19-20版第2章2.5第2课时等比数列前n项和的性质及应用

1、第2课时等比数列前n项和的性质及应用学习目标核心素养1 .掌握等比数列前n项和的性质 的应用（重点）.2 .掌握等差数列与等比数列的综 合应用（重点）.3 .能用分组转化方法求数列的和 （重点、易错点）.1 .通过等比数列前n项和公式的函数特 征的学习，体现了逻辑推理素养.2 .借助等比数列前n项和性质的应用及 分组求和，培养学生的数学运算素养.自主预习。假新加zizf 11 jyt xi r-Aixir<ZHi口新知初探I1.等比数列前n项和的变式ai 1 qn）当公比qwl时，等比数列的前n项和公式是Sn = -,它可以变形1 q为&=-苣qn+言,设A=之,上式可写成&am

2、p;二Aqn + A.由此可见， 非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构 成的，而指数式的系数与常数项互为相反数.当公比q=1时，因为aiw0,所以Sn= na1是n的正比例函数（常数项为0的一次函数）.思考：在数列an中，an+1 = can（c为非零常数）且前n项和Sn = 3 + k,则 实数k的取值是什么？提示由题an是等比数列，3n的系数与常数项互为相反数，而3n的系数为:；k= 一! 332.等比数列前n项和的性质性质一：若Sn表示数列an的前n项和，且Sn = Aqn A（Aqw0, qw±1）, 则数列an是笠比数列.性质二：若数列an

3、是公比为q的等比数列，则I在等比数列中，若项数为2n(nCN),则3=q. SffSn, S2n-Sh, S3n-S2n成等比数列.思考：在等比数列an中，若ai + a2 = 20, a3+a4 = 40,如何求S6的值？提示S2 = 20, S4S2=40, a S6-S4=80, . S6= S4+80= S2+40+80 = 140.初试身玉.1 .设数列an是首项为1,公比为一2的等比数列，则ai+|a2|+a3+同|=15法一:ai+|a2|+a3+|a4|=1+|ix( 2)|+1 x (2)2+|1 X (2)1一(2)当 n=1 时，S1 = -a1 + -,所以 a1 =

4、1. 3| =15.法二：因为a1+|a2|+a3+|a4|=削十|a2|+困+忸4|,数列|an|是首项为1,公比为2的等比数列，故所求代数式的值为1-241-215.n= 14.2 .已知数列an为等比数列，且前n项和S3 = 3,S6=27,则公比q=:q3=S6 S3 27-3S3 =38,所以 q = 2.当n>2时,an=Sn _ Sn 1=3.+3一3ah 1+32 1 .3 .右数列an的刖n项和Sn = wan + a，则an的通项公式是an=.332an_3(anan-1), 所1 以 an 2an1, 即a " 2,所以an是以1为首项的等比数列，其公比为

5、一2, 所以 an=1x( 2厂1,即 an=(2厂1.4.在正项等比数列an中，已知 a1a2a3 = 4, a4a5a6= 12, an1 anan+1 = 324, 则 n =.14 设数列an的公比为 q,由 a1a2a3 = 4 = a3q3与 a4a5a6= 12=a3q12,可得 q9=3, an1anan+1 = a3q3n 3 = 324,因此 q3n 6=81 = 34=q36,所以 3n 6 = 36,即合作探究®提素养 IFM|U "81.丫 ANG等比数列前n项和公式 的函数特征应用”型【例1】 已知数列an的前n项和Sn=an1(a是不为零且不等

6、于1的常数),则数列an()A. 一定是等差数列B. 一定是等比数列C,是等差数列或等比数列D,既非等差数列，也非等比数列B 当n>2时，an= Sn& i = (a-1) an 1 ；当n=1时，a1 = a1,满足上式.an= (a -1) an 1, n C N*.an+1,= a,an'数列an是等比数列.知律方法51, n = 1,1 .已知&通过an= S S n>2求通项an,应特别注意n2时，an =Sn Si 1.2,若数列an的前n项和Sn=A(qn1),其中A*0, q*0且q*1,则an是等比数列.I1。跟踪训练.1 .若an是等比数

