专题：对数函数知识点总结及类型题归纳

1、专题：对数函数知识点总结1 .对数函数的定义：一般地，函数 y logax（）叫做对数函数 .定义域是 2 .对数函数的性质为a>10<a<1图象定义域：（0, +°0）值域：R过点（1, 0）,即当x 1时，y 0 性质 x (0,1)时y 0.x (1,)时 y 0*x(0,1)时 y0 .x(1,)时丫0.在（0, +00）上是增函数.在（0, +°°）上是减函数*思考：函数y log a x与函数y ax （a0且a 1）的定义域、值域之间有什么关系对数函数的图象与指数函数的图象关于 对称。一般的，函数y=ax与y=logax（a>

2、0且aw 1）互称相对应的反函数，它们的图象关于直线y=x对称，且图象关于直线y=f（x）存在反函数，一般将反函数记作y=f-1（x） 如:f（x）=2 x,则f-1（x）=log 2x,二者的定义域与值域对调y=x对称，且它们的图象关于直线y=x对称专题应用练习函数与其反函数的定义域与值域对调、求下列函数的定义域(1)y iogo.2(4x）；(2) y logaJx 1 (a 0,a 1).；(3)y log(2xi)( x2 2x 3)(4) y Jlog2(4x 3)(5) y=ig(6) y= log3 xx 11 .y=log(5x-1)(7x-2)的定义域是 2 .y= Jlg(

3、8 x2)的定义域是 3 .求函数y log 2(2x 1)的定义域 4 .函数y= Jlog1 (2x1)的定义域是 5 .函数 y= log 2(32 4x)的定义域是 ,值域是 .6 .函数y log 5 x(2x 3)的定义域 2、7 .求函数y loga(x x )(a 0,a 1)的定乂域和值域。8 .求下列函数的定义域、值域：22(1) y log 2(x 3)；(2) y log 2(3 x)；(3) y log a(x 4x 7) ( a 0 且 a 1).9.函数 f (x) = ln ( Jx 3x 2 vX 3x4 )定义域 x2 xx2 10.设f(x)=lg 上，则

4、f(-) f(2)的定义域为 2 x2x11 .函数f(x)=x 2| 1的定义域为10g 2(x 1)212 .函数 f(x)= g(x 2x)的7E义域为 ；9 x213.函数 f (x) = 1 ln ( fx3x 2 1x3x 4 )的定义域为 x14y 10g210g210g2x 的定义域是 1 .设 f (x)=lg(ax2-2x+ a),(1)如果f (x)的定义域是(8, +8),求a的取值范围；(2)如果f (x)的值域是(8, +8),求a的取值范围.15 .已知函数 f(x) log 1 (x2 2ax 3)2(1)若函数的定义域为R,求实数a的取值范围(2)若函数的值域

5、为R,求实数a的取值范围(3)若函数的定义域为(,i)(3,),求实数a的值；(4)若函数的值域为(，求实数a的值.16 .若函数y f 2x的定义域为 1,0 ,则函数y f log2x的定义域为17 .已知函数f(2x)的定义域是-1, 1,求f(log2x)的定义域.18若函数y=lg(4-a 2x)的定义域为R,则实数a的取值范围为 19 已知 x满足不等式(log 2 x)2 7 log 2 x 6 0 ,函数 f(x) (log 2 4x) ?(log 4 2x)的值域是220 求函数 y (log1 x) log 1 x 1 (1 x 4)的值域。 2221 已知函数 f(x)=

6、log 2上+log2(x-1)+log 2(p-x).(1)求 f(x)的定义域;(2)求 f(x)的值域.x 1口0，x 1解：f(x)有意义时，有 x 1 0，p x 0，由、得x>1,由得xvp,因为函数的定义域为非空数集，故p>1,f(x)的定义域是(1,p).(2) f(x)=log 2 (x+1)(p-x) =log 2 - (x-p) 2+ (p 1) (1vxvp), 24当 1<2_<p,即 p>3 时，0<-(x-2)2 ip-J£(p_j£ 2244,p 1 2 (p 1)2log2(x 2-)4 w 210g2(

