导数与三角函数的结合

1、导数与三角函数的结合-CAL-FENGHAL-(YICAI)-Company One 1一导数与三角函数的结合1.（导数与三角函数结合）已知函数/（x） = 4d-3x2cose +工，其中xeR 0为参数，且（1）当cos6 = 0时，判断函数/0）是否有极值；（2）要使函数/（%）的极小值大于零，求参数。的取值范围；（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数函数在区间（2a-l,a） 内都是增函数，求实数a的取值范围.【分析】定义域。上的可导函数/（%）在点处取得极值的充要条件是/'（x（） = 0,且/'（x）在与两侧异号.【解析】（1）当cos8 = 0 时，f（x）

2、 = 4x5 +,则/（r） = 12/2 0,函数/（x）在（一 8, 4-00）内是增函数，故无极值.（2） /'（X）= 12-6Kcos6,令/ '（x） = 0,得=0,勺=由。<夕4及（1），只考虑cos8>0的情况.当x变化时，/'W的符号及/（%）的变化情况如下表:X(°°, 0)0（。,啜cos 62,cos6、(-，+ 8)r（x）+00+fM/极大值极小值/因此，函数在工=心处取得极小值/（"）,且r/cos0. 1 3clf （） = - cos 6 H2432要使必有；cos3e+5>0,可得Ov

3、cosec；,所以（3）由（2）知，函数/（x）在区间（-8, 0）与（胃,+ 8）内都是增函数.2。一 1 < a1 ,2a-1 > cos。2a-<a八 或 a<0由题设，函数/（X）在（2a La）内都是增函数，则a需满足不等式组2由渗数匹李时，0<cos.<l,要使不等式2,1关于参数。恒成立,必有2,1弓.综上，解得a0或，所以a的取值范围是(-8,。 U 1).882.已知函数/(x) = axsinx去a£R),且在0,堂上的最大值为彳上(1)求函数Hx)的解析式；(2)判断函数f(x)在(0,爪)内的零点个数，并加以证明.【思路点拨

4、】(1)分a=0. a<0和a>0三种情况求函数/(x)的最大值；(2)先用零点存在性定理判断有无零点，再根据函数的单调性判断零点的个数.【规范解答】(1)由已知得，(x)=a(sin x+xcos x),对于任意x£(0, % 有sin x+xcos x>0.当。=。时，HM=-2，不合题意.当a<0, xe(0,3时，f(x)<0,从而在(o,3内单调递减.又在9,争上的图象是连续不断的，故以在【。，会上的最大值为加)=*,不合 题意；当GO, xe(0,今时，f(x)>0,从而在(0,3内单调递增，又在9,手上的图象 是连续不断的，故刎在。，

5、刍上的最大值为崎，即,一：=写解得a=i.综上所述，函数/(X)的解析式/(x)=xsinx一(26M在(。，n)内有且只有两个零点.证明如下：由(1)知，/(x)=xsinx-：,从而有加)=一孤，心=上U>°又HM在【。，号上的图象是连续不断的，所以在(0,今内至少存在一个零点.又由知在9,自上单调递增，故刎在(。，内有且仅有一个零点.当 x£ 尊 n时，令 g(x)=/(x)=sin x+xcos x.由靖)=i>o，g(m=f <。，且g(x)在日旬上的图象是连续不断的，故存在mwg, n),使得 g(m)=o.由 g") = 2cosx-xsinx,知 x(全 n)时，有 (")<。，从而g(x)在g, rx)内单调递减.当xW百 m)时，g(x)>g(m)=O,即/(x)>0,从而f(x)在臣m)内单调递增，故当x£殍m时，f(x)训5)=?-0,故於)在殍m上无零点；当 x£(m, n)时，有 g(x)<g(m)=O,即7r(x)<0,从而/(x)在(m, n)内单调递减.又f(m)&