双等腰三角形教师版

1、双等腰三角形等腰三角形是几何题目中常见的基本图形，两个等腰三角形为背景的题目也屡见不鲜，多数为两 个等腰三角形共点旋转，或两个等腰三角形的底在同一直线上，或两个等腰三角形的腰在同一直线上, 那么有着特殊位置的两个等腰三角形会有什么结论那？共腰双等腰首先我们就一起研究一下两个共腰的等腰三角形有什么特性及其应用，共腰双等腰是指两个等腰三角形各有一条腰在同一直线上，而剩余的腰和底不在同一直线上，那么两个等腰三角形剩余腰与腰的夹角为两个等腰三角形剩余底与底夹角的2倍。模型一、如图，AB=AC, AD=AE,求证：ZBAD=2ZEDCo/ AB=AC,工设 ZABC= ZACB= a , AD=AE,，

2、设 NADE= NAED二 B ,其中两个等腰三角形的一条腰AE与AC共线，那么剩余的底DE与剩余的底BC的夹角NEDC=B - a ,那么剩余的腰AB与剩余的腰AD的夹角NBAD=/ADC-NABC=2 B2。， AZBAD=2ZEDCo模型一变式、如图，AB=AC, ZBAD=2ZEDC,求证：AD=AEO 如图，AD二AE, NBAD=2NEDC,求证：AB=ACoword模型二、如图，AB=AC=AD,求证：(1) ZCAD=2ZCBD： (2) ZBAC=2ZBDC.TAB=AD,，设NABD二NADB二。，AB=AC,，设 ZABC= ZACB= B , 其中两个等腰三角形的一条腰

3、AB与AB共线， 那么剩余的底BD与剩余的底BC的夹角ZDBC= B口， 那么剩余的腰AC与剩余的腰AD ZCAD=ZBAD-ZBAC=2 P -2 a , AZCAD=2ZCBD.同理可证，ZBAC=2ZBDC.模型二变式、如图，AB=AC, ZCAD=2ZCBD,求证：AB二AD。如图，AB=AC, NBAC=2NBDC,求证：AB二AC.模型二思考、等腰AABC与等腰AACD也可以看成是两个共腰的等腰三角形，那么图中谁是剩余腰与腰的夹角，谁是剩余底与底的夹角，它们之间还是否满足2倍的关系？模型三、如图，AB=AC=AD,求证：(1) ZCAD=2ZCBD： (2) ZBAC=2ZBDC；

4、 (3) ZBAD=2ZBCD.TAB=AD,，设NABD二NADB二。，AB=AC,，设 ZABC= ZACB= B ,其中两个等腰三角形的一条腰AB与AB共线，那么剩余的底BD与剩余的底BC的夹角ZDBC= B +（】， 那么剩余的腰AC与剩余的腰AD的夹角ZCAD=2 B +2。， AZCAD=2ZCBD.同理可证NBAC=2NBDC； ZBAD=2ZBCDo模型二与模型三都可以看成点A为4BCD的外心。模型一、二、三中两个等腰三角形不光共腰，它们还共点，那是不是一定要满足共点这个条件那？模型四、如图，等腰AABC中，AB=AC,等腰aDEF中，DE=DF,图中AB与DE共线，那么剩余的

5、腰或底在图中没有交点，就需要我们找到剩余的腰或底所在直线，进而找到剩余腰与腰的夹角和剩余底与底的夹角，通过前面的方法可证NCPF=2NFQC,典型例题赏析例 1：如图，RtZABC 中，AB=AC, D、E分别是BC、AC边上一点，连接AD、DE,若NBAD=2NCDE,CD=4, AE=4&，求 AC 的长。例 1 解析：由 AB=AC 和NBAD=2NCDE,可得 AD=AE=4a，解AACD,可得AC=2+ 2好例2：如图，正方形ABCD,过点A作NEAF=90 ,两边分别交直线BC于点E,交线段CD于点F,G为AE中点，连接BG,过点G作BG的垂线交对角线AC于点H,连接HF,若CH=

