福建省永春一中、培元中学、季延中学、石光中学届高三数学上学期第一次联合考试试题理(含解析)练习

1、福建省永春一中、培元中学、季延中学、石光中学 2017 届高三数学上学期第一次联合考试试题 理（含解析）练习一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合，则（）A.B.C.D.【答案】 D【解析】，本题选择D选项 .2.设 i 为虚数单位，为纯虚数，则实数a 的值为（）A.-1B.1C.-2D.2【答案】 A3.设是等差数列的前 n 项和，则（）A.2B.3C.5D.7【答案】 C【解析】，.本题选择C选项 .4. 某校在高三第一次模拟考试中约有1000 人参加考试，其数学考试成绩近似服从正态分布，即，试卷满分分，统计结果显示数学考

2、试成绩不及格（低于90分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在100 分到 110 分之间的人数约为（）A. 400B. 500C. 600D. 800【答案】 A1/19【解析】，.故选 A.5.设点是双曲线的右焦点，点到渐近线的距离与双曲线的两焦点间的距离的比值为，则双曲线的渐近线方程为()A.B.C.D.【答案】 B【解析】双曲线的右焦点F(c,0),到渐近线, 即 bx- ay=0 的距离，点 F 到渐近线的距离与双曲线的两焦点间的距离的比值为1:6 ，即 c=3b，则，即，则，则双曲线的渐近线方程为，即，本题选择B 选项 .点睛： 双曲线的渐近线方程为，而双曲线的渐近线方程为( 即

3、) ，应注意其区别与联系.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）2/19A.B.C.D.【答案】 C【解析】由三视图可知，该几何体是一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥，本题选择C选项 .点睛： (1) 求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解； (2) 若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解7.函数的大致图象如图，则函数的图象可能是 ()3/19A.B.C.D.【答案】 D【解析】由图象可知0<a<1 且 0<f(0)<1 ，即，解

4、得，0<a<1由对数函数的单调性可知a<b<1，结合可得 a， b 满足的关系为0<a<b<1，由指数函数的图象和性质可知,g(x)=a x -b 的图象是单调递减的，且一定在y=-1 上方。本题选择 D选项 .8. 已知满足，若目标函数的最大值为13，则实数的值为（）A.B.C.D.【答案】 A【解析】作出可行域，把目标函数,变形为，联立, 解得，A(3,4) ，可知目标函数过点A 时，取得最大值，可知， a=±1.本题选择A 选项 .4/199.执行如图所示的程序框图，若输出的值为-5 ，则判断框中可以填入的条件为（）A.B.C.D.【答

5、案】 D【解析】试题分析：，满足条件，满足条件，满足条件，满足条件，有题意，此时该不满足条件，推出循环，输出，所以判断框内可填入的条件是?, 故选 D.考点：循环结构10.已知椭圆的上下左右顶点分别为，且左右焦点为，且以为直径的圆内切于菱形，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.5/19【答案】 D【解析】菱形ABCD一边 AD所在直线方程为，即 bx+ay- ab=0，由题意 , 坐标原点O到 AD的距离，整理可得,即：，解得：( 舍去)，椭圆的离心率.本题选择 D选项 .点睛： 椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率( 或离心率的取值范围 ) ，常见有两种方法：求出 a，c，代入

6、公式；只需要根据一个条件得到关于，c的齐次式，结合b2a22 转化为a，c的齐次a bc式，然后等式 ( 不等式 ) 两边分别除以a 或 a2 转化为关于 e 的方程 ( 不等式 ) ，解方程 ( 不等式) 即可得 e( e 的取值范围 ) 11.四棱锥的底面为正方形，底面，若该四棱锥的所有顶点都在体积为的同一球面上，则（）A. 3B.C.D.【答案】 B【解析】试题分析：连结交于点，取的中点，连结，则，所以底面，则到四棱锥的所有顶点的距离相等，即为球心，半径为, 所以球的体积为，解得，故选 B6/19考点：球的内接多面体；求的体积和表面积公式【方法点晴】本题主要考查了四面体的外接球的体积公式

