2020-2021备战中考数学专题题库∶圆的综合的综合题含答案

1、2020-2021备战中考数学专题题库圆的综合的综合题含答案一、圆的综合1如图，A过OBCD的三顶点O、D、C，边OB与A相切于点O，边BC与O相交于点H，射线OA交边CD于点E，交A于点F，点P在射线OA上，且PCD=2DOF，以O为原点，OP所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，点B的坐标为（0，2）（1）若BOH=30，求点H的坐标；（2）求证：直线PC是A的切线；（3）若OD=10，求A的半径【答案】（1）（1，3）；（2）详见解析；（3）53.【解析】【分析】（1）先判断出OH=OB=2，利用三角函数求出MH，OM，即可得出结论；（2）先判断出PCD=DAE，进而判断出PCD=CAE，

2、即可得出结论；（3）先求出OE3，进而用勾股定理建立方程，r2-（3-r）2=1，即可得出结论【详解】（1）解：如图，过点H作HMy轴，垂足为M四边形OBCD是平行四边形，B=ODC四边形OHCD是圆内接四边形OHB=ODCOHB=BOH=OB=2在OMH中，BOH=30，MH=1OH=1，OM=3MH=3，2点H的坐标为（1，3），（2）连接ACOA=AD，DOF=ADODAE=2DOFPCD=2DOF，PCD=DAEOB与O相切于点AOBOFOBCDCDAFDAE=CAEPCD=CAEPCA=PCD+ACE=CAE+ACE=90直线PC是A的切线；（3）解：O的半径为r在OED中，DE=1

3、1CD=OB=1，OD=10，22OE3OA=AD=r，AE=3r在DEA中，根据勾股定理得，r2（3r）2=1解得r=53【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，勾股定理，切线的性质和判定，构造直角三角形是解本题的关键2（类比概念）三角形的内切圆是以三个内角的平分线的交点为圆心，以这点到三边的距离为半径的圆，则三角形可以称为圆的外切三角形，可以得出三角形的三边与该圆相切以此类推，如图1，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形（性质探究）如图1，试探究圆外切四边形的ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系猜想结论：（要求用文字语言叙述）写出证明过程

4、（利用图1，写出已知、求证、证明）（性质应用）初中学过的下列四边形中哪些是圆外切四边形（填序号）A：平行四边形：B：菱形：C：矩形；D：正方形如图2，圆外切四边形ABCD，且AB=12，CD=8，则四边形的周长是圆外切四边形的周长为48cm，相邻的三条边的比为5：4：7，求四边形各边的长【答案】见解析.【解析】【分析】（1）根据切线长定理即可得出结论；（2）圆外切四边形是内心到四边的距离相等，即可得出结论；根据圆外切四边形的对边和相等，即可求出结论；根据圆外切四边形的性质求出第四边，利用周长建立方程求解即可得出结论【详解】性质探讨：圆外切四边形的对边和相等，理由：如图1，已知：四边形ABCD的

5、四边AB，BC，CD，DA都于O相切于G，F，E，H求证：AD+BC=AB+CD证明：AB，AD和O相切，AG=AH，同理：BG=BF，CE=CF，DE=DH，AD+BC=AH+DH+BF+CF=AG+BG+CE+DE=AB+CD，即：圆外切四边形的对边和相等故答案为：圆外切四边形的对边和相等；性质应用：根据圆外切四边形的定义得：圆心到四边的距离相等平行四边形和矩形不存在一点到四边的距离相等，而菱形和正方形对角线的交点到四边的距离相等故答案为：B，D；圆外切四边形ABCD，AB+CD=AD+BCAB=12，CD=8，AD+BC=12+8=20，四边形的周长是AB+CD+AD+BC=20+20=

