高等数学课件：几何补充

1、平面曲线的弧长平面曲线的弧长 (p.106)定义定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,0M1iMiMnMAByox当折线段的最大边长 0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 ,此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即并称此曲线弧为可求长的.iiMM1定理定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)ni 10lims则称(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:)()(bxaxfy弧长元素(弧微分) :xyd12因此所求弧长xysbad12xxfbad)(1222)(d)(ddyxs(2) 曲线弧由参数方程给出:)()()(ttytx弧长元素(弧微分) :因此所求弧长tttsd)()(22tttd)

2、()(2222)(d)(ddyxs注:可将上述公式推广到空间的情形.(p.107)解解12,yx 所求弧长为所求弧长为dxxsba 1.)1()1(322323ab abtayttaxcos1sin例例2 求旋轮线求旋轮线一拱的弧长。一拱的弧长。20toa2解解 由公式得由公式得dttatal2022)sin()cos1 (dtta20cos12dtta202sin2.8a曲率曲率 曲率用来描述曲线的弯曲程度曲率用来描述曲线的弯曲程度.n 曲率的概念与曲率的计算曲率的概念与曲率的计算n 曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的

3、量。1M3M)2 2M2S 1S MM 1S 2S NN )弧段弯曲程度越大弧段弯曲程度越大, 转角越大转角越大转角相同弧段越短转角相同弧段越短, 弯曲程度越大弯曲程度越大1. 曲率的定义曲率的定义1 )注注: :曲线的弯曲程度与切线的转角大小成正比曲线的弯曲程度与切线的转角大小成正比, ,与弧长成反比与弧长成反比. .) S S) .M .MC0Myxo.sKMM 的平均曲率为的平均曲率为弧段弧段（设曲线设曲线C是光滑的，是光滑的，.0是是基基点点M, sMM （. 切切线线转转角角为为MM定义定义sKs 0lim曲线曲线C在点在点M处的曲率处的曲率,lim0存在的条件下存在的条件下在在ds

4、dss .dsdK 例例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .解解: 如图所示 ,RssKs0limR1可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .sRMM注意注意: 直线上任意点处的曲率为 0.2.曲率的计算公式曲率的计算公式,)(二阶可导二阶可导设设xfy ,tany ,12dxyyd .)1(232yyk ,arctan y 有有.12dxyds .dsdK ,)()(),(),(二阶可导二阶可导，设曲线方程为设曲线方程为tttytx .)()()()()()(2322ttttttk ,)()(ttdxdy .)()()()(

5、)(322tttttdxyd 例例2.2.?2上哪一点的曲率最大上哪一点的曲率最大抛物线抛物线cbxaxy 解解,2baxy ,2ay .)2(12232baxak 显然显然,2时时当当abx .最最大大k,)44,2(2为抛物线的顶点为抛物线的顶点又又aacbab .最最大大抛抛物物线线在在顶顶点点处处的的曲曲率率例例3: 。处的曲率处的曲率在顶点在顶点求摆线求摆线)0()cos1()sin(attayttax解：解：2sin1)cos1sin(1()1(,cos1sin32/322/32tttytty 2sin41)1(,2sin1412/324tayyKtay 代入公式代入公式.41aK

6、t 3. 曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径定义定义D)(xfy Mk1 .),(,.1,).0(),()(处的曲率圆处的曲率圆称此圆为曲线在点称此圆为曲线在点如图如图作圆作圆为半径为半径为圆心为圆心以以使使在凹的一侧取一点在凹的一侧取一点处的曲线的法线上处的曲线的法线上在点在点处的曲率为处的曲率为在点在点设曲线设曲线MDkDMDMkkyxMxfy ,曲曲率率中中心心 D.曲率半径曲率半径 xyo1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数曲率互为倒数.1,1 kk即即注注: :2.曲线上一点处的曲率半径越大曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点曲线在该点处的曲率越小处的曲率越小(曲线越平坦曲线越平坦);曲率半径越小曲率半径越小,曲曲率越大率越大(曲线越弯曲曲线越弯曲).3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似称为曲线在该点附近的二次近似).四、小结四、小结运用微分学的理论运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性研究曲线和曲面