考研数学考前必备重点内容题型函数与极限

1、第一章函数与极限教学目的：1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4、掌握基本初等函数的性质及其图形。5、理解极限的概念， 理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。6、掌握极限的性质及四则运算法则。7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。10、了

2、解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。教学重点：1、复合函数及分段函数的概念；2、基本初等函数的性质及其图形；3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、两个重要极限；5、无穷小及无穷小的比较；6、函数连续性及初等函数的连续性；7、区间上连续函数的性质。教学难点：1、分段函数的建立与性质；2、左极限与右极限概念及应用；3、极限存在的两个准则的应用；4、间断点及其分类；5、闭区间上连续函数性质的应用。§1. 1映射与函数一、集合1. 集合概念集合 (简称集 ): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体.

3、用 A, B, C.等表示 .1 / 8元素 : 组成集合的事物称为集合的元素. a 是集合 M 的元素表示为 a M.集合的表示 :列举法 : 把集合的全体元素一一列举出来 .例如 A a, b, c, d, e, f, g.描述法 : 若集合 M 是由元素具有某种性质P 的元素 x 的全体所组成 , 则 M可表示为, a ,A a , a ,1 2nM x | x 具有性质 P .例如 M ( x, y)| x, y 为实数 , x2 y2 1.几个数集 :N 表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集 .N 0, 1, 2, n,. N1, 2, n,.R 表示所有实数构成的集合, 称为实

4、数集 .Z 表示所有整数构成的集合, 称为整数集 .Z ,n,2,1, 0, 1, 2, n,.Q 表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集 .pQ| pZ ,qN且 p与q互质 q子集 : 若 x A, 则必有 x B, 则称 A 是 B 的子集 , 记为 AB(读作 A 包含于B)或 BA.如果集合 A与集合 B互为子集,AB且BA, 则称集合 A与集合 B相等, 记作A B.若A B且A B, 则称 A是B的真子集, 记作AB. 例如,NZQR.不含任何元素的集合称为空集, 记作. 规定空集是任何集合的子集.2. 集合的运算设 A、B 是两个集合 , 由所有属于 A 或者属于 B 的元素

5、组成的集合称为 A 与 B 的并集(简称并 ), 记作 A B, 即A B x|x A 或 x B.设 A、B 是两个集合 , 由所有既属于 A 又属于 B 的元素组成的集合称为 A 与 B 的交集(简称交 ), 记作 A B, 即A B x|x A 且 x B.设 A、B 是两个集合 , 由所有属于 A 而不属于 B 的元素组成的集合称为 A 与 B 的差集(简称差 ), 记作 A B, 即A B x|x A 且 x B.如果我们研究某个问题限定在一个大的集合 I 中进行 , 所研究的其他集合 A都是 I 的子集 . 此时 , 我们称集合 I 为全集或基本集 . 称 IA 为 A 的余集或补

6、集 , 记作 AC.集合运算的法则 :设 A、 B、 C 为任意三个集合 , 则(1)交换律 A B B A,A B B A;(2)结合律 (A B) C A (B C), (A B) C A (B C);(3)分配律(AB)C (AC)(BC), (AB)C (AC)(BC);(4)对偶律(AB)C ACBC, (AB)C ACBC.2 / 8(AB)C ACBC 的证明 :x (AB)Cx ABxA 且x BxA C 且x BCx ACBC, 所以(AB)C ACBC.直积 (笛卡儿乘积 ):设 A、 B 是任意两个集合 , 在集合 A 中任意取一个元素 x, 在集合 B 中任意取一个元素

7、 y, 组成一个有序对 (x, y), 把这样的有序对作为新元素 , 它们全体组成的集合称为集合 A 与集合 B 的直积 , 记为 A B, 即A B ( x, y)|xA 且 yB.例如 , R R ( x, y)| xR 且 y R 即为 xOy 面上全体点的集合 , R R 常记作R2 .3. 区间和邻域有限区间 :设 a<b, 称数集 x|a<x<b 为开区间 , 记为 (a, b), 即(a, b) x|a<x<b.类似地有a, b x | ax b 称为闭区间 ,a, b) x | a x<b 、(a, b x | a<x b 称为半开区间

