讲项分布与正态分布

1、第8讲二项分布与正态分布、选择题i 甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的纪录知，一年中下雨天甲市占20%乙市占18%两市同时下雨占12%则甲市为雨天，乙市也为雨天的概率为（）A. 0.6B. 0.7C. 0.8D. 0.66解析甲市为雨天记为事件A,乙市为雨天记为事件B,则P（A）二0.2 , P（B）=0.18 ,P(AB = 0.12 ,P AB -P( B| AA= P0.120.20.6.答案A2.设随机变量服从正态分布N（1,；2），则函数f（x） =x2 2x不存在零点的概率为（A.-)B.C.D.155AB.64641丄c-D.168解析 设A与B中至少有一个不闭合的事件为

2、T,解析 函数f （x） = x2 2x不存在零点,则厶=4 - 4 ： 0,1,因为 N （1,；2），所以=1, P ：1 = .答案C3.一个电路如图所示，A、B、C D、E、F一 1 一一为6个开关，其闭合的概率都是2,且是相互独立的,则灯亮的概率是（）.E与F至少有一个不闭合的事件为 R,113则 P(T) = P(R = 1-f 二4，55 所以灯亮的概率 P= 1-P(T)P(FP(C)P(D)二 64.答案 B4设随机变量X服从正态分布N(2,9),若P(Xc+ 1)= P(Xc- 1),则c等于().A. 1B. 2 C. 3 D. 4解析2，由正态分布的定义，知其函数图象关

3、于x = 2对称，于是c+1+c-1c= 2.答案 B5.在正态分布N0,，数值前在(一x，- 1) U (1，+x)内的概率为(A. 0.097.0.046 C . 0.03.0.0026解析0, P(X 1) = 1-P( - 1 x 1) = 1-P( m - 3c X CBo().m m,(2C3CBm m,d = c2CB解析正态分布密度函数(|2(X)和胆(X)的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故m,又屉(x)的对称轴的横坐标值比(x)的对称轴的横坐标值大，故有mm.又c越大，曲线越“矮胖” ,c越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数(X)和炽(X)的图象

4、一样“瘦高”，(KX)明显“矮胖”，从而可知or = (2 (3.答案 D二、填空题7有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，按装潢可分精装、平 装两种，精装书70本，某人从这100本书中任取一书，恰是文科书，放回后 再任取1本，恰是精装书，这一事件的概率是 .解析设“任取一书是文科书”的事件为 A, “任取一书是精装书”的事件为 B,则A、B是相互独立的事件，所求概率为 P(AE).丄口402707据题意可知P(A)二而二5, P(B)二而二帀，2 77二 P(AB = P(A P(B = 矿25答案土8. 设随机变量X服从正态分布N(0,1),如果P(X 1) = 0.8413

5、，则P(- 1X1) = 1-P(X 1)= 1-0.841 3= 0.158 7.X N(0,1),/.尸 0.P(X1) = 0.158 7,卩(一1X1)= 1 P(X1) = 0.682 6.1卩(1X0) = 2P( 1X1) = 0.341 3.答案 0.341 39. 设随机变量E服从正态分布N(0,1)，记(x) = P( E x)，给出下列结论：(0) = 0.5 ;(x) = 1 (x)； P(| E | 2) = 2 (2) 1.则正确结论的序号是答案10商场经营的某种包装大米的质量(单位：kg)服从正态分布XN(10,0.1 2), 任选一袋这种大米，质量在9.810.

6、2 kg的概率是.解析 P(9.8 X10.2) = P(10 -0.2X10+ 0.2) = 0.954 4.答案 0.954 4三、解答题11 学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同每次游戏从这 两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖.(每次游 戏结束后将球放回原箱)(1) 求在1次游戏中，(i )摸出3个白球的概率；(ii)获奖的概率；(2) 求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X).解(1)( i )设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件A(i = 0,1,2,3)，小C2 C1

7、 1则 p(a)= c 己=5.(i )设“在1次游戏中获奖”为事件B,则B= A2U A3.p 口小、c3 C2c2 1 口八八片匚又 P(A2) = C2 C2+CT 2，且 A A互斥，117所以 P(B) = P(A2) + p(a)= 2+ 5= 10.(2)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2.7、由于X服从二项分布，即XB 3，10 .(9/. P(X= 0) = 1 f =I 丿10丿 100，.7(7)21P(X= 1) = C2 X 1 1=一，)10 I 10丿 505P(X= 2)=天2=益所以X的分布列是X012D92149P10050100921497x的数学期望

8、E(X)二ox而+代50+”而二5.12 在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60,100)，已知成绩在90分以上的学生有13人.(1) 求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？(2) 若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少?解 设学生的得分情况为随机变量 x, XN(60,100).贝U 卩=60, c = 10.(1) P(30 vX 90) = P(60 3X 10v X90) = 2【1 P(30 vXX。)= 0.022 8. P(120 X0Vx vX0) = 1 2X 0.022 8 = 0.954 4.又知 P(60 2X 10

9、v xv 60+ 2X 10) = 0.954 4. x= 60+ 2X 10= 80(分).13.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55 %.(1)确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望;(2)若某顾客到达收银台时前面恰有 2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独 立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.(注：将频

10、率视为概率)解 (1)由已知得25+ y+ 10= 55, x+ 30= 45,所以x= 15, y= 20.该超市所有 顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的 100位顾客一次购物的结 算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得P(X= 1)=15 = 3100= 20,P(X= 1.5)=303100一 1025120P(X = 2)=硕=4 P(X = 25)=礦1 10 1=5, P(X= 3)=而=帀.X的分布列为X11.522.53D33111P20104510X的数学期望为3 3111E(X)= 1X 20+ 烬 10+ 2X4 + 2.5X5+ 3

11、X10= 1.9.记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，Xi(i = 1,2)为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则P(A)= P(X1= 1 且 X2= 1)+ P(X1 = 1 且 X2= 1.5)+ P(X1= 1.5 且 X2= 1).由于各顾客的结算相互独立，且X1, X2的分布列都与X的分布列相同，所以P(A)= P(X1= 1)X P(X2= 1)+ P(X1 = 1)X P(X2= 1.5)+ P(X1 = 1.5)X P(X2= 1)333333920 X 20+ 20X 10+ 10X 20 80.故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为80.14.现

12、有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为 *命中得1分，2没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为 3，每命中一次得2 分，没有命中得0(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X的分布列及数学期望E(X).解(1)记：“该射手恰好命中一次”为事件 A, “该射手射击甲靶命中”为 事件B, “该射手第一次射击乙靶命中”为事件 C, “该射手第二次射击乙靶 命中”为事件D.32由题意，知 P(B)= 4 P(C)= P(D) = 3，由于 A= B C D + BC D + B CD,根据事件的独立性和互斥性，得P(A)= P(B C D + BC D + B CD)=P(B C D)+ P( BC D) + P( B CD)=P(B)P( C)P( D) + P( B)P(C)P( D) + P( B)P( C)P(D)736-3- 4X2- 3X3- 42- 3X2- 31(2)根据题意，知X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5根据事件的独立性和互斥性,得P(X= 0)= P( B C D)3- 4丄36-2- 3P(X= 1)= P(BC D) = P(B)P(C)P(D)X3- 4-、丿2- 3X 丿2- 3P(X = 2)= P(B CD + B C D) = P(B CD) + P( B CD)P(X= 3)= P(BCD