本文介绍函数定义域的类型和求法

1、本文介绍函数定义域的类型和求法，目的在于使学生全面认识定义域，深刻理解定义域，正确求函数的定义域。现举例说明。一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解 此不等式(或组)即得原函数的定义域。- 2- 15例1求函数M+3-*的定义域。解：要使函数有意义，则必须满足Jx2 - 2x-15 > 0| s + 31 -8 0由解得或北5。由解得区父5或区*-11和求交集得芯£-3且区声-11或乂>5。故所求函数的定义域为仪I区工- 3且正工-11 丫 K I x > 5。y = Jsin . +1例2求函数的定义域

2、。解：要使函数有意义，则必须满足sin x 0(D(16 -x2 > 0由解得注小笈。+ 2km k£Z由解得一 4 C区< 4由和求公共部分，得-4 <x $-漉"< x < I故函数的定义域为:4 ; 1 ' 'I评注：和怎样求公共部分？你会吗？二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另 一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。(1)已知设)的定义域，求£位&)】的定义域。其解法是：已知'3)的定义域是a, b求门式乂)的定义域是解a三日三

3、匕,即为所求的定义域。例3已知"X)的定义域为2, 2,求寅17)的定义域。解：令-2三1-1工2 ,得.£/43,即04/M3 ,因此区有，从而一正,故函数的定 义域是位I-近玉芯工技。(2)已知的定义域，求f(x)的定义域。其解法是：已知观界|的定义域是a,切，求f(x)定义域的方法是：由afKWb ,求g(x)的值域，即 所求f(x)的定义域。例4已知f Q*+1)的定义域为1,2,求f(x)的定义域。解：因为 1<<2,2<2S<4,3<2X + 1<5o即函数f(x)的定义域是(K 1 3 - X - 5) o三、逆向型即已知所

4、给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。例5已知函数'* = Kgm”的定义域为R求实数m的取值范围。分析：函数的定义域为R,表明吟*-$E + 8 + m之口，使一切xCR都成立，由项的系数是成所以应分m=0或m唯口进行讨论解：当m=0B寸，函数的定义域为R;当mK口时，m'-6M+8之口是二次不等式，其对一切实数 x都成立的充要条件是m > 口 .= (-6m)2 - 4m(m + 8) 4 口 => 0 <m <1综上可知。Em£l。评注：不少学生容易忽略 m=0的情

5、况，希望通过此例解决问题。r 、kx + 7f(x)=-例6已知函数h? + 4kx + 3的定义域是R,求实数k的取值范围。解：要使函数有意义，则必须 直.4043 W0恒成立，因为的定义域为R,即43-0无实 数,2.0 < k c -当kw0时，& = 16k -4 x3k包成立，解得4；当k=0时，方程左边=3w 0恒成立。3 0<k <-综上k的取值范围是4 0四、实际问题型这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并形 成意识。例7将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函数的定义域。

6、-(a- 2x)解：设矩形一边为x,则另一边长为2 于是可得矩形面积。1，。、13y = x (a 2k)二 一 ax -笈22+ ax2由问题的实际意义，知函数的定义域应满足< 1 =y(a- 2x) > 0x > 0a- > 0故所求函数的解析式为,定义域为（0, 1 ） 0例8用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为2x,求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并求定义域。DCB解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。因为CD=AB=2x所以CD 必，所以_ L AB CD L tckAD =Y - 2x

7、- 故根据实际问题的意义知对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。例9已知£侬)的定义域为0, 1,求函数F(幻=久巩+&)+ £(£-3)的定义域。解：因为£汉)的定义域为0, 1,即口故函数F3)的定义域为下列不等式组的解集：0 < x + a < 1 a < x < 1 - a<H口即即两个区间a, 1-a与a, 1+a的交集，比较两个区间左、右端点，知(1)当2a*一。时，F (x)的定义域为炽1-3工苫三1十a).(2)当。一 " - 2时，F (x)的定义域为泛I a * * * 1

8、- "；1Ia > - a(3)当2或 2时，上述两区间的交集为空集，此时 F (x)不能构成函数。六、隐含型有些问题从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域隐含在问题中，例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此，求函数的单调区间，必须先求定义域。例10求函数式-+2父+ 3)的单调区问。解：由r' + 2x+3 >0 ,即1-勿-340 ,解得-I门m3。即函数y的定义域为(1,3)。函数”晚式+ 2、+ 3)是由函数”log2t = -1 + 2x + 3复合而成的。t = -x3 + 2x+3 = -(x-l)a+4对称轴x=1,由二次函数的单调性，可知t在区间(一8川上是增函数；在区