6、3AH,请你探究例2解析：由BG是直角三角形ABE的斜边中线，得BG=AG,B由正方形 ABCD,得NBAC=45 ,题中已知NBGH=900 得NBGH=2NBAH,由模型二的变式可得GH=GB,为接下来固定图形起到了至关重要的作用，设 AH=k, CH=3k, BC=2，Ik,连接 BH,得 BH=k,由 AGBId 为等腰直角三角形，得 GB=GH=k, 2AE=2BG=V10k. AB=2/2 k,得 BE=VJk,由ADFgZXABE, DF=BE=k, AF=加k, CF=k,解CFH,得 FH=J5k,得 AF=J5FH.例3：如图，在菱形ABCD的对角线AC上取点E,连接BE,

7、使NBEC=60 ,在CD边上取点F,连接2条件不知如何使用。连接 DE, AABEAADE, NABE=NADE,由 DA=DC, ZCEF=- /ADE,得 DE=DF, 2设 EO=k,设=2k, DE=DF=2k DC=BC=2k+4, CO=16-k, 60=73 k,勾股BOC,得 k=5, AE=6.例4：在平面直角坐标系中，抛物线y = -/+以+ c与x轴正半轴交于点A,与y轴交于点B,直线AB的解析式为了 = 一工+ 3.（D求抛物线解析式：（2） P为线段0A上一点（不与0、A重合），过P作PQJ_x轴交抛物线于Q,连接AQ, M为AQ中 点，连接PM,过M作MNJ_PM

8、交直线AB于N,若点P的横坐标为t,点N的横坐标为n,求n与t例4解析：有已知可容易得(1)答案y = +2x + 3。(2) ZBAO=-Z2NMP, MA=MP,得 MN=MP,得aNAAPBHxc 一产+21 + 3)，由 M ViE 0作y轴的垂线，可得ANFM =0G_NF2122为等腰直角三角形,QMGP,设点 P过M作x轴的垂(t, 0 ) ,Q(t,3为 AQ 中点，MG=一一C +t + -,223M NF=MG= 一一一+/ + ，所以22P(3)共腰双等腰部分word(3) MN=MP=MQ,得NNQPn NMP=45 , ZNHQ=ZAHP=45 ,得NQNH=90 ,

9、得 EQLAB, 2MNAE,由M为AQ的中点，得N为EQ的中点，得AN垂直平分EQ,得AQ=AE, ZEAO=ZAEB-90=(45 +ZAEQ)-900 =ZAEQ-45 又; NAQP=NAQE-45, AZEAO=ZAQP, ZEOA=ZQPA=90C ,APQAOEA, AO=PQ=3,由 Q(t, -r+2r + 3) 得一产+ 2f + 3 = 3，6=。(舍)，2=2。强化训练习题1、如图：在ABC 中，AB=AC, D、E 分别是 BC、AC 边上一点，且 AD=AE, NBAD=68 ,求NCDE的度数.若NBDE=5O0,求NDAC的度数.代3、如图，在AABC中，线段B

10、C的垂直平分线交AB于点F BD、CD,若4ACD为等边三角形，EF=2,求BF的长.4、如图，在四边形ABDC中，连接AD、BC, AB=BC=BD, CD的长.45、如图，在菱形 ABCD 中，tanZDAB=-, AE=AB, AH3BG, BG=1O 求 BE 的长.E,垂足为E, D为EF上一点，连接AD、A ,NDAC的正切值为若AB=5,求DBE于点H,连接DE交AH于点G,连接D_ C/ /2、如图，在AABC中，ZABC=ZC, D、E分别在CB、AB的延长线上,连接AD、DE,且NE=NADE,AH6、如图，RtZSBC 中，ZB=90 , ZBAC=60，点 E 是 AC