6、40故答案为：40；相邻的三条边的比为5：4：7，设此三边为5x，4x，7x，根据圆外切四边形的性质得：第四边为5x+7x4x=8x圆外切四边形的周长为48cm，4x+5x+7x+8x=24x=48，x=2，此四边形的四边为4x=8cm，5x=10cm，7x=14cm，8x=16cm【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了新定义圆的外切的性质，四边形的周长，平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质，切线长定理，理解和掌握圆外切四边形的定义是解答本题的关键3已知ABCD的周长为26，ABC=120，BD为一条对角线，O内切于ABD，E，F，G为切点，已知O的半径为3求ABCD的面积【答案】203【解析】

7、【分析】首先利用三边及O的半径表示出平行四边形的面积，再根据题意求出AB+AD=13，然后利用切线的性质求出BD的长即可解答.【详解】设O分别切ABD的边AD、AB、BD于点G、E、F；平行四边形ABCD的面积为S；则S=2SABD=212(ABOE+BDOF+ADOG)=3（AB+AD+BD）；平行四边形ABCD的周长为26，AB+AD=13，S=3(13+BD)；连接OA；由题意得：OAE=30，AG=AE=3；同理可证DF=DG，BF=BE；DF+BF=DG+BE=1333=7，即BD=7，S=3（13+7）=203即平行四边形ABCD的面积为2034如图,四边形ABCD是O的内接四边形

8、,AB=CD(1)如图(1),求证:ADBC；(2)如图(2),点F是AC的中点,弦DGAB,交BC于点E,交AC于点M,求证:AE=2DF；(3)在(2)的条件下,若DG平分ADC,GE=53,tanADF=43,求O的半径。【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）129【解析】试题分析：(1)连接AC由弦相等得到弧相等，进一步得到圆周角相等，即可得出结论（2）延长AD到N，使DN=AD，连接NC得到四边形ABED是平行四边形，从而有AD=BE，DN=BE由圆内接四边形的性质得到NDC=B即可证明ABECND，得到AE=CN，再由三角形中位线的性质即可得出结论（3）连接BG，过点A

9、作AHBC，由（2）知AEB=ANC，四边形ABED是平行四边形，得到AB=DE再证明CDE是等边三角形，BGE是等边三角形，通过解三角形ABE，得到AB，HB，AH，HE的长，由EC=DE=AB，得到HC的长在AHC中，由勾股定理求出AC的长作直径AP，连接CP，通过解APC即可得出结论试题解析：解：(1)连接ACAB=CD，弧AB=弧CD，DAC=ACB，ADBC（2）延长AD到N，使DN=AD，连接NCADBC，DGAB，四边形ABED是平行四边形，AD=BE，DN=BEABCD是圆内接四边形，NDC=BAB=CD，ABECND，AE=CNDN=AD，AF=FC，DF=1CN，AE=2D

10、F2（3）连接BG，过点A作AHBC，由（2）知AEB=ANC，四边形ABED是平行四边形，AB=DEDFCN，ADF=ANC，AEB=ADF，tanAEB=tanADF=43，DG平分ADC，ADG=CDGADBC，ADG=CED，NDC=DCEABC=NDC，ABC=DCEABDG，ABC=DEC，DEC=ECD=EDC，CDE是等边三角形，AB=DE=CEGBC=GDC=60，G=DCB=60，BGE是等边三角形，BE=GE=53tanAEB=tanADF=43，设HE=x，则AH=43xABE=DEC=60，BAH=30，BH=4x，AB=8x，4x+x=53，解得：x=3，AB=83

11、，HB=43，AH=12，EC=DE=AB=83，AP=ACHC=HE+EC=3+83=93在AHC中，AC=AH2+HC2=122+(93)2=343作直径AP，连接CP，ACP=90，P=ABC=60，sinP=343=2129，O的半径是129sin6032ACAP，5如图，AB为eO的直径，弦CD/AB，E是AB延长线上一点，CDB=ADE(1)DE是eO的切线吗？请说明理由；(2)求证：AC2=CDBE【答案】（1）结论：DE是eO的切线，理由见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接OD，只要证明ODDE即可；（2）只要证明：AC=BD，VCDBVDBE即可解决问题.【详