7、p+1)-2.当 _p_Jw1,即 1vpW3 时， 0v-(x-U)2 (-p-J- 2(p 1), .-.log2(x -p-)2 (p 1) <1+log2(p-1).22424综合可知：当p>3时，f(x)的值域是(-8,2log2(p+1)-2;当 1<pW3 时,函数 f(x)的值域是(-oo,1+log2(p-1).二、利用对数函数的性质，比较大小例1、比较下列各组数中两个数的大小：(1) log 2 3.4, 10g 2 3.8；(2) 10g 0.5 1.8 , log 0.5 2.1 ；/c、， c ,3(3)10g75, log67；(4) 10g23,

8、 log45, 一2.0 91.1.1, log1.1 0.9, log0.70.8 的大小关系是 2 .已知 a2>b>a>1,贝U m=logab, n=logba, p= 10gb?的大小关系是 a3 .已知10gm5>logn5,试确定 m和n的大小关系4 .已知 0vav 1,b>1,ab>1,则 logaLiog. b,logb 1 的大小关系是 bb5 .已知 log 1 bvlog 1 avlog 1 c比较 2b,2a,2c 的大小关系. 2226 .设 a 10g3 ,b 10g273,c 10g3 72,贝U已知x 1,d，试比较a .

9、 .。已知x 1,d 1试比较a8 .9 .设 0 <x <1 , a >0,且 aw 1,10 .已知函数f(x) lgx ,则三、解指、对数方程：(1) 33x 527(2) 22xlogd x 2, b 10gd x2c 10gd 10gd x 的大小。log d x 2, b 10gd x2的大小。试比较 | loga (1-x)|与| loga (1+x)|的大小。11f 1 , f 1 , f (2)的大小关系是 4312 (3) 10g5(3x) 10g5(2x 1) (4) lg1g(x 1)1 .已知3a=5吐A,且1 1=2.则A的值是 a b12 .已知

10、 10g7 11og3(1og2x) =0,那么 x 2 等于 13 .已知 10g7 1og3(1og2x) =0,那么 x '等于 1.1. x C (e-1,1),a=1nx,b=21nx,c=1n 3x,则 5 .若f 10xx,那么f 3等于6 .已知 f(x5) lgx,则 f(2) 7 .已知 1oga(x2 4) 1oga(y2 1) log a 5 1oga(2xy 1)(a 0,且 a 1),求 10g8'的值. x四、解不等式：1.log 5(3x) 10g 5(2x 1)1.1 g( x 1) 13 .设a,b满足0 a b 1 ,给出下列四个不等式：

11、aa ab, ba bb, aa ba, bb ab,其中正.确.的不等式有 4 .已知：(1) f(x) log ax在3,)上恒有| f(x)| 1 ,求实数a的取值范围。25 .已知函数f (x) x 3,g (x) a(1 x),当 2 x 2时，f(x) g(x)恒成立，求头数a的取值氾围。21、6 .求m的取值氾围，使关于 x的万程(lg x) 2mlgx (m ) 0有两个大于1的根. 4(2008 全国)若 xC (e-1,i),a=inx,b=2lnx,c=ln 3x,则 ,一 11 j7 .已知 0< a< 1,b>1,ab>1,则 loga ,lo

12、gab,logb 的大小关系zE bb8 .已知函数f(x)=log ax(a>0,aw 1),如果对于任意 x 3, +°°)都有|f(x)| > 1成立，试求a的取值范围9 .已知函数f (x) =log2(x2-ax-a)在区间(-°°, 1-“写上是单调递减函数.求实数a的取值范围.10 .若函数ylog2(x2 ax a)在区间(,1 J3)上是增函数，a的取值范围 11 .已知函数f(x) log 2(x2ax 3a)在区间1, 2上是增函数，则实数 a的取值范围是 10g2x,x 0,12 .若函数f(x)= logi ( x)