11、 边的中点，D 为 BC 上一点，若 BA=BD, 求sin /ADE的值.7、已知，在AABC中，AC=BC, ZACB=90 , D是AC的中点，E为AC垂直平分线上的动点，连接CE,过E作EFJ_CE,垂足为E,射线EF交直线AB于F,若AC=4,四边形BCEF的面积为4.5时，A 求AF的长.从8、如图，在四边形 ABCD 中，连接 AC、BD, AC=AD=BC, ZABC=60 , AD=2, CD=26,求BD的长.9、如图，等边AABC中,D为直线BC下方一点,沿直线BD折叠得到点E,连接DE、AE,交射线DB于点F.(1)求证：ZAEC=30 ；(2)请你猜想AE、CE、BF

12、之间的数量关系，并证明你的结论.10、如图，在RtZABC中，ZACB=90 ,点0在AB边上，OB=OC,点D在OC的延长线上，连接 AD,点 E 在 AD 上,OE 交 AC 于点 F, OE=OC, ZABC=ZCAD+30 ,若 OF=4, DE=3,求 OD 的长.D答案：1、ZCDE=682、ZDAC=100Q3、BF=44、CD=7T0 5、BE=85/56、sin ZADE=- 27、AF=3点或 AF=58、 BD=89、(1)略：(2)-CE+BF=AE 310、OD=7共底双等腰接下来我们就一起研究一下两个共底的等腰三角形有什么特性及其应用。共底双等腰是指两个等腰三角形的

13、底在同一直线上，而剩余的腰不在同一直线上，那么两个等腰 三角形腰与腰的夹角等于两个等腰三角形剩余腰与腰的夹角。模型一、如图，AB=AC, BD=DE, (1)求证：ZABD=ZCDE： (2)延长 ED 交 AB 于 F,求证：ZBDC= NBFEc证明：(1) VAB=AC,，设NABC=NACB= a , VDB=DE,，设NDBE=NDEB= B ,其中两个等腰三角形的底BC与BE共线，那么腰AB与腰BD的夹角NABD=NABC-NDBE=a - B ,那么剩余的腰AC与剩余的腰DE的夹角NCDE=NACB-NDEB=。B , /. NABD=NCDE。(2) VAB=ACt 设NABC

14、=NACB=a , VDB=DE, 设NDBE=NDEB=B , 其中两个等腰三角形的底BC与BE共线，那么腰 AB 与腰 DE 的夹角NBFE=180 NABC-NDEB=180 -aB, 那么剩余的腰AC与剩余的腰BD的夹角NBDC=180 NACB-NDBE=180 AZBDC=ZBFE.模型一变式、如图，AB=AC, NABD=NCDE,求证：BD=DEO 如图，BD=DE, ZABD=ZCDE,求证：AB=ACo模型二、如图，点D为射线CA上一点，点E为BC上一点，AB交DE于F,若AB二AC, DB二DE,求证：(1) ZABD=ZCDE； (2) ZBDC=ZBFE,证明：(1)

15、 AB=AC,，设NABC=NACB=u , VDB=DE,，设NDBE=NDEB= B ,其中两个等腰三角形的底BC与BE共线，那么腰AB与腰BD的夹角NABD=NDBE -ZABC = B。，那么剩余的腰AC与剩余的腰DE的夹角ZCDE=ZDEB -ZACB=B -。，AZABD=ZCDEo(2) TAB=AC,工设NABC=NACB=。，VDB=DE. 设NDBE=NDEB= B ,其中两个等腰三角形的底BC与BE共线，那么腰 AB 与腰 DE 的夹角NBFE=1800 -ZABC-ZDEB=1800那么剩余的腰AC与剩余的腰BD的夹角NBDC=180 NACB/DBE=18(TAZBD

16、C=ZBFE.DDa/ jwo.模型二变式、如图，AB=AC, 如图，BD=DE, 如图,AB=AC, 如图,BD二DE,NABD=NCDE, ZABD=ZCDE, ZBDC=ZBFE, NBDONBFE,求证:BD=DE。 求证：AB二AC。 求证:BD=DEo 求证:AB=AC。模型三、如图，点D为射线CA上一点，点E为射线CB上一点，若AB=AC, DB=DE,求证：ZABD= ZCDEo证明：VAB=AC,，设NABC=/ACB=。，VDB=DE,，设NDBE=NDEB= B ,其中两个等腰三角形的底BC与BE共线，那么腰AB与腰DB的夹角NABD=18(T NABCNDBE=18(T