12、解】(1)解：结论：DE是eO的切线理由：连接ODAC=BD，QCDB=ADE，ADC=EDB，QCD/AB，CDA=DAB，QOA=OD，OAD=ODA，ADO=EDB，QAB是直径，ADB=90o，ADB=ODE=90o，DEOD，DE是eO的切线(2)QCD/AB，ADC=DAB，CDB=DBE，nnAC=BD，QDCB=DAB，EDB=DAB，EDB=DCB，VCDBVDBE，CDDB=，BDBEBD2=CDBE，AC2=CDBE【点睛】.本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，准确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型6如图，已

13、知四边形ABCD是矩形，点P在BC边的延长线上，且PD=BC，A经过点B，与AD边交于点E，连接CE.（1）求证：直线PD是A的切线；（2）若PC=25，sinP=23，求图中阴影部份的面积（结果保留无理数）【答案】（1）见解析；（2）20-4.【解析】分析：（1）过点A作AHPD，垂足为H，只要证明AH为半径即可.（2）分别算出CED的面积，扇形ABE的面积，矩形ABCD的面积即可.详解：（1）证明：如图，过A作AHPD，垂足为H，（2）如图，在PDC中，sinP=CD四边形ABCD是矩形，AD=BC，ADBC，PCD=BCD=90，ADH=P，AHD=PCD=90，又PD=BC，AD=PD

14、，ADHDPC，AH=CD，CD=AB，且AB是A的半径，AH=AB,即AH是A的半径，PD是A的切线.2PD3，PC=25，令CD=2x，PD=3x，由由勾股定理得：（3x）2-(2x)2=(25)2，解得：x=2，CD=4，PD=6，AB=AE=CD=4，AD=BC=PD=6，DE=2，矩形ABCD的面积为64=24，CED的面积为1242=4，扇形ABE的面积为1242=4，图中阴影部份的面积为24-4-4=20-4.点睛：本题考查了全等三角形的判定，圆的切线证明，三角形的面积，扇形的面积，矩形的面积.7如图1，在ABC中，AC=8cm，BC=6cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结

15、DE，点P从点A出发，沿折线ADDE运动，到点E停止，点P在AD上以5cm/s的速度运动，在DE上以1cm/s的速度运动，过点P作PQAC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN设点P的运动时间为t（s）（1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为_cm（用含t的代数式表示）（2）当正方形PQMNABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围（3）如图2，若点O在线段BC上，且CO=1，以点O为圆心，1cm长为半径作圆，当点P开始运动时，O的半径以0.2cm/s的速度开始不断增大，当O与正方形PQMN的边所在直线相切时，求此时的t值【答案】（1

16、）t1；（2）S=310t2+3t+3（1t4）；（3）t=s83【解析】分析：（1）根据勾股定理求出AB，根据D为AB中点，求出AD，根据点P在AD上的速度，即可求出点P在AD段的运动时间，再求出点P在DP段的运动时间，最后根据DE段运动速度为1cm/s，即可求出DP；（2）由正方形PQMNABC重叠部分图形为五边形，可知点P在DE上，求出DP=t1，PQ=3，根据MNBC，求出FN的长，从而得到FM的长，再根据S=S梯形FMHD+S矩形DHQP，列出S与t的函数关系式即可；（3）当圆与边PQ相切时，可求得r=PE=5t，然后由r以0.2cm/s的速度不断增大，r=1+0.2t，然后列方程求

17、解即可；当圆与MN相切时，r=CM=8t=1+0.2t，从而可求得t的值详解：（1）由勾股定理可知：AB=D、E分别为AB和BC的中点，AC2BC2=10DE=11AC=4，AD=AB=5，22点P在AD上的运动时间=55=1s，当点P在线段DE上运动时，DP段的运动时间为（t1）sDE段运动速度为1cm/s，DP=（t1）cm故答案为t1（2）当正方形PQMNABC重叠部分图形为五边形时，有一种情况，如下图所示当正方形的边长大于DP时，重叠部分为五边形，3t1，t4，DP0，t10，解得：t1，1t4DFNABC，DNAC84=FNBC634-tDN=PNPD，DN=3（t1）=4t，34（