13、,x 0 ,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是 2一 2x1 1, x 1一12.1. ,函数f(x)右f (Xo) 1 ,则Xo的取值范围是()lg x,x> 1,/ 214.设a>0且aw1,若函数f (x)=a1gx x有最大值，试解不等式loga(x2 5x 7) >0五、定点问题1 .若函数y=loga(x+b) (a>0,且a? 1)的图象过两点(-1, 0)和(0, 1),则 2 .若函数y=loga(x+b) (a>0,且aw1)的图象过两点(-1, 0)和(0, 1),则 3 .函数 f(x) loga(x 1) 1(a0且a 1

14、)恒过定点.六、求对数的底数范围问题-41. (1)若loga- 1 (a 0且a 1),求a的取值范围 52. (2)若 10g (2a 3)(1 4a) 2,求 a 的取值范围 23. .若log。2 1 (a 0且a 1),则a的取值范围 34 .函数f(x) loga(x 1)的定义域和值域都是0,1,则a的值为 .5 .若函数f(x) loga (a x)在2,3上单调递减，则a的取值范围是 6 .函数y=log0.5(ax+a-1)在x>2上单调减，求实数 a的范围7.已知y= loga (2-ax)在0, 1上是x的减函数，求 a的取值范围8 .已知函数y=log a2 (

15、x2-2ax-3)在(-°°,-2)上是增函数，求a的取值范围.9 .已知函数f(x)=log ax(a>0,awl),如果对于任意 xC 3, +8)都有|f(x)|>1成立，试求a的取值范围.10 .若函数y loga(1 x)在0,1)上是增函数，a的取值范围是 111 .使log a 1成立的a的取值范围是 212 .若定义在(一1, 0)内的函数f (x)=log2a(x+1)满足f (x)>0,则a的取值范围是 七、最值问题1 .函数y=logax在2, 10上的最大值与最小值的差为1,则常数a =. 一一,22 .求函数 y 10gl x 1

16、0gl x 5 x 2,4的最小值 最大值.。443 .设a> 1,函数f(x)=log ax在区间a,2a上的最大值与最小值之差为：，则a=4 .函数f (x) =ax+loga (x+1)在0, 1上的最大值和最小值之和为a,则a=xx5 .已知0 x 2,则函数y 43 24的最大值是 ,最小值是 .226 .已知f(x) 1 10g2x,(1 x 4),求函数g(x) f 2(x)f (x2)的最大值与最小值i,2_xx7 .已知 x 满足 2(log05 x)710g 05 x 3 0，求函数 f (x) (log 21)(log 2)的最值。24设x 0,y 0,且x 2y

17、1,求函数 u log 1 (8xy 4y2 1)的值域.8 .29 .函数f (x)=ax + loga (x+1)在0, 1上的最大值与最小值之和为a,则a=xx 110 .求函数 y log 1 (1 3x) 10g2(3x )的最小值 2311 .函数P = 在区间馋田上的最大值比最小值大2,则实数津=.八、单调性1 .讨论函数y 1g(1 x) 1g(1 x)的奇偶性与单调性_2 2 .函数y 1g(2x x )的定义域是 ，值域是,单调增区间是 3 .函数f(x) 1n(x2 4x 3)的递减区间是4 .函数y=1og 1/3 (x2-3x)的增区间是 5 .证明函数f (x) 1

18、0g2(x2 1)在(0,)上是增函数.6 .函数f(x) log2(x 1)在(，0)上是减函数还是增函数7 .求函数y 10gl (x2 2x 3)的单调区间，并用单调定义给予证明.8.求y= log 0.3 ( x -2x)的单调递减区间 9.求函数y= log 2 ( x -4x)的单调递增区间七10 .函数y=1og 1 (x2-3x+2)的递增区间是11 .函数y 1g(2x x2)的值域是 ,单调增区间是 .12 .若函数y 10g2(x2 ax a)在区间(,1 J3)上是减函数，求实数a的取值范围、一一一一 ,2，,一，一，1 .证明函数y=1og1 (x +1)在(0, +