8、 .其中 a 和 b 称为区间 (a, b)、 a, b、a, b)、 (a, b的端点 , b a 称为区间的长度 .无限区间 :a,) x | a x , (, b x | x < b , (,) x | | x | <.区间在数轴上的表示 :邻域 : 以点 a 为中心的任何开区间称为点a 的邻域 , 记作 U(a).设 是一正数 , 则称开区间 (a, a)为点 a 的 邻域 , 记作 U(a,), 即U(a,) x | a< x < a x | | x a|< .其中点 a 称为邻域的中心 ,称为邻域的半径 .去心邻域 U (a,):U (a,) x |0

9、<| x a |< 二、映射1. 映射的概念定义 设 X、Y 是两个非空集合 , 如果存在一个法则 f, 使得对 X 中每个元素 x, 按法则 f, 在 Y 中有唯一确定的元素 y 与之对应 , 则称 f 为从 X 到 Y 的映射 , 记作f : XY ,其中 y 称为元素 x(在映射 f 下)的像 , 并记作 f(x), 即y f(x),而元素 x 称为元素 y(在映射 f 下)的一个原像 ; 集合 X 称为映射 f 的定义域 , 记作 D f, 即D f X ;3 / 8X 中所有元素的像所组成的集合称为映射f 的值域 , 记为 R f, 或 f(X), 即R f f(X) f

10、(x)|xX.需要注意的问题 :(1)构成一个映射必须具备以下三个要素: 集合 X, 即定义域D f X; 集合 Y,即值域的范围 : R fY; 对应法则 f, 使对每个 xX, 有唯一确定的 y f(x)与之对应 .(2)对每个 x X, 元素 x 的像 y 是唯一的 ; 而对每个 yR f, 元素 y 的原像不一定是唯一的 ; 映射 f 的值域 R f 是 Y 的一个子集 , 即 R fY, 不一定 R f Y .例 1 设 f : RR, 对每个 x R, f(x) x2 .显然 , f 是一个映射 , f 的定义域 D f R, 值域 R f y|y 0, 它是 R 的一个真子集 .

11、 对于 R f 中的元素 y, 除 y 0 外, 它的原像不是唯一的 . 如 y 4 的原像就有 x 2 和 x 2 两个 .例 2 设 X ( x, y)|x2 y2 1, Y ( x, 0)|x| 1, f : XY, 对每个 (x, y)X, 有唯一确定的 (x, 0)Y 与之对应 .显然 f 是一个映射 , f 的定义域 D f X, 值域 R fY. 在几何上 , 这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x 轴的区间 1, 1上.(3) f : , 22 1, 1, 对每个 x, , f(x) sin x .22f 是一个映射 , 定义域 D f , , 值域 R f

12、 1, 1.22满射、单射和双射 :设 f 是从集合 X 到集合 Y 的映射 , 若 R fY, 即 Y 中任一元素 y 都是 X 中某元素的像 , 则称 f 为 X 到 Y 上的映射或满射 ;若对 X 中任意两个不同元素 x 12它们的像 f(x 12x ,) f(x ), 则称 f 为 X 到 Y 的单射 ; 若映射 f 既是单射 , 又是满射 , 则称 f 为一一映射 (或双射 ).上述三例各是什么映射？2. 逆映射与复合映射设 f 是 X 到 Y 的单射 , 则由定义 , 对每个 y R f , 有唯一的 x X, 适合 f(x) y, 于是 , 我们可定义一个从 R f 到 X 的新

13、映射 g, 即g : R fX,对每个 y R f , 规定 g(y) x, 这 x 满足 f(x) y. 这个映射 g 称为 f 的逆映射 , 记作 f 1, 其定义域 D f 1 R f , 值域 Rf 1 X .按上述定义 , 只有单射才存在逆映射. 上述三例中哪个映射存在逆映射？设有两个映射其中 Y1g : X Y 1, f : Y 2 Z,Y 2. 则由映射 g 和 f 可以定出一个从 X 到 Z 的对应法则 , 它将每个 x X映射成 fg(x) Z . 显然 , 这个对应法则确定了一个从X 到 Z 的映射 , 这个映射称为映射 g 和 f 构成的复合映射 , 记作 f o g,

