高等数学课件：8-8二元函数的Taylor公式

1、 高等数学（下）高等数学（下） 河海大学理学院河海大学理学院第九节 二元函数的Taylor公式 高等数学（下）高等数学（下） ).10()()!1()()(!)()(2)()()()(1000)1(00)(200000 nnnnxxnxxxfxxnxfxxxfxxxfxfxf一元函数的泰勒公式：一元函数的泰勒公式：问题：问题： 能否用多元多项式来逼近一个给定的能否用多元多项式来逼近一个给定的多元函数，并能具体地估算出误差的大小呢？多元函数，并能具体地估算出误差的大小呢？一、二元函数的泰勒公式 高等数学（下）高等数学（下）定定理理 设设),(yxfz 在在点点),(00yx的的某某一一邻邻域域内

2、内连连续续 且且 有有 直直 到到1 n阶阶 的的 连连 续续 偏偏 导导 数数 , , ),(00hyhx 为为此此邻邻域域内内任任一一点点, ,则则有有 余余项项 nR ) 10(),()!1(1),(!1),(! 21),(),(),(00100002000000 kyhxfykxhnyxfykxhnyxfykxhyxfykxhyxfhyhxfnn 高等数学（下）高等数学（下）其中记号其中记号),(00yxfykxh ),(),(0000yxkfyxhfyx ),(002yxfykxh ),(),(2),(00200002yxfkyxhkfyxfhyyxyxx 一般地一般地, ,记号记号

3、表表示示),(00yxfykxhm .),(000yxpmpmpmpmppmyxfkhC 高等数学（下）高等数学（下）(2)当当0 n时时, ,泰泰勒勒公公式式成成为为 ),(),(),(),(00000000kyhxkfkyhxhfyxfkyhxfyx 上式称为上式称为二元函数的拉格朗日中值公式二元函数的拉格朗日中值公式. .注注 (1)该定理称为该定理称为),(yxf在点在点),(00yx的的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式, ,而余项而余项 nR又称为又称为拉格朗日型余项拉格朗日型余项. . 高等数学（下）高等数学（下）推论推论 如果函数如果函数),(yxf的偏导数的偏导数),(yxfx, ,

4、),(yxfy 在某一邻域内都恒等于零在某一邻域内都恒等于零, ,则函数则函数),(yxf在该区在该区 域域内恒为常数内恒为常数. . )()0() 1 (证证引入函数引入函数).10(),()(00 tktyhtxft),()0(00yxf ).,()1(00kyhxf 显然显然 高等数学（下）高等数学（下） (3)在在泰泰勒勒公公式式中中, ,如如果果取取0, 000 yx, ,则则公公式式成成为为 n阶阶麦麦克克劳劳林林公公式式. . ),()!1(1)0 , 0(!1)0 , 0(! 21)0 , 0()0 , 0(),(12yxfyyxxnfyyxxnfyyxxfyyxxfyxfnn

5、 )10( )5( 高等数学（下）高等数学（下）注注：若若二二元元函函数数 的的各各阶阶导导数数在在点点),(00yx的的某某一一邻邻域域内内有有界界M. .于于是是, ,有有下下面面的的误误差差估估计计式式: : ),(yxfz )3(,!12!1111nnnnMnkhnMR其中其中.22kh 由由)3(式式可可知知, ,误误差差nR是是当当0 时时比比n 高高阶阶的的无无穷穷小小. . 高等数学（下）高等数学（下）例例1 1求函数求函数)1ln(),(yxyxf 的三阶麦的三阶麦克劳林公式克劳林公式. .解解 3322322)0 , 0()0 , 0(3)0 , 0(3)0 , 0(! 3