19、oo)上是减函数；2 .已知函数f (x) =1og2(x2-ax-a)在区间(-°°, 1-u3上是单调递减函数.,求实数a的取值范围 x3 .已知函数f (x) lg(4 k 2 ),(其中k实数)(i)求函数f(x)的定义域；(n)若f(x)在 ，2上有意义，试求实数 k的取值范围小结：复合函数的单调性f (x), g(x)的单调相同，y f(g(x)为增函数，否则为减函数.九、奇偶性1 .函数f x ln Jix2 x的奇偶性是 。2 .若函数f x是奇函数，且x 0时，f x lg x 1 ,则当x 0时，f x 13 .偶函数f x在0,2内单调递减，a f 1

20、 ,b f 10go.5一 ,c f lg 0.5 ,则a,b,cN间的大小关系一 一，r , ,，一 14 .已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在0,)上为增函数，f(-) 0,则不等式f(logx) 0的解集为 381 x #1 一.5 .已知函数 f (x) lg，右 f (a),则 f( a) .1 x2/(log i 23)6.已知奇函数/满足+2)=/(工)，当其日(°时，函数/=2 ,则 =.7已知f(x) lg(x Jx2 1)(1)判断f(x)奇偶性(2)判断f(x)的单调性 .8.知函数f(x)=loga'上(a>0,且aw 1, b>0)

21、(1)求f(x)定义域；(2)讨论f(x)奇偶性；(3)讨论f(x) x b单调性9abe R,且aw2,定义在区间(-b,b)内的函数f(x)= igLax是奇函数 1 2x1)求b取值范围2)讨论函数f(x)单调性.10 .设a,bC R,且aw2,定义在区间(-b,b)内的函数f(x)= igL3是奇函数. 1 2x(1)求b的取值范围；(2)讨论函数f(x)的单调性.11 .已知函数 f (x) loga(1 x), g(x) loga(1 x)其中(a 0 且a 1),设 h(x) f (x) g(x).(1)求函数h(x)的定义域，判断h(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若f(3)

22、 2,求使h(x) 0成立的x的集合.十、对称问题与解析式1 .已知函数f x的定义域是0,且对任意的x1，x2 0满足f5 f xf x2 ,当x 1时有x2f x 0 ,请你写出一个满足上述条件的函数f x 。22 一x一2.已知函数f x满足f x 3 log a2 a 0, a 16 x2(1)求f x的解析式；(2)判断f x的奇偶性；(3)讨论f x的单调性；(4)解不等式f x loga 2x3.已知 定义域为(，0)(0,)的函数y f (x)满足条件：对于 定义域 内任意x，x2都有f(x)x2)f(x1)f(x2). (1)求证：f(1) f(x),且f(x)是偶函数；(2

23、)请写出一个满足上述条件的函数. x5.已知函数f(x)=loga(x+1)(a>1),若函数y=g(x)图象上任意一点P关于原点对称点Q的轨迹恰好是函数 f(x)的图象.(1)写出函数g(x)的解析式；(2)当xC 0, 1)时总有f(x)+g(x)m成立，求m的取值范围.解 (1)设P (x, y)为g(x)图象上任意一点，则Q (-x, -y)是点P关于原点的对称点, Q (-x, -y)在 f(x)的图象上,，-y=log a (-x+1),即 y=g(x)=-log a(l-x).(2) f(x)+g(x) >m,!P loga_x_1tm.1 x设F (x) =loga

24、,xe 0, 1),由题意知，只要 F (x) min >m即可.1 xF (x)在0, 1 )上是增函数， F (x) min=F (0) =0.故m< 0即为所求1)证明 设点A、B的横坐标分别为 x1、x2,由题设知x1> 1,x2> 1,则点A、B的纵坐标分别为10g8x1、10g8x2.因为A、B在过点O的直线上，所以10g 8 x1 10g8 x2点C D的坐标分别为(x1,log2x1)、(x2,log2x2), Xix2由于10g2X1=lOg3=3log8X1,log2X2=3log8X2,OC的斜率为匕=蚂3310g 8x1, OD的斜率为k2蟠23

