高等数学课件：2-2极限的概念

1、二二 、函数的极限、函数的极限一、数列的极限一、数列的极限 第二节极限的概念 第二二章 一一 、数列的极限、数列的极限1. 数列极限的定义数列极限的定义(1) 数列：数列：简记作简记作),(nfxn .nxnx称为称为通项通项(一般项一般项) .数列也称为整标函数数列也称为整标函数.自变量取正整数的函数自变量取正整数的函数,例如例如,1,43,32,21 nn1 nnxn,)1(,43,34,21,21nnn nnxnn1)1( ,2,8,4,2nnnx2 ,)1( ,1,1,11 n1)1( nnx例如例如, ,;1 nnxn数列数列.nnx2 数列数列有界有界无界无界有界性有界性满足条件满

2、足条件如果数列如果数列nx,121 nnxxxx单调增加单调增加,121 nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列单调性单调性设有数列设有数列,nx如果当如果当n无限增大时无限增大时, xn无限趋近于某个无限趋近于某个确定的常数确定的常数a ,的极限的极限, ,limaxnn 这时这时,也称数列也称数列 xn 收敛于收敛于a.否则否则, 称数列称数列 xn 发散发散.则称则称a为数列为数列 xn 记作记作).( naxn或或(2) 数列极限的定义数列极限的定义定义定义2.2例如例如,1,43,32,21 nn1 nnxn)(1 n,)1(,43,34,21,21nnn nnxnn1)1(

3、)(1 n,2,8,4,2nnnx2 )( n,)1( ,1,1,11 n1)1( nnx趋势不定趋势不定收收 敛敛发发 散散“无限增大无限增大”，“无限接近无限接近”意味着什意味着什么么?如何用数学语言如何用数学语言定量地定量地刻划它？刻划它？a接近接近b的程度用绝对值：的程度用绝对值：ab 表示表示. 1)1(1,1无无限限接接近近于于无无限限增增大大时时当当nxnnn 问题问题:定义定义2.3若数列若数列nx及常数及常数 a 有下列关系有下列关系 :,0 ,N正整数正整数 当当 n N 时时, 总有总有记作记作此时也称数列此时也称数列收敛收敛 , 否则称数列否则称数列发散发散.axnn

4、lim或或)( naxn则称该数列则称该数列 xn 的极限为的极限为 a ,axn :)(定义定义数列极限的数列极限的N 3N 由由所确定，故记所确定，故记但不唯一但不唯一. 4不能与不能与n 有关有关.给给定定的的；时时又又看看成成是是任任意意的的，但但是是在在确确定定 N02 5数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.注注的的无无限限接接近近；与与刻刻划划了了不不等等式式axaxnn 1( ),NN ( ),NN 一般来说，一般来说， 越小，越小， N 越大越大;(3) 几何解释几何解释axnn lim axn axan),( aaxn),( aU使使,0,0 N

5、 Nn 时，时， axn恒有恒有.,.,),(21Nxxxaa至至多多只只有有有有限限项项：外外在在 .的前有限项无关的前有限项无关是否收敛与是否收敛与nnxx注注例例1 已知已知,)1(nnxnn 证明数列证明数列 nx的极限为的极限为1. 证证 1nx1)1( nnnn1 ,0 要使要使,1xn 即即,1n 只要只要n1 因此因此 , 取取, 1N 则当则当Nn 时时, 就有就有nnn 1)1(故故. 1)1(limlim nnxnnnnN是正整数是正整数,所以要取整所以要取整.lim),(CxCCxnnn 证明证明为常数为常数设设证证Cxn CC ,成立成立 , 0 所以所以0 ,n对于

6、一切自然数对于一切自然数.limCxnn 结论结论: 常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.例例2.0lim1 nnqq，证证明明设设证证,0 nnqx,lnln qn,时时则则当当Nn ,0 nq就就有有. 0lim nnq, 0 q若若;00limlim nnnq则则, 10 q若若(1)(2),0lnlnln qqn（ ,lnlnqN 取取, 0 要使要使即即只要只要例例3例例4证证. 11lim nnn试试证证分析分析1111 nnn要要使使, .1即即可可n .1 N取取, 0 时时，就就有有则则当当Nn 111nnxn11 n, N不唯一不唯一,证明证明时可以适当放时可

7、以适当放大大n1 故得证故得证.，取取 1N也可由也可由 111nxn取取 11 N注注 将将0 nx适当放大的目的，是为了适当放大的目的，是为了易于求易于求 N. 放大时，应该注意放大时，应该注意适当适当 ！小结小结: : 用定义证明数列极限存在时用定义证明数列极限存在时, 关键是任意关键是任意给定给定 0, 寻找寻找 N, 但不必求最小的但不必求最小的N.证明：证明：02cos1lim nnn证证21nnxncos nnnnnxn1210210 coscos, 0 要使要使 0nx只要只要， n1即即1 n，取取 1N则当则当 n N 时，时， 有有， n1从而从而 nxn101limco

8、s0.2nnn 例例5思考思考:对于对于例例5, 下列推导是否正确：下列推导是否正确：, 0 要使要使 0nx210nnxncos 只要只要 21nncos 2cosnn 即即故取故取,cos2 nN N 不能与不能与 n 有关！有关！子数列子数列 的子数列（或子列）的子数列（或子列）的一个数列称为原数列的一个数列称为原数列到到中的先后次序，这样得中的先后次序，这样得这些项在原数列这些项在原数列保持保持中任意抽取无限多项并中任意抽取无限多项并定义：在数列定义：在数列nnnxxx,21nixxxx,21knnnxxx例如，例如，(4) (4) 数列极限的性质数列极限的性质定理定理1 1 以下三个