14、即f o g: XZ,(f o g)(x)fg(x), x X .应注意的问题 :映射 g 和 f 构成复合映射的条件是 : g 的值域 R g 必须包含在 f 的定义域内 , Rg D f . 否则 , 不能构成复合映射 . 由此可以知道 , 映射 g 和 f 的复合是有顺序的 , f o g 有意义并不表示 g o f 也有意义 . 即使 f o g 与 g o f 都有意义 , 复映射 f o g 与 g4 / 8o f 也未必相同 .例 4 设有映射 g : R 1, 1,对每个 xR, g(x) sin x,映射 f : 1, 1 0, 1, 对每个 u 1, 1,f (u) 1u

15、2 .则映射 g 和 f 构成复映射 f o g: R0, 1,对每个 xR, 有( f g)( x) f g( x)f ( s i xn)2|c o xs|.1 s i n x三、函数1. 函数概念定义 设数集 DR, 则称映射 f : DR 为定义在 D 上的函数 , 通常简记为y f(x), xD,其中 x 称为自变量 , y 称为因变量 , D 称为定义域 , 记作 D f, 即 D f D.应注意的问题 :记号 f 和 f(x)的含义是有区别的 , 前者表示自变量x 和因变量 y 之间的对应法则 , 而后者表示与自变量 x 对应的函数值 . 但为了叙述方便 , 习惯上常用记号 “ f

16、(x), x D”或“ y=f(x), x D”来表示定义在 D 上的函数 , 这时应理解为由它所确定的函数 f .函数符号 : 函数 y f(x)中表示对应关系的记号 f 也可改用其它字母 , 例如“F”, “ ”等 . 此时函数就记作 y (x), y F(x).函数的两要素 :函数是从实数集到实数集的映射 , 其值域总在 R 内 , 因此构成函数的要素是定义域 D f 及对应法则 f . 如果两个函数的定义域相同 , 对应法则也相同 , 那么这两个函数就是相同的 , 否则就是不同的 .函数的定义域 :函数的定义域通常按以下两种情形来确定: 一种是对有实际背景的函数 , 根据实际背景中变量

17、的实际意义确定 .求定义域举例 :1x2 4 的定义域 .求函数 yx且 x2要使函数有意义 , 必须 x 0,40.解不等式得 | x | 2.所以函数的定义域为 D x | | x |2, 或D(, 2 2,).单值函数与多值函数 :在函数的定义中，对每个 xD, 对应的函数值 y 总是唯一的 , 这样定义的函数称为单值函数 . 如果给定一个对应法则 ,按这个法则 , 对每个 x D, 总有确定的 y 值与之对应 , 但这个 y 不总是唯一的 ,我们称这种法则确定了一个多值函数 .例如 , 设变量 x 和 y 之间的对应法则由方程x2 y2 r 2 给出 . 显然 , 对每个 x r,r，

18、由方程 x2 y2r2,可确定出对应的 y 值 , 当 xr 或 xr 时, 对应 y 0 一个值 ; 当x 取 ( r, r)内任一个值时 , 对应的 y 有两个值 . 所以这方程确定了一个多值函数.对于多值函数 , 往往只要附加一些条件 , 就可以将它化为单值函数 , 这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支 . 例如 , 在由方程 x2 y2 r2 给出的对应法则中 , 附加“ y 0”的条件 , 即以“ x2 y2 r 2 且 y 0”作为对应法则 , 就可得到一5 / 8个单值分支22;附加“”的条件, 即以“ x2y2r2且 y 0”作为y y1 ( x) rxy 0对应法则 ,就

19、可得到另一个单值分支y y2 (x)r 2x2 .表示函数的主要方法有三种 : 表格法、图形法、解析法 (公式法 ), 这在中学里大家已经熟悉 . 其中 , 用图形法表示函数是基于函数图形的概念 , 即坐标平面上的点集P(x, y)|y f(x), xD称为函数 y f(x), xD 的图形 . 图中的 R f 表示函数 yf(x)的值域 .函数的例子 :例. 函数xx0y|x|xx0 .称为绝对值函数 . 其定义域为 D ( ,), 值域为 R f0, ).1x0例. 函数 y sgnx0 x0 .1 x0称为符号函数 . 其定义域为 D (,), 值域为 R f 1, 0, 1.例设 x

