名师张齐华《交换律》(课堂实录整理)教案

1、交换律张齐华教学实录师：喜欢听故事吗？生：喜欢。师：那就给大家讲一个“朝三暮四”的故事吧。（故事略）听完故事，想说些什么吗？结合学生发言，教师板书：3+4=4+3。师：观察这一等式，你有什么发现？生1:我发现，交换两个加数的位置，和不变。（教师板书这句话）师：其他同学呢？（见没有补充）老师的发现和他很相似，但略有不同。教师随即出示：交换 3和4的位置，和不变）比较我们俩给出的结论，你想说些什么？生2：我觉得您（教师）给出的结论只代表了一个特例，但他（生1）给出的结论能代表许多情况。 生3：我也同意他（生2）的观点，但我觉得单就黑板上的这一个式子，就得出“交换两个加 数的位置，和不变”好像不太好

2、。万一其他两个数相加的时候，交换它们的位置，和不等呢! 我还是觉得您的观点更准确、更科学一些。师：的确，仅凭一个特例，就得出“交换两个加数的位置，和不变”这样的结论，似乎草率 了点。但我们不妨把这一结论当作一个猜想教师随即将生1给出的结论中的“。”改为“？ ”）。 既然是猜想，那么我们还得一生：验证。验证猜想，需要怎样的例子？师：怎么验证呢？生：我觉得可以再举一些这样的例子？师：怎样的例子，能否具体说说？生：比如再列一些加法算式，然后交换加数的位置，看看它们的和是不是跟原来一样。（学 生普遍认可这一想法）师：那你们觉得需要举多少个这样的例子呢？生：五六个吧。生：至少要十个以上。生4：我觉得应该

3、举无数个例子才行。不然，你永远没有说服力。万一你没有举到的例子中, 正好有一个加法算式，交换它们的位置，和变了呢？（有人点头赞同）生5：我反对！举无数个例子是不可能的，那得举到什么时候才好？如果每次验证都需要这 样的话，那我们永远都别想得到结论！师：我个人赞同你（生5）的观点，但觉得他（生4）的想法也有一定道理。综合两人的观点，我 觉得是不是可以这样，我们每人都来举三四个例子，全班合起来，那就多了。同时，大家也 留心一下，看能不能找到“交换加数位置，和发生变化”的情况，如果有，及时告诉大家, 行吗？学生一致赞同，随后在作业纸上尝试举例。师：正式交流之前，老师想给大家展示同学们在刚才举例过程中出

4、现的两种不同的情况。 教师展示如下两种情况：1.先写出“12+23”和“23+12”，计算后，再在两个算式之间添上2.不计算，直接从左往右依次写下“12+23” “ = ” “23+12”师：比较两种举例的情况，想说些什么？生6：我觉得第二种情况根本不能算举例。他连算都没算，就直接将等号写上去了。这叫不 负责任。（生笑）生7：我觉得举例的目的就是为了看看交换两个加数的位置，和到底等不等，但这位同学（指 第二种情况）只是照样子写了一个等式而已，至于两边是不是相等，他想都没想。这样举例 是不对的，不能验证我们的猜想。大家对生6、生7的发言表示赞同。师：哪些同学是这样举例的，能举手示意一下吗？几位同

5、学不好意思地举起了手，师：明白问题出在哪儿了吗？（生点头）为了验证猜想，举例可不能乱举，这样，再给你们几 位一次补救的机会，迅速看看你们写出的算式，左右两边是不是真的相等。这几位学生迅速核对、确认。师：其余同学，你们举了哪些例子，又有怎样的发现？生8：我举了三个例子，7+8=8+7, 2+9=9+2, 4+7=7+4。从这些例子来看，交换两个加数的 位置，和不变。生9：我也举了三个例子，54=4+5, 30+15=15+30, 200+500=500+200a我也觉得，交换两个 加数的位置，和不变。（注：事实上，选生8、生9进行交流，是教师有意而为之。）师：两位同学举的例子略有不同，一个全是一

6、位数加一位数，另一个则有一位数加一位数、 两位数加两位数、三位数加三位数。比较而言，你更欣赏谁？生：我更欣赏第一位同学（生8）,他举的例子很简单，一看就明白。生：我不同意。如果举的例子都是一位数加一位数，那么我们最多只能说，交换两个一位数 的位置，和不变。至于加数是两位数、三位数、四位数等，就不知道了，我更喜欢第二位同 学的（生9）。生：我也更喜欢第二位同学的，她举的例子更全而。我觉得，举例就应该这样，要考虑到方 方面而。（多数学生表示赞同）师：如果这样的话，那你们觉得下而这位同学的举例，又给了你哪些新的启迪？教师出示作业纸：0+8=8+0, 6+21=21+6, 1/9+4/9=4/9+1/

