证明圆的切线方法

1、证明圆的切线方法我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一克线是圆的 切线在我们所学的知识围，证明圆的切线常用的方法有：一、若直线1过00上某一点A,证明1是00的切线，只需连0A,证明0A丄1就 行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1如图，在ZkABC中，AB二AC,以AB为直径的O0交BC于D,交AC于E, B为切点的切线交0D延长线于F.求证：EF与00相切.证明：连结0E, AD.TAB是。0的直径，AD 丄 BC.又 VAB=BC,AZ3=Z4.A&DE? Z1=Z2.又 V0B=0E> OF二OF,BOFMEOF (SAS).

2、 ZOBF=ZOEF.TBF与00相切,OB 丄 BF ZOEF=90°.EF与OO相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的P为BC延长线上一点，且PA二PD.例2如图，AD是ZBAC的平分线, 求证：PA与00相切.证明一：作直径AE,连结EC.TAD是ZBAC的平分线， AZDAB-ZDAC.VPA=PD,AZ2=ZRZDAC.VZ2=ZB+ZDABtAZ1=ZB.又 VZB=ZE,AZ1=ZETAE是00的直径，'AC丄EC, ZE+ZEAC二90°.Z1+ZEAC 二 90：即0A丄PA.PA与00相切.证明二延长AD交00于E,连结0A, 0E.TA

3、D是ZBAC的平分线,BE 二 CE,0E 丄 BC. ZE+ZBDE=90°.0A 二 0E,AZE=ZL PA 二 PD,ZPAD=ZPDA.又 VZPDA=ZBDE,Z1+ZPAD 二 90°即OA±PAPA与OO相切说明：此題是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用 例3如图，AB二AC, AB是00的直径，O0交BC于D, DI丄AC于M求证：DM与00相切.证明一：连结0D.TAB二AC,AZB=ZC.V0B=0D,AZ1=ZB.AZ1=ZC.A0D/7AC TDM 丄 AC,DM 丄 0D与00相切证明二：连结0D, AD.TAB是

4、O0的直径,AD 丄 BC.又 TAB二AC AZ1=Z2.DM 丄 AC, Z2+Z4=90°V0A=0D,AZ1=Z3. Z3+Z4=90°.即 ODXDM.DM是00的切线说明：证明一是通过证平行来证明垂直的证明二是通过证两角互余证明垂直的， 解題中注意充分利用已知及图上已知.例4如图，已知：AB是O0的直径，点C在O0上.且ZCAB二30 BD-OB, D在 AB的延长线上.求证：DC是00的切线证明：连结OC. BC.0A 二 0C, ZA=Z1=Z3OU.ZBOC 二 ZA+Z1 二 60：又 VOC=OB,OBC是等边三角形. 0B 二 BC TOB 二 BD

5、, 0B 二 BC 二 BD.0C 丄 CD.DC是00的切线.说明：此题是根掲圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法校 好.例5如图，AB是00的直径，CD丄AB,且OA2=OD - 0P.求证：PC是00的切线.证明：连结0CV0A2=0D OP, OA=OC,OC'OD OP,PC OPODOC又 VZ1=Z1,.-.AOCPAODC ZOCP 二 ZODC TCD 丄 AB,ZOCP二90°.pc是oo的切线.说明：此題是通过证三角形相似证明垂直的例6如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，八G交BD于E,交CD于F. 求证：CE与ACFG的外接

6、圆相切.分析：此题图上没有画出ACFG的外接圆，但ACFG是直角三角形，圆心在斜边FG 的中点，为此我们取FG的中点0,连结0C,证明CE丄0C即可得解.证明：取FG中点0,连结0C.7ABCD是正方形,BC丄CD, ZkCFG 是 RtATO是FG的中点，0是RtACFG的外心.TOC 二 0G,.Z3=ZGtVAD/7BC, ZG=Z4.AD二CD, DE二DE,ZADE=ZCDE=45AAADEACDE (SAS)AZ4=Z1, Z1=Z3.VZ2+Z3=90<AZ1+Z2=9O<,.即CE丄OCACE与ACFG的外接圆相切二、若直线1与（DO没有已知的公共点，又要证明1長0

7、0的切线，只需作0A丄1,A为垂足，证明0A是©0的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例7如图，AB二AC, I）为BC中点，0D与AB切于E点.求证：AC与0D相切.证明一：连结DE,作DF丄AC, F是垂足.TAB是OD的切线，DE 丄 AB.VDF±AC, ZDEB 二 ZDFC 二 90".VAB=AC,AZB=ZC.又 VBD=CD,.ABDEACDF (AAS)DF 二 DE.F 在OD 上.AC是OD的切线证明二：连结DE, AD,作DF丄AC, F是垂足./AB与OD相切，DE 丄 AB.VAB=AC, BD=CDtAZ1=Z2.、 rTDE丄A

8、B, DF丄AC,: DE 二 DFF 在OD 上.AC与OD相切.说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质 证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.例8已知：如图,AC, BD与00切于A、B,且AC/ZBD,若ZC0D二90°.求证：CD是00的切线.J Z4+Z5二90：AZ1=Z5. .RtAA0C>RtABD0.AC _OC'OBODPA 二 OB,.AC _OC"OAOD又 J ZCAO二 ZCOD二90°, AAAOCAODC,AZ1=Z2.又 TOA丄AC, 0E丄CD.0E 二 0A.E点在

9、)0上.CD是O0的切线.证明二：连结0A, 0B,作0E丄CD于E,延长D0交CA延长线于F.VAC, BD 与00 相切，aFvAC丄0A, BD丄0B.VAC/7BD, ZF=ZBD0.又 V0A=0B,A AAOFABOD (AAS) OF 二 0D ZC0D=90 役CF二CD, Z1 = Z2.又 TOA丄AC, OE丄CD, OE 二 OA E点在00上.CD是OO的切线.证明三：连结A0并延长，作0E丄CD于E,VAC与Q0相切，AC 丄 A0.VAC/7BD,A0 丄 BD.TBD与©0相切于B,.A0的延长线必经过点B.AB是G)0的直径.取CD中点F,连结OF.VAC/7BD, OA=OB, CF二DF, OFAC,AZ1=ZCOF V ZC0D=90 CF=DF, OF = -CD = CF .2 Z2=ZC0F.AZ1=Z2.TOA丄AC, OE丄CD,: OE 二 OA E点在