7、、球内接四棱锥的性质等知识的应用，同时考查了共定理的运用，解答值需要认真审题，注意空间思维能力的配用，解答中四棱锥的外接球是以为球心，半径为，利用体积公式列出等式是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题12.已知函数的一条对称轴为，且, 则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】 C【解析】，由于函数的对称轴为，且，则：，解得 a=1. 所以，由于，所以函数必须取得最大值和最小值，所以或，所以，当 k=0 时 , 最小值为.本题选择C选项 .第II卷二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分。13.已知在边长为2 的等边中， D是 BC中点，则_.【答案】 -1【解析】7

8、/1914.在的二项展开式中，的项的系数是 _. （用数字作答）【答案】 70【解析】根据二项式定理,的通项为，当时 , 即 r=4 时 , 可得.即项的系数为 70.15.设是等比数列的前 n 项和，且对任意正整数n 恒成立，则 m的取值范围是 _.【答案】【解析】由题意可得：，解得：，则：，即：恒成立，其中，且，据此可得：的取值范围是.16.已知函数，则不等式的解集为 _8/19【答案】【解析】函数的导数为，则 x>0 时,f (x)>0,f(x)递增，且，则为偶函数 , 即有，则不等式, 即为，即为，则,即,解得，即解集为三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1

9、7.在 ABC中，角的对边分别为，且成等比数列，.（）求的值；（）若，求的值.【答案】（）；（）.【解析】试题分析：( ) 由题意结合正弦定理可得，切化弦可得；( ) 由结合平面向量数量积的定义可得，结合余弦定理得，据此可得.试题解析：（）因为成等比数列，所以由正弦定理可得9/19所以（）由得知由得所以由余弦定理得得即解得18. 如图，几何体 EF ABCD中， CDEF为边长为 2 的正方形， ABCD为直角梯形， ABCD，AD DC， AD=2， AB=4， ADF=90°（）求证： AC FB（）求二面角EFB C的大小【答案】（）见解析；（）.【解析】试题分析：( ) 由题

10、意结合线面垂直的判定定理可证得AC平面 FCB，据此有 AC FB( ) 建立空间直角坐标系，结合半平面的法向量可得二面角E FB C的大小为.试题解析：（）证明：由题意得，ADDC， ADDF，且 DC DF=D，AD平面 CDEF， AD FC，10/19四边形 CDEF为正方形 DC FC由 DC AD=D FC平面 ABCD， FCAC又四边形ABCD为直角梯形，AB CD， AD DC， AD=2， AB=4222，则有 AC+BC=AB AC BC由 BC FC=C， AC平面 FCB， ACFB（）解：由（I ）知 AD， DC，DE所在直线相互垂直，故以D为原点，以的方向分别为

11、 x， y， z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz可得 D（ 0， 0， 0）， F（ 0， 2， 2）， B（ 2， 4，0），E（ 0， 0， 2）， C（ 0， 2， 0）， A（ 2，0， 0），由（）知平面FCB的法向量为，设平面 EFB的法向量为则有即令则设二面角 E FB C的大小为 ，有图易知为锐角所以二面角E FBC的大小为点睛： (1) 求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算(2) 设 m，n 分别为平面 ， 的法向量，则二面角 与 <m， n>互补或相等 . 求解时

12、一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角19. 某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱。现统计了连续5 天的售出和收益情况，如下表：11/19售出水量 x（单位：箱）76656收益 y（单位：元）165142148125150( ) 若 x 与 y 成线性相关，则某天售出8 箱水时，预计收益为多少元？( ) 期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前 200 名，获一等奖学金 500 元；考入年级 201 500 名，获二等奖学金 30

13、0 元；考入年级 501 名以后的特困生将不获得奖学金。甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为.在学生甲获得奖学金条件下，求他获得一等奖学金的概率；已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X 的分布列及数学期望。附：，。【答案】（） 186 元；（）（1）；（ 2）分布列见解析，期望为 600.【解析】试题分析：( ) 由题意可求得回归方程为，据此预测售出8 箱水时，预计收益为186 元；( ) (1) 由条件概率公式可得他获得一等奖学金的概率是；(2) 由题意可得 X 的取值可能为 0， 300， 5

