D74复合求导4ppt课件

1、第六节一元复合函数)(),(xuufy求导法则xuuyxydddddd本节内容本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分xxufuufyd)()(d)(d微分法则机动 目录 上页 下页 返回 完毕 多元复合函数的求导法则 第八章 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 2019.4.26 多元复合函数求导多元复合函数求导一元函数连续可导可微分偏导数存在连续一阶偏导数连续可微分极限存在二元函数二元函数 f ( x , y )在在 ( x 0 , y 0 )一元函数一元函数 f ( x ) 在在 x = x 0)(),(ttf

2、z一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则定理定理. 若函数若函数,)(, )(可导在点ttvtu),(vufz 处偏导连续, ),(vu在点在点 t 可导, tvvztuuztzddddddz则复合函数证证: 设设 t 取增量取增量t ,vvzuuzz)()(22vu)(o则相应中间变量且有链式法则vutt机动 目录 上页 下页 返回 完毕 有增量u ,v ,0t令,0,0vu则有to)( 全导数公式全导数公式 )tvvztuuztzto)(zvutt)()(22vu )(o )()(22tvtu0(t0 时,根式前加“”号)tvtvtutudd,dd机动 目录 上页 下

3、页 返回 完毕 tvvztuuztzdddddd若定理中 说明说明: ),(),(vuvuf在点例如例如:),(vufztvtu ,易知:,0)0 , 0()0 , 0(ufuz但复合函数),(ttfz 21ddtztvvztuuzdddd010100)0 , 0()0 , 0(vfvz偏导数连续减弱为偏导数连续减弱为偏导数存在偏导数存在, 2t0,22222vuvuvu,0022vu机动 目录 上页 下页 返回 完毕 则定理结论不一定成立.推广推广:1) 中间变量多于两个的情形. 例如, ),(wvufz 设下面所涉及的函数都可微 .tzdd321fff2) 中间变量是多元函数的情形.例如,

4、),(, ),(, ),(yxvyxuvufzxz1211ff2221ffyzzzwvuvuyxyxttttuuzddtvvzddtwwzddxuuzxvvzyuuzyvvz机动 目录 上页 下页 返回 完毕 )(, )(, )(twtvtu又如,),(, ),(yxvvxfz当它们都具有可微条件时, 有xz121ffyz22 ffz xyx注意注意: 这里xzxfxz表示固定 y 对 x 求导,xf表示固定 v 对 x 求导口诀口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导xfxvvfyvvf与不同,v机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例1. 设设,sinyxvyxuvezu.,

5、yzxz求解解:xzveusin)cos()sin(yxyxyeyxyz)cos()sin(yxyxxeyxveusinxuuzxvvzveucosyuuzyvvzveucosy1 x1 zvuyxyx机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例2.2.,sin,),(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求解解:xu2222zyxexyxyxeyxx2422sin22)sin21(2zyxyxuyu2222zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xfxzzf2222zyxezyfyzzf2222zyxezyxsin2yx cos2机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例

6、3. 设设 ,sintvuz.ddtzztvutttzddtevtttetcos)sin(costuuzddtvvzddtz求全导数,teu ,costv 解解:tusintcos注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与机动 目录 上页 下页 返回 完毕 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.为简便起见 , 引入记号,2121vuffuff ),(1zyxzyxf例例4. 设设 f 具有二阶连续偏导数, ),(zyxzyxfw求.,2zxwxw解解: 令令,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxz

7、yxfzy那么zxw2111 f22221211)(fyfzyxfzxyf yxf 122fy zy121 fyxf 2221,ff机动 目录 上页 下页 返回 完毕 ,6xxu 例例1. 求求 的偏导数,yxyxz2422)3( 那么解解:令令,24,322yxvyxu uz zvuyxyxvuz ,1 vuvuuvzvln ,2yyu 那么, 4 xv2 yuxvvzxuuzxz 4ln61 uuxvuvv)3ln()3( 4)3)(24(622242212422yxyxyxyxxyxyx 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 yvvzyuuzyz 2ln21 uuyvuvv)3ln()3