7、列，且前n项和为Sn = 3n1 + t,则1=.7 显然 q * 1,3此时应有Sn = A(qn1),一一 1c又 Sn=& 3 +1,313.类M2等比数列前n项和性质的应用J.探究问题1.在等差数列中，我们知道Sm, S2m-Sm, S3m-S2m,仍组成等差数列.在 等比数列an中，若连续m项的和不等于0,那么Sm, S2m-Sm, S3mS2m,仍 组成等比数列吗？为什么？提示Sm, S2m Sm, S3mS2m,仍组成等比数列.在等比数列an中有am+n=amqn, Sm ai + a2+ + am,S2m Sm= am+i + am+2 + + a2m= aiqm+ a

8、2qm + + amqm = (ai + a2 + + am)qm= Sm - qm.同理 S3m S2m = Sm q2m,，在SmW0时，Sm, S2m-Sm, S3m - S2m ,仍组成等比数列.2.若数列an为项数为偶数的等比数列，且S奇=角+ 23+25+，S偶=S禺+ a4+a6+，那么;等于何值？,一S(禺 ST ' q提示由等比数列的通项公式可知 三=七= q. SffSff【例2】(1)等比数列an的前n项和为Sn, & = 7, &=91,则&为()A. 28 B. 32C. 21 D. 28或21(2)等比数列an中，公比 q = 3,

9、S80= 32，贝U a2+ a4 + a6+ + a80=.思路探究：(1)由S4-S2, S3S4成等比数列求解.一，一 S利用S =q,及S2n= S奇+ S偶求斛.A (2)24 (1)-an为等比数列，.S2, S4-S2, S6S4也为等比数列，即7, S4-7, 91 S4成等比数列，.(& 7)2=7(91 S4),解得 S4=28 或 S4= 21.; S4= a1 + a2+a3+a4=a+ a2 + a1q2+ a2q2= (a1 + a2)(1 +q2) = S2(1 + q2)>&, . .S4=28.(2)设 Si = a2 + a4+a6+

10、+ a80,S2=ai+ a3+a5+ + a79.则至=q= 3,即 Si= 3S2.S2八4一又 Si + S2=S80=32,.3Si = 32,解得 Si = 24.即 a2 + a4+ a6+ + a80=24.以题探究1.(变条件)将例题(1)中的条件" & = 7, S6=91”改为“正数等比数列中 & =2, S3n=14” 求 84n 的值.解设&n = x, S4n=y,则2, x-2, 14-x, y-14成等比数列，所以 (x-2) 2 = 2 (14-x),所以x = 6, y= 30(14-x) 2= (x- 2) (y-14),x

11、 4,y=-40 (舍去),所以 84n=30.2.(变条件，变结论)将例题(2)中的条件“ q = 3, 880=32”变为“项数为偶一， ，1.,1.数的等比数列，它的偶数项之和是奇数项之和的2,又它的首项为2,且中间两项一 .3的和为高求此等比数列的项数.128解设等比数列为an,项数为2n, 一个项数为2n的等比数列中,=8q.则 q=2，一 _ _3»3又 an和 an+1 为中可两项则 an+an+1=a，即 a1q + a1q =128128p 11又 a1 = 2，q = 2，.1 1n 1 1 1 n_ 31 1 n 1132 2+2 2 =128? 2 2.1 +

12、2 = 128? n = 6.项数为2n=12.则此等比数列的项数为12.抑件方法1 .在涉及奇数项和S奇与偶数项和S偶时，常考虑其差或比进行简化运算.若SSt ai项数为2n,则T=q(S奇才0)；若项数为2n+1,则飞一 = q(S偶*0).S?Sf 禺2 .等比数列前n项和为Sn(且SnW0),则Sn, S2n-Sn, S3nS2n仍成等比数 列，其公比为qn(qw 1).型 3/分组求和法【例3】已知数列an构成一个新数列：ai, (a2ai),，(an- an i),，一，一、，、，1,一，此数列是首项为1,公比为1的等比数歹I.3(1)求数列an的通项公式;(2)求数列an的前n项

13、和Sn.思路探究：通过观察，不难发现，新数列的前n项和恰为an,这样即可将问，八1 一题转化为首项为1,公比为1的等比数3列的前n项和，数列an的通项公式求出后，计算其前n项和Sn就容易多了.角单(1)an=a1+ (a2 a1)+(a3a2)+ + (an an 1)2n-1=1 + 3+ 3 + 3=3一2(2)Sn = a1 + a2+ a3 + + an= 31*3122 1 3 十2 1 33+ 2n 133= 2n4 1-3 n =3(21) + 433知律力怙分组转化求和法的应用条件和解题步骤(1)应用条件一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加