7、9.生：我们在举例时，都没考虑到0的问题，但他考虑到了。生：他还举到了分数的例子，让我明白了，不但交换两个整数的位置，和不变，交换两个分 数的位置，和也不变。师：没错，因为我们不只是要说明“交换两个整数的位置，和不变”，而是要说明，交换一 生：任意两个加数的位置，和不变。师：看来，举例验证猜想，还有不少的学问。现在，有了这么多例子，能得出“交换两个加 数的位置，和不变”这样的结论了吗？（学生均表示认同）有没有谁举例时发现了反面的例子， 也就是交换两个加数位置，和变了的？（学生摇头）这样看来，我们能验证刚才的猜想吗？ 生：能。教师重新将“？ ”改成“. ”，并补充成为：“在加法中，交换两个加数的

8、位置，和不变。” 师：回顾刚才的学习，除了得到这一结论外，你还有什么其他收获？生：我发现，只举一两个例子，是没法验证某个猜想的，应该多举一些例子才行。生：举的例子尽可能不要雷同，最好能把各种情况都举到。师：从朝三暮四”的故事中，我们得出“3+4=4+3”，进而形成猜想。随后，又通过举例， 验证了猜想，得到了这一规律。该给这一规律起什么名称呢？ 学生交流后，教师揭示“加法交换律”，并板书。师：在这一规律中，变化的是两个加数的一一（板书：变）生：位置。师：但不变的是（板书：不变）生:它们的和。师：原来，“变”和“不变”有时也能这样巧妙地结合在一起。结论，是终点还是新的起点？师：从个别特例中形成猜想

9、，并举例验证，是一种获取结论的方法。但有时，从已有的结论 中通过适当变换、联想，同样可以形成新的猜想，进而形成新的结论。比如（教师指读刚才 的结论，加法的“加”字予以重音），“在加法中，交换两个加数的位置，和不变。”那么， 在一生10：（似有所悟）减法中，交换两个数的位置，差会不会也不变呢？学生中随即有人作出回应，“不可能，差肯定会变。” 师：不急于发表意见。这是他（生10）通过联想给出的猜想。教师随即板书：“猜想一：减法中，交换两个数的位置，差不变？ ”生11:同样，乘法中，交换两个乘数的位置，积会不会也不变？教师板书：“猜想二：乘法中，交换两个数的位置，积不变？ ”生12：除法中，交换两个

10、数的位置，商会不变吗？教师板书：“猜想三：除法中，交换两个数的位置，商不变？ ”师：通过联想，同学们由“加法”拓展到了减法、乘法和除法，这是一种很有价值的思考， 除此以外，还能通过其他变换，形成不一样的新猜想吗？生：我在想，如果把加法交换律中“两个加数”换成“三个加数”“四个加数”或更多个加 数，不知道和还会不会不变？师：这是一个与众不同的、全新的猜想！如果猜想成立，它将大大丰富我们对“加法交换律” 的认识。（教师板书“猜想四：在加法中，交换几个加数的位置，和不变？”）现在，同学们 又有了不少新的猜想。这些猜想对吗？又该如何去验证呢？选择你最感兴趣的一个，用合适 的方法试着进行验证。学生选择猜

11、想，举例验证。教师参与，必要时给予适当的指导。师：哪些同学选择了 “猜想一”，又是怎样验证的？生12：我举了两个例子,结果发现8-6=2,但6-8却不够减：3/5-1/5=2/5,但1/5-3/5却不 够减。所以我认为，减法中交换两个数的位置，差会变的，也就是减法中没有交换律。师：根据他（生12）举的例子，你们觉得他得出的结论有道理吗？生:有。师：但老师举的例子中，交换两数位置，差明明没变嘛。你看，3 - 3=0,交换两数的位置 后，3-3还是得0：还有，14-14=14-14, 100-100=100-100,这样的例子多着呢。生：我反对，老师您举的例子都很特殊，如果被减数和减数不一样，那就