18、4-t）=，FN=，FN34FM=33（4-t）3t=，44S=S梯形FMHD+S矩形DHQP，S=13t3（+3）（4t）+3（t1）=t2+3t+3（1t4）248（3）当圆与边PQ相切时，如图：当圆与PQ相切时，r=PE，由（1）可知，PD=（t1）cm，PE=DEDP=4（t1）=（5t）cmr以0.2cm/s的速度不断增大，r=1+0.2t，1+0.2t=5t，解得：t=10s3当圆与MN相切时，r=CM由（1）可知，DP=（t1）cm，则PE=CQ=（5t）cm，MQ=3cm，MC=MQ+CQ=5t+3=（8t）cm，1+0.2t=8t，解得：t=35s6P到E点停止，t14，即t

19、5，t=356s（舍）综上所述：当t=103s时，O与正方形PQMN的边所在直线相切点睛：本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了勾股定理、相似三角形的性质和判定、正方形的性质，直线和圆的位置关系，依据题意列出方程是解题的关键8如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB.1用直尺和圆规作出AB所在圆的圆心O；(要求保留作图痕迹，不写作法)2若AB的中点C到弦AB的距离为20m，AB80m，求AB所在圆的半径【答案】(1)见解析；（2）50m【解析】分析：1连结AC、BC，分别作AC和BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O，如图1；2连接OA，OC，OC交AB于D，如图2，根据垂径定理的推

20、论，由C为AB的中点得到OCAB，ADBD12AB40，则CD20，设eO的半径为r，在RtVOAD中利用勾股定理得到r2详解：1如图1，(r20)2402，然后解方程即可点O为所求；(2)连接OA，OC，OC交AB于D，如图2，QC为AB的中点，OCAB，1AD=BD=AB=40，2设eO的半径为r，则OA=r，OD=OD-CD=r-20，在RtVOAD中，QOA2=OD2+AD2，r2=(r-20)2+402，解得r=50，即AB所在圆的半径是50m点睛：本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，在利用数学知识解决实际问题时，要善于把实际问题与数学中的理论知识联系起来，能将生活中的问题抽象为数学

21、问题9如图，RtDABC内接于O，AC=BC，BAC的平分线AD与O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连接CD，G是CD的中点，连接OG.(1)判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明;(2)求证:AE=BF;(3)若OGgDE=3(2-2)，求O的面积.【答案】（1）OGCD（2）证明见解析（3）6【解析】试题分析：（1）根据G是CD的中点，利用垂径定理证明即可；（2）先证明ACEBCF全等，再利用全等三角形的性质即可证明；（3）构造等弦的弦心距，运用相似三角形以及勾股定理进行求解试题解析：（1）解：猜想OGCD证明如下：如图1，连接OC、ODOC=OD，G是C

22、D的中点，由等腰三角形的性质，有OGCD（2）证明：AB是O的直径，ACB=90，而CAE=CBF（同弧所对的圆周角相等）在ACE和BCF中，ACE=BCF=90，AC=BC，CAE=CBF，ACEBCF（ASA），AE=BF（3）解：如图2，过点O作BD的垂线，垂足为H，则H为BD的中点，OH=AD=2OH，又CAD=BADCD=BD，OH=OG在BDE和ADB中，12AD，即DBE=DAC=BAD，BDEADB，BDDE=，即BD2=ADDE，ADDB6BD2=ADDE=2OGDE=（2-2）又BD=FD，BF=2BD，（BF2=4BD2=242-2），设AC=x，则BC=x，AB=2xA

23、D是BAC的平分线，FAD=BAD在ABD和AFD中，ADB=ADF=90，AD=AD，=FAD=BAD，ABDAFD（ASA），AF=AB=2x，BD=FD，CF=AFAC=2x-x（2-1）x在BCF中，由勾股定理，得：22（BF2=BC2+CF2=x2+（2-1）x2=（2-2）x2，由、，得（2-2）x2=242-2），x2=12，解得：x=23或-23（舍去），AB=2x=223=26，O的半径长为6，SO=（6）2=6点睛：本题是圆的综合题解题的关键是熟练运用垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质10(8分)已知AB为O的直径，OCAB，弦DC与OB交于点F，在直线AB上有一点