14、组成.解题步骤分析逋事公式就时量项公式适当变形，分可求和数列相加的揣丈JI(分即时分蛆后的敝列求前n版和X(相加存原鼠列的前年翼和：1)与指数函数相联系.ai整体思想：应用等比数列前n项和公式时，常把qn,-当成整体求解.1 q当堂达标分巴基1 .判断正误(1)等比数列an共2n项，其中奇数项的和为240,偶数项的和为120,则该等比数列的公比q=2.()(2)已知等比数列an的前n项和& = a 3n1 1,则a=1.()(3)若数列an为等比数列，则 a1 + a2, a3 + a4, a5 + a6也成等比数列.()(4)若Sn为等比数列的前n项和，则S3, S3, S9成等比数

15、列.()答案(1)X (2)X (3)X (4)XSffl120 11提小(1)£=q=240= 2； (2)由等比数列刖n项和的特点知3a= 1得a = 3;(4)由S3, S6-S3, S3 S6成等比数列知(4)错误.2 .设等比数列an的前n项和为Sn,若S10 : S5=1 : 2,则S15 ： &=()A. 3 ： 4B. 2 ： 3C. 1 ： 2D. 1 ： 3A 在等比数列an中，S5,S10-S5,S15-S10,成等比数列，因为S10：3S5= 1 ： 2,所以 S5 = 2S1。，S15=4S5,得 S15 ： S5=3 ： 4,故选 A.3. (20

16、18全国卷I )记Sn为数列an的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=63 法一：因为 Sn=2an+1,所以当 n=1 时，a1 = 2a1 + 1,解得 a1 = 1;当 n=2 时，a1+a2 = 2a2+1,解得 a2= 2；当 n=3 时，a1+a2 + a3=2a3+1,解得 a3= 4；当 n=4 时，a1+a2 + a3+a4=2a4+1,解得 a4= 8;当 n=5 时，a1+a2 + a3+a4+a5 = 2a5+1,解得 a5=16;当 n=6 时，a1+a2 + a3+a4+a5+a6=2a6+1, 解得 a6= 32.所以 S6= 1 24816 32= 63.法二

17、:因为& = 2an+1,所以当 n=1 时，a1 = 2a1+1,解得 a1 = 1当 n2 时，an= SnSn-1 = 2an+ 1 （2an-1 + 1）,所以 an=2an-1,所以数列 an是以一1为首项，2为公比的等比数列，所以an = 2n 1,所以& = -1X （1-26）一口一=-63.4.设等比数列an的前n项和为Sn,已知S4=2, S8=6,求a17+a18+a19 + a20的化解由等比数列前n项和的性质，可知S4, S8-S4, S12-S8,，S4nS4n 4,成等比数列.S8-S4由题意可知上面数列的首项为 S4=2,公比为一一= 2,S4故

18、 S4n S4n 4= 2n（n > 2）,所以 a7+ a8+a19+a20=S20S16=25=32.课时分层作业（十六）等比数列前n项和的性质及应用（建议用时：60分钟）基础达标练、选择题1 .等比数列an的前n项和为Sn,且4a1，2a2, a3成等差数列.若a1 = 1, 则S4等于（）A. 7B. 8C. 15D. 16C 由题意得 4a2 = 4aI + a3,4（aq） = 4a+a1 q2,-1 （124）. q = 2，.&= 15.1 22 .已知等比数列an的前3项和为1,前6项和为9,则它的公比q等于（）1A. 2 B. 1C. 2 D. 4C S3=1

19、, Ss=9,. SsS3 = 8 = a4+a5+a6 = q3（S3）= q3, .q3=8,q = 2.3.在等比数列an中，已知a1 = 3, an = 48, & = 93,则n的值为（）A. 4B. 5C.a1anq显然q，由得 93= 丁8q,解得 q = 2. 一 qD. 7解得n = 5.由 an = aiqn 1,得 48 = 3X2n 1,故选B.4,设数列Xn湎足 lOg2Xn+1 = 1+lOg2Xn(n C N ),且 X1 + X2 + + X10= 10 ,记Xn的前n项和为Sn,则S20等于（）B. 1 024A. 1 025C. 10 250D. 2

