第七章无穷级数

1、单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级11第七章 无穷级数第一节 数项级数第二节 幂级数第三节 傅立叶级数单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级22数项级数已知数列,21nuuu，则表示式nuuu21或1nnu， 称为无穷级数无穷级数，简称为级数级数。 nu称为级数的一般项一般项. 因为上式每一项都是常数，所以也叫常数项级数常数项级数，简称数项级数数项级数.单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级33级数的部分和无穷级数的前n项和nnuuuS21称为级数 的部分和部

2、分和，当n依次取, 3 , 2 , 1时，它们构成了一个新的 数列,21nSSS 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级44级数的收敛与发散若级数1nnu的部分和数列 nS有极限SSnnlim，则称级数收敛级数收敛， S称为级数的和，记作1nnuS。若 nS没有极限，则称级数发散级数发散。 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级55示 例讨论几何级数 的敛散性.12212121n12212121nnS1limnnS所给级数收敛，和为1nn21121121121单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样

3、式 第二级 第三级 第四级 第五级66示 例讨论几何级数 的敛散性.1) 1(1nnn)1 (1321211nnSn1113121211nn所给级数收敛，和为1111n1111limlimnSnnn单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级77示 例讨论调和级数 的敛散性.11nn11A观察图中阴影部分，可以看出 第一块矩形的面积 212A第二块矩形的面积 nAn1第 块矩形的面积 n单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级88示 例n131211所以阴影部分的总面积为 1ln111ndxxSnn显然大于与其对应

4、的曲边梯形的面积 )1ln(limlimnSnnn因此调和级数是发散的 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级99两个重要的级数单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级1010无穷级数的基本性质性质一 性质二 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级1111无穷级数的基本性质性质三 性质四 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级1212示 例判断级数 的敛散性.11nnn一定发散时1,0limnnnnuu011limnnn而

5、发散级数11nnn单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级1313示 例判断级数 的敛散性.15421nnn均收敛与级数nnnn115421收敛级数15421nnn单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级1414正项级数若0nu), 3 , 2 , 1(n，则称级数1nnu为正项级数正项级数. 正项级数1nnu收敛的充要条件是其部分和数列 nS有界. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级1515正项级数敛散性的判别法比较判别法 设级数1nnu和1nnv是正项级数，且

6、nnvu ), 3 , 2 , 1(n，则 （1）若1nnv收敛，则1nnu收敛； （2）若1nnu发散，则1nnv发散。 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级1616示 例判断级数 的敛散性.1213sinnnnnnnnn313113113sin2收敛又级数131nn收敛级数1213sinnnn单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级1717正项级数敛散性的判别法极限形式的比较判别法 设级数1nnu和1nnv是正项级数，若 )0(limllvunnn则级数1nnu与1nnv具有相同的敛散性。 单击此处编辑

7、母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级1818当0l时，若1nnv收敛，则1nnu收敛； 当l时，若1nnv发散，则1nnu发散。 正项级数敛散性的判别法单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级1919示 例判断级数 的敛散性.111nnn11lim111lim23nnnnnnn收敛又级数1231nn收敛级数111nnn单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2020正项级数敛散性的判别法比值判别法 设级数1nnu是正项级数，若nnnuu1lim，则 当1，则1nnu收敛； 当1

8、，则1nnu发散； 当1，则1nnu的敛散性不确定。 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2121示 例判断级数 的敛散性.1!nnnnnnnnnnnnnnnnnnuu1lim!) 1()!1(limlim111111lim1limennnnnnn收敛级数1!nnnn单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2222任意项级数敛散性的判别法若交错级数 满足条件)0() 1(11nnnnuu)0() 1(11nnnnuu0limnnu1uS 则该级数收敛，且其和 莱布尼茨定理单击此处编辑母版标题样式 单击此处编