6、1)0 , 0()0 , 0(2)0 , 0(21)0 , 0()0 , 0()0 , 0(),(Rfyfxyyfxfxfyxyffxyfxffyxfyyyxyyxxyxxxyyxyxxyx 高等数学（下）高等数学（下）例例解解,11),(),(yxyxfyxfyx ,)1(1),(),(),(2yxyxfyxfyxfyyxyxx ,)1(! 2333yxyxfpp ),3,2,1 ,0( p,)1(!3444yxyxfpp ),4,3,2,1 ,0( p 高等数学（下）高等数学（下）,)0 , 0()0 , 0()0 , 0(yxyfxffyyxxyx ,)()0 ,0()0 ,0(2)0

7、,0()0 ,0(2222yxfyxyffxfyyxxyyxyxx ,)(2)0 , 0()0 , 0(3)0 , 0(3)0 , 0()0 , 0(332233yxfyfxyyfxfxfyyxxyyyxyyxxyxxx 高等数学（下）高等数学（下）又又0)0 , 0( f, ,故故,)(31)(21)1ln(332Ryxyxyxyx 其中其中).10(,)1()(41),(!414443 yxyxyxfyyxxR 高等数学（下）高等数学（下）例例2 2解解 22) 1)(1 , 0() 1() 1 , 0(2) 1 , 0(21) 1)(1 , 0() 1 , 0() 1 , 0(),( y

8、fyxfxfyfxffyxfyyxyxxyx 高等数学（下）高等数学（下）例例2 2解解,cos1,sin1, 2) 1 , 0(22xyyfxyffyx ,221) 1 , 0(, 0) 1 , 0(, 2) 1 , 0( yyxyxxfff,21) 1 , 0(, 0) 1 , 0( yxff,cos)1 (,sin1,cos123222xyfxyyfxyfyyxyxx ) 1(2212(21) 1(212),(22 yxyyxf 高等数学（下）高等数学（下）二、极值充分条件的证明定理定理 2 2（充分条件）（充分条件）设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内连续，的某

9、邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，有一阶及二阶连续偏导数，又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令 Ayxfxx ),(00， Byxfxy ),(00， Cyxfyy ),(00，利用二元函数的泰勒公式证明第八节中定理利用二元函数的泰勒公式证明第八节中定理2 高等数学（下）高等数学（下）则则),(yxf在点在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：处是否取得极值的条件如下：（1 1）02 BAC时有极值，时有极值， 当当0 A时有极大值，时有极大值， 当当0 A时有极小值；时有极小值；（2 2）02 BAC时没有极值；时没有极值；（3 3）02 BAC时可能有极

10、值时可能有极值. .证证依二元函数的泰勒公式，依二元函数的泰勒公式，对于任一对于任一)(),(0100PUkyhx 有有),(),(0000yxfkyhxff 高等数学（下）高等数学（下）),(2),(2100002kyhxhkfkyhxfhxyxx ),(002kyhxfkyy ).10( )6()1( 设设02 BAC, ,即即 . 0),(),(),(2000000 yxfyxfyxfxyyyxx)7( 因因),(yxf的的二二阶阶偏偏导导数数在在)(01PU内内连连续续, ,由由不不等等式式)7(可可知知, ,存存在在点点0P的的邻邻域域)()(0102PUPU , ,使使得得对对任任

11、一一)(),(0200PUkyhx 有有 高等数学（下）高等数学（下） . 02 xyyyxxfff)8(注注: :将将),(yxfxx在在点点),(00kyhx 处处的的值值记记为为xxf, ,其其他他类类似似. . 由由)8(式式可可知知, ,当当)(),(0200PUkyhx 时时, ,xxf及及yyf都都不不等等于于零零且且两两者者同同号号. .于于是是)6(式式可可写写成成 .21222xyyyxxxyxxxxfffkkfhfff 高等数学（下）高等数学（下） 当当kh、不同时为零且不同时为零且)(),(0200PUkyhx 时时, ,上式右端方括号内的值为正上式右端方括号内的值为正