14、00， 600， 800， 1000，据此求得分布列，然后计算可得数学期望为 600.试题解析：12/19，当时，即某天售出8 箱水的预计收益是186 元。( ) 设事件A为“学生甲获得奖学金”，事件B为“学生甲获得一等奖学金”，则即学生甲获得奖学金的条件下，获得一等奖学金的概率为 X 的取值可能为 0， 300， 500，600， 800， 1000，即的分布列为：（元）13/1920.已知点，其中是曲线上的两点， 两点在 轴上的射影分别为点， ，且.（I ）当点的坐标为时，求直线的斜率；（II）记的面积为，梯形的面积为，求证：.【答案】（）；（）见解析 .【解析】试题分析：( ) 由题意结

15、合直线的斜率公式可得；( ) 设直线的方程为. 联立直线与抛物线的方程，可得，则. 据此即可证得题中的结论试题解析：（）因为，所以代入，得到又，所以，所以代入，得到所以（）法一：设直线的方程为.则由,得,所以所以,14/19又，所以，所以，因为，所以,所以.法二：设直线的方程为.由,得,所以,点 到直线的距离为, 所以所以又，所以因为，所以所以21.已知函数（）当时，求的极值；（）当时，讨论的单调性；（）若对于任意的都有，求实数的取值范围【答案】（）当时，取得极小值为，无极大值；（）当时，在和上是减函数，在上是增函数，当时，在上是15/19减函数，当时，在和上是减函数，在上是增函数；（）【解析

16、】试题分析：( ) 当时，定义域为，据此可得当时，取得极小值为，无极大值( ) 当时，函数的定义域为，且分类讨论有：（1）当时，在和上是减函数，在上是增函数；（2）当时，在上是减函数；（3）当时，在和上是减函数，在上是增函数( ) 由（）知，当时，在上是减函数原问题等价于对任意恒成立，分离参数有对任意恒成立据此可得实数的取值范围为试题解析：（）当时，定义域为，的导函数当时，在上是减函数；当时，在上是增函数当时，取得极小值为，无极大值（）当时，的定义域为，的导函数为16/19由得，（1）当时，在和上是减函数，在上是增函数；（2）当时，在上是减函数；（3）当时，在和上是减函数，在上是增函数（）由（

17、）知，当时，在上是减函数对于任意的都有，对任意恒成立，对任意恒成立当时，实数的取值范围为请考生在第（22）（ 23）（ 24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22. 选修 4-1 ：几何证明选讲如图所示，已知是O的切线，P为切点，是O的割线，与O交于，C两点，圆APACB心 O在 PAC的内部，点M是 BC的中点（ I ）证明： A， P， O， M四点共圆；（ II ）求 OAM APM的大小【答案】（）见解析；（） 90°.【解析】试题分析：（ 1）证明四点共圆，一般利用对角互补进行证明：根据相切及垂径定理得 OPAP 及 OMBC，从而得 OPA OMA180

18、°. （ 2）根据四点共圆得同弦所对角相等： OAM OPM，因此17/19OPM APM90°，试题解析：（ 1）证明连接 OP， OM，因为 AP与O相切于点P，所以 OPAP.因为 M是O的弦 BC的中点，所以OMBC，于是 OPA OMA180°.由圆心 O在 PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A、 P、 O、 M四点共圆 .（ 2）解 由（ 1）得 A、 P、 O、M四点共圆，所以 OAM OPM，由（ 1）得 OPAP，因为圆心 O在 PAC的内部，所以 OPM APM90°，所以 OAM APM90°.考点：四点共圆23. 选修 4-4 ：坐标系与参数方程平面直角坐标系中，曲线. 直线 经过点，且倾斜角为. 以为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（I ）写出曲线的极坐标方程与直线的参数方程；（II ）若直线 与曲线相交于两点，且，求实数的值 .【答案】（）（ t 为参数）；（）或或.【解析】试题分析：（1）利用，即可把圆的直角坐标方程化为极坐标方程，以及得到直线的参数方程；（2）设两点对应的参数分别为，将直线的参数方程代入圆中，得到的方程，即可得到，即可求解实数的值试题解析：（ 1）曲线的普通方程为：，即，即，即曲线的极坐标方程为直线 的参数方程为（ 为参数）18/19（2）设，两点对