9、辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2323示 例判断级数 的敛散性.111) 1(nnn111nn1nnuu收敛级数111) 1(nnn01limlimnunnn又单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2424若级数1nnu收敛，则级数1nnu必定收敛。 如果级数1nnu发散，不能说级数1nnu一定发散。 任意项级数敛散性的判别法单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2525示 例判断级数 的敛散性.nnnn3) 1(11nnnnnnnnuu331limlim111311lim31nnn收敛级数

10、1nnu所以由比值判别法判知 收敛级数nnnn3) 1(11单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2626绝对收敛与条件收敛设1nnu为任意项级数，若级数1nnu收敛，则称级数1nnu为绝对收敛； 若1nnu发散，而级数1nnu收敛，则称级数1nnu为条件收敛. 若级数1nnu与1nnv均绝对收敛，则)(1nnnvu 绝对收敛。 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2727示 例判断级数 是绝对收敛、条件收敛还是发散.)1ln(1) 1(11nnn)1ln(,0 xxx 时nnnn1)1ln(1),1ln

11、(发散又级数11nn发散级数1)1ln(1nn单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2828)2ln(1)1ln(1nn又0)1ln(1limlimnunnn示 例收敛级数)1ln(1) 1(11nnn条件收敛级数)1ln(1) 1(11nnn单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级2929第七章 无穷级数第一节 数项级数第二节 幂级数第三节 傅立叶级数单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级3030如果函数)(xun（, 2 , 1n）在自变量x的某区间上均有定义，

12、 则称1)(nnxu为函数项级数函数项级数。 函数项级数单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级3131对区间内任一给定的0 x就相应地有一个数项级数10)(nnxu， 若10)(nnxu收敛，则称0 x为函数项级数1)(nnxu的收敛点收敛点， 否则称为发散点发散点。 函数项级数的收敛所有收敛点的集合称为收敛域收敛域。对于收敛域上的每一个x，都有级数的一个和数s，s是x的函数， 称为函数项级数的和函数. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级3232形如nnxaxaxaa2210（其中,10naaa 均为常

13、数）的无穷级数，称为幂级幂级数数. 幂级数单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级3333如果幂级数0nnnxa不是仅在一点0 x收敛，也不 是在整个数轴上收敛，那么一定存在一个完全确定的正数 R，当Rx 时，幂级数绝对收敛；当Rx 时，幂级数 发散。 称为幂级数的收敛半径，此时幂级数的收敛域是以原点为中心，以 为半径的一个区间，此区间称之为收敛区间收敛区间.RR幂级数的收敛半径与收敛区间单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级3434对于幂级数0nnnxa，如果nnnaa1lim，则有 （1）若0，则1R；

14、（2）若0，则R； （3）若，则0R。 幂级数的收敛半径的判定单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级3535示 例求 的收敛半径.02nnnnxnnnaa1lim2121lim221lim1nnnnnnnn21R220Rnxnnn的收敛半径为幂级数单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级3636示 例求 的收敛区间.024nnnx024,nnnttx则幂级数变为令414141limlim11nnnnnnaa41R单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级3737)2 ,

15、 2(402的收敛区间为幂级数nnnx4 t42x2 x示 例单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级3838幂级数的运算性质性质一 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级3939性质二 幂级数的运算性质性质三 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级4040性质四 幂级数的运算性质单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级4141示 例0( )(1)nns xnx000( )(1)xxnns x dxnx dx求幂级数 在其收

16、敛区间 内的和函数，并求 的和.0(1)nnnx( 1,1)012nnn( )s x设级数的和函数为 ，则 逐项积分得 101nnxxx单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级4242两边求导得 201( )( )1(1)xxs xs x dxxx20111422112nnns示 例单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级4343函数展开为幂级数麦克劳林级数 若函数)(xf在点00 x的某邻域内具有任意阶导数，则称幂级数 ( )( )20(0)(0)(0)(0)(0)!2!nnnnnfffxffxxxnn为函数