20、为任上实数 . 不超过 x 的最大整数称为 x 的整数部分 , 记作 x .函数y x 称为取整函数 . 其定义域为 D (,), 值域为 R f Z .50, 2 1, 3, 11, 3.54.7分段函数 :在自变量的不同变化范围中 , 对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数 .例。 函数 y2x0x 1.1xx1这是一个分段函数 , 其定义域为 D 0, 1 (0, ) 0, ).当 0 x 1 时 ,y2x ;当 x>1 时 , y 1 x.11; f (1) 2 1 2 ; f(3) 1 3 4.例如 f ( ) 222 22. 函数的几种特性(1)函数的有界性设函数f(x)

21、的定义域为D, 数集 XD. 如果存在数K1, 使对任一xX, 有f(x) K1, 则称函数 f(x)在 X 上有上界 , 而称 K 1 为函数 f(x)在 X 上的一个上界 . 图形特点是 y f(x)的图形在直线 y K1 的下方 .如果存在数 K2, 使对任一 x X, 有 f(x)K2, 则称函数 f(x)在 X 上有下界 , 而称 K2 为函数 f(x)在 X 上的一个下界 . 图形特点是 , 函数 y f(x)的图形在直线 y K2 的上方 .6 / 8如果存在正数 M, 使对任一 xX, 有 | f(x) | M, 则称函数 f(x)在 X 上有界 ; 如果这样的 M 不存在 ,

22、 则称函数 f(x)在 X 上无界 . 图形特点是 , 函数 y f(x)的图形在直线 yM 和 yM 的之间 .函数 f(x)无界 , 就是说对任何 M, 总存在 x1X, 使| f(x) | > M.例如(1)f(x) sin x 在(,)上是有界的 : |sin x| 1.(2)函数 f (x) 1 x上界 .在开区间 (0, 1)内是无上界的 . 或者说它在 (0, 1)内有下界 , 无这是因为 , 对于任一 M>1, 总有 x1 0 x111,使:Mf (x1)1M ,x1所以函数无上界 .函数 f (x)1 在(1, 2)内是有界的 .x(2)函数的单调性区间如果对于区

23、间上任意两点 1及 x2设函数 yf(x)的定义域为 D,I D.Ix,当 x1<x2 时, 恒有f(x )< f(x ),12则称函数 f(x)在区间 I 上是单调增加的 .当2时, 恒有如果对于区间I上任意两点 1及 x2,1xx <xf(x1 )> f(x2),则称函数 f(x)在区间 I 上是单调减少的 .单调增加和单调减少的函数统称为单调函数 .函数单调性举例 :函数 yx2 在区间 (, 0上是单调增加的 ,在区间 0,)上是单调减少的 ,在（,）上不是单调的 .(3)函数的奇偶性设函数 f(x)的定义域 D 关于原点对称 (即若 x D, 则 x D).

24、如果对于任一 x D, 有f( x)f(x),则称 f(x)为偶函数 .如果对于任一 xD, 有f( x)f(x),则称 f(x)为奇函数 .偶函数的图形关于 y 轴对称 , 奇函数的图形关于原点对称 , 奇偶函数举例 :y x2, y cos x 都是偶函数 . y x3, y sin x 都是奇函数 , y sin x cos x 是非奇非偶函数 .(4)函数的周期性设函数f(x) 的定义域为D. 如果存在一个正数l , 使得对于任一xD 有(x l)D, 且f(x l)f(x)7 / 8则称 f(x)为周期函数 , l 称为 f(x)的周期 .周期函数的图形特点 : 在函数的定义域内 , 每个长度为l 的区间上 , 函数的图形有相同的形状 .3反函数与复合函数反函数 :设函数 f : D f(D)是单射 , 则它存在逆映射 f 1: f(D) D, 称此映射 f1 为函数f 的反函数 .按此定义 , 对每个 y f(D), 有唯一的 x D, 使得 f(x) y, 于是有f1(y) x.1 的对应法则是完全由函数 f 的对应法则所确定的 .这就是说 ,反函数 f一般地 , y f(x), xD 的反函数记成 y f 1(x), x f(D).若 f 是定义在 D 上的单调函数 , 则 f : D f(D)是单射 , 于是 f 的反函数 f 1 必定存在 , 而且容易证明 f