20、0 240C . lOg2Xn+1= 1 + lOg2Xn= lOg2（2Xn） , .,.Xn+1= 2Xn,且 Xn>0 ,Xn为等比 数列，且公比q = 2,S20= S10+ q10S10= 10 + 210X 10= 10 250,故选C.5.已知等比数列an的首项为8, 3是其前n项的和，某同学经计算得 Si =8, S2=20,与=36, S4=65,后来该同学发现其中一个数算错了 ,则该数为（）A. S1B. S2C. S3D. S4C 由题知S1正确.若 S4错误，则 S2, S3正确，于是 a1 = 8, a2=& S1=12, a3=S3 S2=16, 与a

21、n为等比数列矛盾，故S4=65.3右 S3错块,则 S2 正确，止匕时，a1 = 8, a2=12,得 q=2, a3=18, a4= 27,S4=65,满足题设,故选C.二、填空题6 .在数列an中，an+1 = can（c为非零常数）,且前n项和为Sn = 3n + k,则实 数 k=.-1 由an+ 1 = can知数列an为等比数列.又.Sn = 3n+k,由等比数列前n项和的特点知k= - 1.7 .等比数列an共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的 3倍，则公2 设an的公比为q,则奇数项也构成等比数列，其公比为q2,首项为a1,S2n =ai (1q2n)S奇=1 -q ，a

22、11 - (q2) n由题意得1-q2.a1 (1 q2n)3a1 (1 q2n)1-q1-q2 q = 218.数列11103, 1 00510 007,白前n项和Sn=10-9-(10n- 1)+n2 数列的通项公式 an=10n+(2n1).9所以 Sn=(10+ 1)+(102+3)+ (10n+ 2n 1) = (10+102+ 10n)+1 +10 (1-10n)3+ + (2n- 1) = 0十n (1 + 2n-1)10c=嗷10n- 1)+n2. 9三、解答题9.在等比数列an中，已知S30=13Si0, S10+S30=140,求S20的值.解.S30W 3s10S30=1

23、3S10, 由S10+ S30=140S10=10, 得S30= 130,a (1 q10)1-qa1 (1-q30)1-q10,= 130, q20+q1012=0, q10=3, a1 (1 q20)10. S20=3q= Sio(1 + q10) = 10X (1 + 3) = 40.10.在等差数列an中，a2=4, a4 + a7=15.(1)求数列an的通项公式;设 bn=2an2+n,求 b1+b2+b3+-+ b10的值.解(1)设等差数列an的公差为d.a1 + d = 4,由已知得(a1+3d) + (a + 6d) =15,解得ai = 3, d=1.所以 an = ai

24、 + (n1)d=n+2.(2)由(1)可得 bn=2n+n,所以 bi + b2+b3+ + bi0=(2+ 1)+(2 + 2)+(23+3)+ + (210+ 10) =(2 + 22 + 23+210)+(1 + 2+3+ - +10)2 (1210)=1-2+(1+10) X10K211 2) + 55=211 + 53=2 101.能力提升练1.在各项都为正数的数列an中，首项a1 = 2,且点（aW, a2-1）在直线x 9y=0上，则数列an的前n项和Sn等于（）A. 3n1B.1 (3) n2C.1 + 3nD.3n2 + nA 由点(an, an-1)在直线 x9y= 0

25、上，得 an9an-1=0,即(an+3an1)(an 3an-1) = 0,又数列an各项均为正数，且 a1 = 2,an+ 3an 1 >0,an 3an2X (3n1)3-13n1.1 = 0,即=3, .数列an是首项a1 = 2,公比q=3的等比数列，其前n项和 an 1a1 (1 qn)Sn=d1-q._ ,S1 + S2 + + Sn 2 .设数列an的刖n项和为Sn,称Tn=n 为数列a1，a2,a3,an的“理想数”，已知数列a1, a2, a3, a4, a5的理想数为2 014,则数列2, a1, a2,，a5的“理想数”为（）C.5 035D.5 0413因为数列a1, a2,，a5的“理想数为2 014,所以S1 + S2+S3+S4+S5=2 014,即 S1 + S2+S3+S4+S5=5X2 014,所以数列 2, a1，a2,，a5 的”理用数”为2+(2+2) + ( 2+S2) + +(2+S5)心66X2 + 5X2 014 5 041=6= 3 .3 .设数列1, (1 + 2),，(1+2 + 22+2n1),的前n项和为S