17、 -。邛，那么剩余的腰AC与剩余的腰DE的夹角NCDE=1800 -ZACB-ZDEB=180 -a-B,，ZABD=ZCDEO模型三思考：图中两个等腰三角形的底BC与BE共线，腰AC与腰腰DB的夹角为NBDC,那么剩余 的腰AB与剩余的腰DE在图中没有交点，就需要我们找到剩余的腰或底所在直线，进而找到剩余腰 与腰的夹角NAFD,通过前面的方法可证NBDC=/AFD,典型例题赏析例1：如图,等腰直角ABC, ZBAC=90CD二DE,求证：BE=72 AD.例1解析：BMC, CD二DE,由共底双等腰，得NBDE二NACD,过D作DFBC交AC于F,导角得 ZCFD=ZDBE=135G ,可得

18、CDFdEDB,，BE=DF,由 DF;&AD,，BE二&AD。例2：如图， ABC为等边三角形，D为AB上一点，点E为CD延长线上一点，CE=CB连接BE并 延长交CA的延长线于点F,若AD=3, CF=7,求CD的长.例2解析：题目中已经具备了等边三角形ABC和等腰三角形CBE,并且两个等腰三角形还是共腰的双 等腰，但是并不足以解决求CD的问题，所以我们在CF上取点G,连接BG,使得FG=BG,再构造出 一个等腰GFB,由CE=CB,形成共底双等腰，得NGBC=NFCE,再由题目中的等边三角形ABC,就 出现了我们非常熟悉的ACDg4BCG, AAD=CG=3, FG=CF-CG=7-3=

19、4,由ACDgZkBCG,， CD=BG=FG=4o例3：如图，在半00中，AB为直径，C在半。0上，且AC = BC,当AB=4时，连接AC.(1)求AC的长:(3)wordoo在BC上有一点D,当tan/。=,时，求AD的长: 3在（2）的条件下，C。上有一点E,过E作EF平行AC交AD于F,连接BE、BF,若BE=BF,例3解析：由已知条件，很容易求出（1） AC=2jW, （2） AD=?。（3）题目中己经具备等腰三角形BEF,延长EF交AB于P, .EFAC, .NEPB=NCAB=45 ,过E 作EMJ_AB于M,构造出第二个等腰三角形MEP,由共底双等腰得，ZBEM=ZFBP,过

20、F作FH_LAB 于 N, /.AEMBABNF,，FN=BM,设 BM=k,则 FN=k,由 tanNDAB=1,，AN=2k, BN=42k, A 2EM=4-2k, VBM=k, A0M=2-k,连接 OE, V ZEMO=90 , 在OEM 中，OE2 =OM2 + EM2 ,2? =（2-攵尸+（4-2攵尸，k = 1（）2 （取加号时，k2,月P0 N MB强化训练习题1、如图，等边AABC中，D是BC的中点，P为射线AD上一点, 的度数.，加号舍去），VtanZDAB=- A 2/右PM6共底双等腰部.若ABPA为等腰三角形，求NBPCA2、如图，等边AABC中，点D为射线BA上

21、一点, 线BF,交CD于点F,过点A作AH_LCD于H,当.word作DE=DC,交直线BC于 点E. NABC的平分ZEDC=30 , CF=4,求 DH 的D 长.戈BECD、 DE,若 CD二DE, BE:BC=1:2, CD= J10 ,求 BD 的长.A 4、如图，等腰AABC中，AB=AC,过A作AD_LAB交BC于D, 于 F,求证：EF=AB.FA 过D作DE_LAC于E,过B作BFLAC3、如图，等腰直角4ABC, NBAC=90 , AB=AC, D是射线BA上一点，E是直线BC上一点，连接5、如图、等腰ZABC, AB=AC, AD的垂线交AC延长线于F,幸6、如图，在4ABC 中，ZB=45AE=2DE,求 AC 的长.将线段AB绕点A逆时针旋转90。得线段AD,交BC于E,过