17、)(xf的麦克劳林级数麦克劳林级数. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级4444若函数)(xf在点00 x的某邻域内有直至1n阶导数，则对 该邻域内的任意x，有麦克劳林公式 ( )2(0)(0)( )(0)(0)( )2!nnnfff xffxxxR xn其中1)1()!1()()(nnnxnfxR（介于0与x之间）称为麦克劳林公 式的拉格朗日余项。 定 理单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级4545定 理设函数)(xf在点00 x的某邻域内具有任意阶导数， 则)(xf的麦克劳林级数0)(!)0(nn

18、nxnf收敛于)(xf的充分 必要条件是0)(limxRnn。 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级4646注 意函数的麦克劳林级数是唯一的.函数的麦克劳林级数 把函数展开为麦克劳林级数求出函数的麦克劳林级数 不仅求出函数的麦克劳林级数，而且该级数收敛于函数本身 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级4747函数展开为麦克劳林级数的方法直接展开法 按公式计算幂级数的系数!)0()(nfn), 2 , 1 , 0(n，写出 )(xf的麦克劳林级数，并以此求出幂级数的收敛半径R； 当),(RRx时，还要验证0

19、)(limxRnn. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级4848示 例( )( )(1,2,3,)nxfxen( )(0)1 (1,2,3,)nfn将函数 展开为 的幂级数.( )xf xex(0)1f又单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级4949( )2(0)(0)(0)(0)2!nnffffxxxn2311112!3!nxxxxn 示 例它的收敛区间为),(，在收敛区间),(上0)(limxRnn， 故所得级数收敛于xe，即 231111(,)2!3!xnexxxxxn ，单击此处编辑母版标题样式

20、 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级5050函数展开为麦克劳林级数的方法间接展开法 从已知函数的幂级数展开式出发，通过变量替换、四则运算，或逐项求导、逐项积分等方法求出未知函数的展开式 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级5151示 例01( 1)1nnnxx01ln(1)1xxdxx将函数 展开为 的幂级数.( )ln(1)f xxx1000( 1)( 1)1nxnnnnnxx dxn312411ln(1)( 1)( 1,1)2341nnxxxxxxn 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四

21、级 第五级5252示 例2201( 1)1nnnxx201arctan1xxx将函数 展开为 的幂级数.( )arctanf xxxx212000( 1)( 1)21nnxnnnnxxn212200( 1)( 1)arctan2121nnnnnnxxxxxnn单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级5353第七章 无穷级数第一节 数项级数第二节 幂级数第三节 傅立叶级数单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级5454形如10sincos2nnnnxbnxaa的级数为三角级数三角级数， 其中), 3 , 2 ,

22、1(,0nbaann都是常数。 三角级数单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级5555三角函数族1,cos ,sin ,cos2 ,sin2 ,cos,sin,xxxxnxnx单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级5656三角函数族的正交性0,sinsin,0mnmxnxdxmnsincos0mxnxdx0,coscos,0mnmxnxdxmn单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级5757函数的傅立叶级数假设)(xf是以2为周期的周期函数，且可展开为三角级数： 0

23、1( )cossin2kkkaf xakxbkx则1( )cosnaf xnxdx1( )sinnbf xnxdx(1,2,3,)n 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级5858nnba ,称为)(xf的傅立叶系数，三角级数 01cossin2nnnaanxbnx函数的傅立叶级数称为)(xf的傅立叶级数。 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级5959傅立叶级数的敛散性如果)(xf是以2为周期的周期函数，并且在区间,上是 分段光滑的，则傅立叶级数在区间,上收敛，且 当x是 xf的连续点时，级数收敛于 xf

24、 当x是 xf的间断点时，级数收敛于)0()0(21xfxf 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级6060示 例设 是周期为 的函数，它在 上的表达式为 ，将 展开成傅立叶级数( )f x2, ) ,0( )0, 0 xxf xx( )f x单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级616100211 122xdxx 01( )af x dx011( )coscosnaf xnxdxxnxdx01(sin)xdnxn示 例先计算傅立叶系数 001sinsinxnxnxdxn00211 11sincos1 ( 1)nnxdxnxnnnn 单击此处编辑母版标题样式 单击此