8、( 2)3)(24 (222242212422yxyxyxyxyyxyx dxdz假如假如 而),(vufz 则z 就是 x 的一元函数)(),(xvxu zvuxx)(),(xxfz dxduuz 这时，z 对x 的导数称为全导数，即 dxdvvz 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 dxdz假如假如 而),(yxfz 则函数),(xy zx)(,xxfz 的全导数为 xz yxdxdyyz yxuyxz 221例例2. 设设 求,uxyz 例例3 设设解解:,xuyxz ,2222xuxz ),(22xyxyz 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 02322 yyzxyxzx)()( Ax

9、yyxyxzx22221 ),(yxu 为可微函数，求证 xyxxxzzz,证：证：)( 222xyyxyxz )()( Bxyyxyyzxy22 )( xyxxyyz 02322 yyzxyxzx即即(A)式减去式减去(B)式，得式，得2223yyzxyxzx (当 在二、三象限时, )xyarctan例例5. 设设二阶偏导数连续,求下列表达式在),(yxfu 222222)2(,)()() 1 (yuxuyuxu解解: 知知sin,cosryrxuryxyx极坐标系下的形式xrruxu(1), 那么xyyxrarctan,22rxru,rxxr x2xy2)(1xy22yxy机动 目录 上

10、页 下页 返回 完毕 xu2ryururusincosyuyrru2221)(1,yxxyryyrxyxrurucossinyu22222)(1)()()(urruyuxu题目 目录 上页 下页 返回 完毕 ryru2rxuuryxyx 知rsin) (rurusincos)(xux 22)2(xururuxusincosuryxyx) (rxu) (xururusincos222cosru2cossinrucosrsinxurrucossin22222sinru2rru2sin2cos) (r注意利用注意利用已有公式已有公式机动 目录 上页 下页 返回 完毕 22yu2222yuxu21r2

11、2xu22222222sincossin2cosrurrururruru22sincossin2rruru22coscossin2同理可得22ru2221urrur 122)(ururrr22222222coscossin2sinrurruru题目 目录 上页 下页 返回 完毕 二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分设函数),(, ),(, ),(yxvyxuvufz的全微分为yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuzd)(uzvzuz可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, )dd(yyuxxu)dd(yyvxxv则复合函数) (fz ),(, ),(yxy

12、xudvzvd都可微, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 )cos( )sin(yxyxeyx例例1 .,sinyxvyxuvezu.,yzxz求例例 6. 利用全微分形式不变性再解例1. 解解: :) (dd zuveudsin)cos()sin(yxyxyeyx)cos()sin(yxyxyexzyx)cos()sin(yxyxxeyzyx所以veusinvveudcos )cos( )sin(yxyxeyx)(dyx)(dyx )cos()sin(yxyxxeyx)d(dyxxdyd)dd(yxxy机动 目录 上页 下页 返回 完

13、毕 内容小结内容小结1. 复合函数求导的链式法则“分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导”例如例如, ),(, ),(yxvvyxfuuvyxyxxu1f 3f;1yu2f 3f22. 全微分形式不变性, ),(vufz 对不论 u , v 是自变量还是因变量,vvufuvufzvud),(d),(d机动 目录 上页 下页 返回 完毕 阅读 P155 - 156 作 业 7.5第五节 目录 上页 下页 返回 完毕 P156 1; 2; 3; 4. 备用题备用题,1),(2xyyxf,2),(21xyxfxy1. 知求.),(22xyyxf解解: 由由1),(2xxf两边对 x 求导, 得

14、02),(),(2221xxxfxxfxxxf2),(211),(22xxf机动 目录 上页 下页 返回 完毕 2. ) )1 , 1(, 1() 1 (ff1)(dd3xxx1)1 , 1 ( f1dd)(32xxx3),(,(1xxfxf ),(,(2xxfxf ),(1xxf ),(2xxf 1x 351, 1)1 , 1(f,),(,()(xxfxfx ,2) 1 , 1 (xf求.1)(dd3xxx),(yxfz 在点)1 , 1(处可微 , 且设函数,3) 1 , 1 (yf解解: 由题设由题设23)32( (2019考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 完毕 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 2019.4.26 作业与多元复合函数求导作业与多元复合函数求导一元复合函数)(),(xuufy求导法则xuuyxyddddddxxufuufyd)( )( d)( d微分法则思考与练习思考与练习解答提示解答提示:P31 题7vz2)(11yx1 vxxzyzvy)(2yx) 1(y12)(11yx22yxx