12、, ,所以所以f 异于零且异于零且与与xxf同号同号. . 又又由由),(yxf的的二二阶阶偏偏导导数数的的连连续续性性知知xxf与与A同同号号, ,因因此此f 与与A同同号号, ,当当0 A时时),(00yxf为为极极小小值值, ,当当0 A时时),(00yxf为为极极大大值值. .)2( 设设02 BAC, ,即即 . 0),(),(),(2000000 yxfyxfyxfxyyyxx)9( 高等数学（下）高等数学（下）先假定先假定, 0),(),(0000 yxfyxfyyxx则则. 0),(00 yxfxy分别令分别令hk 及及hk , ,则由则由)6(式可得式可得 ,),(2),(2

13、1010101010102kyhxfkyhxfkyhxfhfyyxyxx 及及 ,),(2),(22020202020202kyhxfkyhxfkyhxfhfyyxyxx 其其中中.1,021 高等数学（下）高等数学（下） 当当0h时时, ,以上两式方括号内的式子分别以上两式方括号内的式子分别趋于极限趋于极限),(2),(20000yxfyxfxyxy 及及 从而当从而当h充分接近零时充分接近零时, ,两式方括号内的值有两式方括号内的值有相反的符号相反的符号, ,因此因此f 可取不同符号的值可取不同符号的值, ,所以所以),(00yxf不是极值不是极值. . 再证再证),(),(0000yxf

14、yxfyyxx与与不同时为零的情形不同时为零的情形. .不妨不妨. 0),(00 yxfxy先取先取0 k, ,于是由于是由)6(式得式得).,(21002yhxfhfxx 高等数学（下）高等数学（下）当当h充分接近零时充分接近零时, , f 与与),(00yxfxx同号同号. .但但如如果果取取 ,),(,),(0000syxfksyxfhxxxy 其中其中s是异于零但充分接近于零的数是异于零但充分接近于零的数, ,则可发现则可发现, ,当当s充分小时充分小时, , f 与与),(00yxfxx异号异号. . 如如此此证证明明了了: :在在点点),(00yx的的任任意意邻邻近近, , f 可

15、可取取不不同同符符号号的的值值, ,因因此此),(00yxf不不是是极极值值. .)3(考察函数考察函数42),(yxyxf 及及.),(32yxyxg 高等数学（下）高等数学（下）容易验证容易验证, ,这两个函数都以这两个函数都以)0 , 0(为驻点为驻点, ,且在点且在点)0 , 0(处都满足处都满足02 BAC. .但但),(yxf在点在点)0 , 0(处有极小值处有极小值, ,而而),(yxg在点在点)0 , 0(处却没有极值处却没有极值. . 高等数学（下）高等数学（下）定定理理 设设),(yxfz 在在点点),(00yx的的某某一一邻邻域域内内连连续续 且且 有有 直直 到到1 n

16、阶阶 的的 连连 续续 偏偏 导导 数数 , , ),(00hyhx 为为此此邻邻域域内内任任一一点点, ,则则有有 余余项项 nR ) 10(),()!1(1),(!1),(! 21),(),(),(00100002000000 kyhxfykxhnyxfykxhnyxfykxhyxfykxhyxfhyhxfnn 高等数学（下）高等数学（下）证证引入函数引入函数).10(),()(00 tktyhtxft显然显然),()0(00yxf ).,()1(00kyhxf 由由 的定义及多元复合函数的求导法则的定义及多元复合函数的求导法则, ,可得可得)(t ),(),(),()(000000ktyhtxfykxhktyhtxkfktyhtxhftyx 高等数学（下）高等数学（下）),(),(2),()(00200002ktyhtxfkktyhtxhkfktyhtxfhtyyxyxx ).,()(001),(111011)1(00ktyhtxfykxhyxpkhtnktyhtxpnpnnppnppnnC 高等数学（下）高等数学（下）利用一元函数的麦克劳林公式，得利用一元函数的麦克劳林公式，得).10(),