25、10g8X2,由此可知10g 8 2X1XX2x2k1=k2,即O、C、D在同一直线上. 解 由于 BC 平行于 X 轴，知 1og2X1 = 1og 8X2,即得 1og2X1=- 10g2X2,X2=X31, 3代入 X21og8X1=X11og8X2,得 X3110g8X1=3X110g8X1，由于 X1 > 1,知 10g8X1 W 0,故 X31=3x 1, 又因 X1>1,解得 X1 = V3,于是点 A 白坐标为(J3 , 10g 8百).6 .已知过原点。的一条直线与函数y=1og8x的图象交于A、B两点，分别过A、B作y轴的平行线与函数y=1og2 的图象交于C、

26、D两点.(1)证明：点C、D和原点。在同一直线上；(2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标.7 .设函数/了(工)且3皿用3%+原3-1)求(工)的解析式，定义域；讨论丁的单调性，并求,的值域.十一、对数函数图象1 .函数 y 1og3(x 2)的图象是由函数 y 1og3x的图象 得到。2 .函数y log3(x 2) 3的图象是由函数 y 1og3x的图象 得到。3 .函数y 1oga(x b) c (a 0, a 1)的图象是由函数 y 1ogax的图象当b 0,c 0时向 单位得到；当b 0,c 0时向 单位得到;当b 0,c 0时向 单位得到；当b 0,c 0时向 单位得到。尝试总结：

27、平移变换y f(x) y f(x a) b的法则1 .将函数y=2x的图象向左平移 1个单位得到Ci,将Ci向上平移1个单位得到C2,而C3与C2关于直线y=x对称,则C3对应的函数解析式是 2 .函数的图像与对数函数y log3X的图像的关系，并画出它们的示意图，由图像写出它的单调区间： y log31 x|； (2) y | log3 x | ； y log3( x)；(4)ylog3x1.已知xi是方程x+ lgx=3的根，x2是方程x+ 10x=3的根求函数f (x)= log2|x2 x 12的单调区间1 有±±工2 .如图，曲线是对数函数,"宫的图象，

28、已知出的取值 51。,则相应于曲线3c，的s值依次为(?？).-x .3 .万程loga x a (a 1)的解的个数为 4 .已知关于x的方程lg2 x 2alg x 2 a 0的两根均大于1,则实数a的取值范围是 25 .万程10g2|x| x的实根个数是 个则x+x2=6 .已知 f(x)= 1 + logx3, g(x) = 2logx2,比较 f(x)与 g(x)的大小 x x7 .设a>0且a w 1,求证：方程a a -x=2a的根不在区间卜1,1内8 .若“4"4 ,且现" T1，则口出满足的关系式是？()9 .若aHlnF是偶函数,则"+4

29、 1)的图象是? (?).一1十1唯3工10方程5实数解所在的区间是(A)关于正轴对称(B)关于尸轴对称(C)关于原点对称(D)关于直线尸=工对称(? ). (A) (3<)?(B)45)©(5,6)? (D) 37)cX 一 一 I ，_a 一 一11.已知x、y为实数，满足(10g4y) 2= logi x,试求一的最大值及相应的 x、y的值.2y十二、附加内容(补充)本节主要介绍以下几个问题、反函数的定义从yf(x)中解出x、反函数的求法、反函数存在的条件求原函数值域(反函数定义域)x与y互换，加注定义域四、反函数的性质y=ax及y=1og ax互为反函数，反函数的定义一般的，如果y是x的一个函数(y=f(x),另一方面，x也是y的函数(x=g(y),将此函数称作函数 y=f(x)的反函数。一般仍用x表示自变量，y表示函数值 这样y=f(x)的反函数记作y=f-1(x),y=f-1(x)与y=f(x)互为反函数y=ax与y=log ax互为反函数注意：f-1