12、不行了。生13：我还有补充，我只举了一个例子，2-11-2,我就没有继续往下再举例。师：那又是为什么呢？生13：因为我觉得，只要有一个例子不符合猜想，那猜想肯定就错了。师：同学们怎么理解他（生13）的观点？生：我赞同，既然己经有一个例子说明“减法中交换两数的位置，差变了，那我们就绝不 可能再得出“在减法中，交换两数的位置，差不变这样的结论了。生：我突然发现，要想说明某个猜想是对的，我们必须举好多例子来证明，但要想说明某个 猜想是错的，只要举出一个不符合的例子就可以了。师：瞧，多深刻的认识！事实上，你们刚才所提到的符合猜想的领子，数学上我们就称作“正 例”，至于不符合猜想的例子，数学上我们就称作

13、生：反例。师：正例越多，越能说明猜想的正确，但反例只要出现一个生：那么猜想肯定就错了。师：这样看来，尽管老师也举了许多的正例，但问题在哪儿？生：问题在，我们已经找到反例了，而且反例非常多。师：没错，这正是猜想与验证的奥秘！那么，关于其他几个猜想，你们又有怎样的发现？ 生14：我研究的是乘法。通过举例，我发现乘法中交换两数的位置，积也不变。师：能给大家说说你举的例子吗？生 14:5X4=4X5, 0X100=100X0, 18X12=12X18。另有数名同学交流自己举的例子，结果和生14类似，都局限在整数范闱内。师：那你们都得出了怎样的结论？生：在乘法中，交换两数的位置，积不变。生：我想补充。应

14、该是，在整数乘法中，交换两数的位置，积不变，这样说更保险一些。师：你的思考很严密。在目前的学习范围内，我们暂且先得出这样的结论吧，等学完分数乘 法、小数乘法后，再补充举些例子试试，到时候，我们再来完善这一结论，你们看行吗？ 生：行！师：这就是乘法交换律。（教师板书：乘法交换律）有研究除法的吗？生：我原来举了三个例子，听了大家刚才的发言（关于减祛的）后，现在我觉得只要举一个例 子就行了，像8 : 22+8,所以我觉得，除法中，交换两数的位置，商会变。师：能认真倾听别人的发言，并及时调整自己的想法，真棒！关于这一结论，还有什么补充 吗？（学生普遍表示赞同）有没有谁研究了 “猜想四”？生：我举了好几

15、个例子，比如1+2+3=3+2+1, 20+30+40+50=50+40+30+20等。发现交换三个、 四个、五个加数的位置，和都不变。生：我也举了一些例子，而且我还发现，这几个加数不管怎样交换位置，它们的和都不会发 生变化。生：其实，我觉得不举例也能知道。打个比方，比如我要把几个口袋中的钱加起来，不管我 怎样交换几个口袋的位置，钱的总数一定还是那么多。不会因为我交换了它们的位置，钱就 变多或变少。所以我也认为，两个加数也好，三个加数、四个加数也好，交换它们的位置, 和都不变。师：唯，用生活中的事例来说明数学中的规律，更加通俗易懂了。这样看来，原先我们得出 的结论，现在还可以改得更准确一些。生

16、：我觉得可以改成，“在加法中，交换两个或两个以上加数的位置，和不变。”生：可以改成“在加法中，交换几个加数的位置，和不变。”教师更正原先的板书，使其更全而、更准确。随后，教师引导学生选择完成教材中的部分习题（略），从正、反两而巩固对加法、乘法交换 律的理解，并借助实际问题，沟通交换律与以往算法多样化之间的联系。怎样的收获更有价值？师：通过今天的学习，你有哪些收获？生：我明白了，加法和乘法中有交换律，但却没有减法交换律或除法交换律。生：我发现，有了猜想，还需要举许多例子来验证，这样得出的结论才准确。生：我还发现，只要能举出一个反例，那我们就能肯定猜想是错误的。生：举例验证时，例子应尽可能多，而且，应尽可能举一些特殊的例子，这样，得出的结论 才更可靠。师：只有一个例子，行吗？生：不行，万一遇到特殊情况就不好了。作为补充，教师给学生介绍了如下故事：三位学者由伦敦去苏格兰参加会议，越过边境不久，发现了一只黑羊，“真有意思，”天文 学家说，“苏格兰的羊都是黑的。”“不对吧。”物理学家说，“我们只能得出这样的结论：在苏格兰有一些羊是黑色的。” 数学家马上接着说：“我觉得下面的结论可能更准确，那就是：在苏格兰，至少有一个地方, 有至少一