax-h=x,(当稳定后xk和是一样的)所以x=(A-I)-1h(2)求解x1x5:l 用matlab编程如下：.l 当给定b,

2、s,h的数值以后，可以求出满足条件的x，运行结果如图所示：（3）将h的数值改变，仍然运行以上代码即可，所得结果如下：l 给出的结果中出现了负数，因此认为提给的要求是无法实现的。另外在解决该题的过程中发现整个建模的过程中没有用到hn这个值，这可能是原题的失误或者自己理解的错误（也希望老师可以指出其中的问题所在）。二.(6.6)共沸混合物问题l 1）该题的模型已经在教材中建立，只需要用matlab进行计算即可，需要注意的是第四种物质可以直接由1-前三种物质的比例得到，这样可以减少用fsolve命令解方程组带来的误差。相应的程序如下所示：其中的M函数如下所示：2）运行结果如下所示：3）为了得到更多情

3、况下的组成结构，改变初始比例和初始温度，会得到不同的结果，比如在XT=（0.5，0.5，0，70）时候，得到结果如下当XT=（0，0，0.5，80）时候，得到结果如下：当XT=（0.6，0.1，0.1，40）时候，得到结果如下所示：l 简单地绘制一个表格表示如下：初值解XT0X1X2X3X4T0.25,0.25,0.25,500.00000.58580.41420.000071.96570.5,0.5,0,700.00000.78030.00000.219776.96130,0,0.5,800.0000-0.00001.00000.000082.55670.6,0.6,0.1,400.0000

4、0.58580.41420.000071.9657l （1）从表格中看出，不同的初值会对最后的平衡产生影响，可能最后达到一个共同的平衡，比如第一组和第四组数据，也可能达到不同的平衡。表格中的数据不一定包含所有的平衡状况，但是较好的说明了问题；（2）计算结果中有的部分出现了微小的负数的情况，这可能是matlab本身算法存在的误差或者摄入误差等带来的三.（6.8）期望价格问题l 首先根据题意给出相应的数学模型、迭代公式：qt+1=1-rqt+rc-arctanqt/d带入数值即为：qt+1=0.7qt+1.2c-arctan4.8qt以上为q(t)进行迭代的依据l 下面给出相关的matlab程序进

5、行不同c值下的迭代运算。迭代的chaos程序在教材中已经给出，如下所示：然后给出迭代公式的M函数：运行chaos函数，可以得到不同c值下的迭代过程的混沌图案，相应代码如下：其相应的图形为：由于是中心对称的，故只研究如下的右侧部分：与课本展示的图案不同，该图从左右两边向中间变得更加复杂，分叉点在左右两边均有，而中间会变得非常复杂，于是从左右两侧分别估计出分叉点的c值，然后绘制出在一系列给定c值的情况下的迭代波动情况。l 给定右侧的c值为2,1,0.92,0.89时，相应的代码如下所示得到的图形为：相应的数值：kc=2c=1c=0.92c=0.89000001.00002.40001.20001.

6、10401.06802.00002.29900.36130.21570.16183.00002.23280.19560.29170.38884.00002.18960.43230.16740.04555.00002.16160.15660.40890.84186.00002.14350.53620.07070.06357.00002.13170.13510.76070.75768.00002.12420.60430.07230.03549.00002.11930.13640.75370.890810.00002.11610.59970.07020.082311.00002.11410.1361

7、0.76290.674212.00002.11280.60100.07300.014613.00002.11190.13620.75080.994114.00002.11140.60060.06940.126815.00002.11100.13610.76670.500516.00002.11080.60070.07410.006717.00002.11070.13610.74571.034118.00002.11060.60070.06800.145519.00002.11050.13610.77320.438420.00002.11050.60070.07610.022321.00002.

8、11050.13610.73690.955822.00002.11040.60070.06550.109623.00002.11040.13610.78430.563424.00002.11040.60070.07960.002425.00002.11040.13610.72181.055626.00002.11040.60070.06150.155827.00002.11040.13610.80270.406528.00002.11040.60070.08560.035929.00002.11040.13610.69590.888330.00002.11040.60070.05520.081

9、331.00002.11040.13610.83170.678432.00002.11040.60070.09580.015533.00002.11040.13610.65400.989934.00002.11040.60070.04690.124935.00002.11040.13610.87100.507436.00002.11040.60070.11050.005737.00002.11040.13610.59621.038938.00002.11040.60070.03980.147839.00002.11040.13610.90540.431140.00002.11040.60070