24、E，连接ED，且有EDEF.(1)如图，求证：ED为O的切线；(2)如图，直线ED与切线AG相交于G，且OF2，O的半径为6，求AG的长【答案】（1）见解析；（2）12【解析】试题分析：（1）连接OD，由ED=EF可得出EDF=EFD，由对顶角相等可得出EDF=CFO；由OD=OC可得出ODF=OCF，结合OCAB即可得知EDF+ODF=90，即EDO=90，由此证出ED为O的切线；（2）连接OD，过点D作DMBA于点M，结合（1）的结论根据勾股定理可求出ED、EO的长度，结合DOE的正弦、余弦值可得出DM、MO的长度，根据切线的性质可知GAEA，从而得出DMGA，根据相似三角形的判定定理即可

25、得出EDMEGA，根据相似三角形的性质即可得出GA的长度试题解析：解：（1）连接OD，ED=EF，EDF=EFD，EFD=CFO，EDF=CFOOD=OC，ODF=OCFOCAB，CFO+OCF=EDF+ODF=EDO=90，ED为O的切线；（2）连接OD，过点D作DMBA于点M，由（1）可知EDO为直角三角形，设ED=EF=a，EO=EF+FO=a+2，由勾股定理得，EO2=ED2+DO2，即（a+2）2=a2+62，解得，a=8，即ED=8，EO=10sinEOD=ED4OD3=，cosEOD=，EO5OE5DM=ODsinEOD=6424318=，MO=ODcosEOD=6=，EM=EO

26、MO=105555GA切O于点A，GAEA，DMGA，EDMEGA，DM1832=，EA=EO+OA=10+6=1655EM=，即GAEA24325=5，解得GA=12GA16点睛：本题考查的是切线的判定、垂径定理和勾股定理的应用、等腰三角形的性质、角的三角函数值、相似三角形的判定及性质，解题的关键是：（1）通过等腰三角形的性质找出EDO=90；（2）通过相似三角形的性质找出相似比11如图1，延长O的直径AB至点C，使得BC=12AB，点P是O上半部分的一个动点（点P不与A、B重合），连结OP，CP（1）C的最大度数为；（2）当O的半径为3OPC的面积有没有最大值？若有，说明原因并求出最大值；

27、若没有，请说明理由；（3）如图2，延长PO交O于点D，连结DB，当CP=DB时，求证：CP是O的切线【答案】（1）30；（2）有最大值为9，理由见解析；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）当PC与O相切时，OCP的度数最大，根据切线的性质即可求得；（2OPC的边OC是定值，得到当OC边上的高为最大值时，OPC的面积最大，当POOC时，取得最大值，即此时OC边上的高最大，于是得到结论；（3）根据全等三角形的性质得到AP=DB，根据等腰三角形的性质得到A=C，得到CO=OB+OB=AB，推出APBCPO，根据全等三角形的性质得到CPO=APB，根据圆周角定理得到APB=90，即可得到结论试题

28、解析：（1）当PC与O相切时，OCP最大如图1，所示：sinOCP=OP21=，OCP=30OC42OCP的最大度数为30，故答案为：30；（2）有最大值，理由：OPC的边OC是定值，当OC边上的高为最大值时，OPC的面积最大，而点P在O上半圆上运动，当POOC时，取得最大值，即此时OC边上的高最大，也就是高为半径长，最大值OPC=11OCOP=63=9；22OAPOBD中，AOP=BOD，OAPOBD，AP=DB，（3）连结AP，BP，如图2，OA=ODOP=OBAPBCPO中，A=C，APBCPO，CPO=APB，AB=COPC=DB，AP=PC，PA=PC，A=C，BC=1AB=OB，C

29、O=OB+OB=AB，2AP=CPAB为直径，APB=90，CPO=90，PC切O于点P，即CP是O的切线位于AB的上方，AB6，OP=m，sinP，如图所示另一个半径为6的eO经过点3C、D，圆心距OOn12已知P是eO的直径BA延长线上的一个动点，P的另一边交eO于点C、D，两点111（1）当m=6时，求线段CD的长；（2）设圆心O1在直线AB上方，试用n的代数式表示m；（3）POO1在点P的运动过程中，是否能成为以OO1为腰的等腰三角形，如果能，试求出此时n的值；如果不能，请说明理由【答案】(1)CD=25;(2)m=3n2-812n;(3)n的值为995或1555（2）解POH，得到O

30、H在RtVOCH和OCH中，由勾股定理即可得到3【解析】分析：（1）过点O作OHCD，垂足为点H，连接OC解POH，得到OH的长由勾股定理得CH的长，再由垂径定理即可得到结论；m1结论；（3）POO1成为等腰三角形可分以下几种情况讨论：当圆心O1、O在弦CD异侧时，分OPOO1和O1POO1当圆心O1、O在弦CD同侧时，同理可得结论详解：（1）过点O作OHCD，垂足为点H，连接OC在POH中，sinP，PO=6，OH=2（2）在POH中，sinP，POm，OH在OCH中，CH29-OCH中，CH236-n-m31Q3AB6，OC3由勾股定理得：CH=5OHDC，CD=2CH=251Q3m232

31、在1m3可得：36-n-9-，解得：mi）OPOO，即mn，由n，解得：n92nii）OPOO，由（n-m2）+m2-（）2n，33m23m23n2-8132n（3）POO1成为等腰三角形可分以下几种情况：当圆心O、O在弦CD异侧时13n2-811即圆心距等于eO、eO1的半径的和，就有eO、eO1外切不合题意舍去m11解得：mn，即n，解得：n223n2-81332n9515当圆心O、O在弦CD同侧时，同理可得：m2nPOO是钝角，只能是m=n，即n，解得：n2n1181-3n281-3n2955综上所述：n的值为995或1555点睛：本题是圆的综合题考查了圆的有关性质和两圆的位置关系以及解

32、直径三角形解答（3）的关键是要分类讨论13如图，四边形ABCD内接于O，BAD=90，AD、BC的延长线交于点F，点E在CF上，且DEC=BAC（1）求证：DE是O的切线；（2）当AB=AC时，若CE=2，EF=3，求O的半径【答案】（1）证明见解析；（2）354【解析】【分析】（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BDDE，即可得出结论；（2）根据余角的性质和等腰三角形的性质得到F=EDF，根据等腰三角形的判定得到DE=EF=3，根据勾股定理得到CD=DE2-CE2=5，证明CDEDBE，根据相似三角形的性质即可得到结论【详解】（1）如图，连接BDBAD=90，点O必在BD上，即：BD是直

33、径，BCD=90，DEC+CDE=90DEC=BAC，BAC+CDE=90BAC=BDC，BDC+CDE=90，BDE=90，即：BDDE点D在O上，DE是O的切线；（2）BAF=BDE=90，F+ABC=FDE+ADB=90AB=AC，ABC=ACBADB=ACB，F=FDE，DE=EF=3CE=2，BCD=90，DCE=90，CD=DE2-CE2=5BDE=90，CDBE，DCE=BDE=90DEC=BED，CDEDBE，CDBD5335=，BD=CEDE22，O的半径=354【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，求出DE=EF是解答本题的关键14如图，已知AB为O的直径，AB=8，点C和点D是O上关于直线AB对称的两个点，连接OC、AC，且BOC90，直线BC和直线AD相交于点E，过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F，与直线AD相交于点G，且GAFGCE（1）求证：直线CG为O的切线；（2）若点H为线段OB上一点，连接CH，满足CBCH，CBHOBC求OHHC的最大值BCHBBC2【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；