10、.12420.025041.00002.11040.13610.54580.942042.00002.11040.60070.03870.103643.00002.11040.13610.91090.586644.00002.11040.60070.12650.003245.00002.11040.13610.53781.051946.00002.11040.60070.03900.154047.00002.11040.13610.90920.411948.00002.11040.60070.12580.033349.00002.11040.13610.54020.901050.00002.1

11、1040.60070.03890.086451.00002.11040.13610.90980.656552.00002.11040.60070.12600.011353.00002.11040.13610.53941.010654.00002.11040.60070.03890.134455.00002.11040.13610.90960.474456.00002.11040.60070.12600.011757.00002.11040.13610.53961.009058.00002.11040.60070.03890.133759.00002.11040.13610.90970.4770

12、60.00002.11040.60070.12600.0111不同的c值分别对应了1，2，4，8个收敛点（最后一个不明显，因为迭代的次数不够多），如上所示。l 给定左侧的c值为0,0.200,0.450,0.525,相应代码为：绘出的图形如下所示：相应的数据为：KC=0C=0.200C=0.450C=0.525000001.000000.24000.54000.63002.00000-0.6191-0.5251-0.43073.000001.30211.60411.67284.00000-0.5431-0.06710.06475.000001.30520.86680.31396.00000-0

13、.5414-0.4551-0.33217.000001.30521.59121.61028.00000-0.5414-0.07490.02669.000001.30520.90160.496410.00000-0.5414-0.4413-0.430611.000001.30521.58681.672812.00000-0.5414-0.07760.064713.000001.30520.91340.314014.00000-0.5414-0.4365-0.332215.000001.30521.58501.610216.00000-0.5414-0.07860.026617.000001.30

14、520.91790.496218.00000-0.5414-0.4346-0.430619.000001.30521.58431.672820.00000-0.5414-0.07900.064721.000001.30520.91980.314022.00000-0.5414-0.4338-0.332223.000001.30521.58401.610324.00000-0.5414-0.07920.026625.000001.30520.92050.496026.00000-0.5414-0.4335-0.430627.000001.30521.58391.672828.00000-0.54

15、14-0.07930.064729.000001.30520.92090.314030.00000-0.5414-0.4334-0.332331.000001.30521.58391.610332.00000-0.5414-0.07930.026733.000001.30520.92100.496034.00000-0.5414-0.4333-0.430635.000001.30521.58381.672836.00000-0.5414-0.07930.064737.000001.30520.92100.314138.00000-0.5414-0.4333-0.332339.000001.30

16、521.58381.610340.00000-0.5414-0.07930.026741.000001.30520.92110.495942.00000-0.5414-0.4333-0.430643.000001.30521.58381.672844.00000-0.5414-0.07930.064745.000001.30520.92110.314146.00000-0.5414-0.4333-0.332347.000001.30521.58381.610348.00000-0.5414-0.07930.026749.000001.30520.92110.495950.00000-0.541

17、4-0.4333-0.430651.000001.30521.58381.672852.00000-0.5414-0.07930.064753.000001.30520.92110.314154.00000-0.5414-0.4333-0.332355.000001.30521.58381.610356.00000-0.5414-0.07930.026757.000001.30520.92110.495958.00000-0.5414-0.4333-0.430659.000001.30521.58381.672860.00000-0.5414-0.07930.0647从上表看出，不同的c分别对

18、应了1，2，4，8个收敛点，如上所示。比较有趣的是c=0正好对应了整个混沌图形中间那一个黑点，该点严重偏移了整个图形，只要c有一个微小的变化，就会引起收敛点的突跃，所以c=0是不稳定的。l 接下来求分叉点，按照标准的方法，应该先接触迭代函数的不动点，然后求导，观察该不动点出的导数的绝对值是否小于1。但本题中的迭代函数qt+1=0.7qt+1.2c-arctan4.8qt难以求出解析解，而且导数十分复杂，进一步迭代下去的话，即使是用matlab求解也十分困难，而且可能会有较高的累积误差，故采用细化局部然后直接观察的方式。1）1.07,1.09之间作图，可以估计出右侧12分叉点为1.0827（最后一位估读）；.3-.2）0.945,0.955之间作图，可以估计出右侧2-4分叉点为0.9483；3）0.90,0.91之间作图，可以估计出右侧4-8分叉点为0.9068；4）0.89,0.90之间作图，可以估计出右侧8-16分叉点为0.8967；5）0.41,0.42 之间作图，可以估计出