9、命题等价以下三个命题等价 ；收敛于收敛于）数列）数列（Lan1;Laaknn都收敛于都收敛于的任一子列的任一子列）数列）数列（2；都收敛于都收敛于和和）子数列）子数列（Laann1223 有一子列发散的数列必发散有一子列发散的数列必发散或两个子列都收敛但收敛于不同或两个子列都收敛但收敛于不同值的数列也发散，例值的数列也发散，例)1(n 定理定理2 2 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .证证,limaxnn 设设由定义由定义, , 1 取取,1 axNnNn时恒有时恒有使得当使得当则则. 11 axan即有即有,max111 aaxxMN记记,Mxnn 皆有皆有则对一切自然数则对一切自然

10、数 .有界有界故故nx注意注意 有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件. .推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .)1(n 收敛收敛 有界有界nxnx对对( ),yf x 0)1(xx 0)2(xx 0)3(xx x)4(x)5(x)6(自变量的变化过程有自变量的变化过程有六种六种形式形式:二、函数的极限二、函数的极限1. x 时函数时函数 f (x)的极限的极限(1) 定义定义2.3 设函数设函数)(xf当当Mx (M为某一正数）为某一正数）时有定义时有定义 ,如果存在常数如果存在常数 A , ,0 X当当Xx 时时, 有有Axf )(则称常数则称常数 A 为函数为函

11、数当当 x时的极限时的极限,Axfx )(lim)()( xAxf当当或或记作记作,0 )(xfXX AA oxyA,0 X当当Xx 时时, 有有Axf )(：Axfx )(limAxfA )(XxXx 或或,0 )(xfy (2) 几何解释几何解释注注Axfx )(lim,0 ,0 X当当Xx 时时, 有有Axf )(Axfx )(lim,0 ,0 X当当Xx 时时, 有有Axf )(1时函数时函数 f(x) 的极限：的极限：xx及及 Axfx)(lim.)(lim)(limAxfAxfxx 且且定理定理2或或则称直线则称直线 y = A为曲线为曲线 y = f (x) 的水平渐近线的水平渐

12、近线.如果如果Axfx )(limAxfx )(lim()(limAxfx xxgxxf 11)(,1)(例如，例如，都有水平渐近线都有水平渐近线;0 yx1x 11oyx都有水平渐近线都有水平渐近线. 1 y又如，又如，oxyxxf 21)(xxg21)( x 21x21 xxfarctan)( 再如，再如，oxy2 2 都有水平渐近线都有水平渐近线.2 y例例6 证明证明. 01lim xx证证010)( xxfx1 取取,1X ,时时当当Xx x 01因此因此01lim xx注注就有就有故故,0 欲使欲使,01x 即即,1x oxyxy1 为为的的水水平平渐渐近近线线10.yyx2. x

13、 x0时函数时函数 f (x)的极限的极限(1)0 xx 时函数极限的定义时函数极限的定义定义定义2.4 设函数设函数)(xf在点在点0 x的某去心邻域的某去心邻域,0 ,0 xx 00,)(Axf 则称常数则称常数 A 为函数为函数)(xf当当0 xx 时的极限时的极限,Axfxx )(lim0或或).()(0 xxAxf当当当当),(0 xNx 时时, 总有总有内有定义内有定义. 如果有常数如果有常数 A,记作记作),(xN0几何解释几何解释:Axfxx )(lim0在在点点是是否否存存在在，与与极极限限)()(lim30 xfxfxx的的值值为为多多少少无无关关；是是否否有有定定义义以以

14、及及)(00 xfx.),()()(lim400内内有有定定义义在在某某的的前前提提：rxNxfAxfxx 注注无无关关，不不唯唯一一；有有关关，但但与与与与x 2给定的；给定的；时又看成是时又看成是是任意的，在确定是任意的，在确定 01 )()(12 xxxf如如：.)(lim), 0()(00不不存存在在处处处处有有定定义义，所所以以内内不不可可能能在在任任何何是是孤孤立立点点，xfNxfxx xO1例例7 证明证明211lim21 xxx证证Axf )(2112 xx21 x,0 故取故取, 当当x 10时时 , 必有必有xx 2112因此因此. 211lim21 xxx1 x)1( x

15、，要使要使 Axf)(11 xx且且只要只要 .lim00 xxxx 证证0)(xxAxf , 0 ,min00 xx 故故取取00 xxxx ,)( Axf要要使使,00 xxx 0000 xxxxxx 且且即即 .lim,0:000 xxxxx 时时当当证明证明只要只要000 xxxx且且 ,0 xx就就有有,00时时则则当当 xx例例8左左极限极限 : )(0 xfAxfxx )(lim0,0 ,0 有有.)(Axf 极限存在的充要条件极限存在的充要条件: :(2) 单侧极限单侧极限Axfxx )(lim0Axfxfxxxx )(lim)(lim00当当),(00 xxx 时时,右右 )

16、(0 xfAxfxx )(lim0),(00 xxx例例9 设函数设函数 0,10,00,1)(xxxxxxf讨论讨论 0 x时时)(xf的极限是否存在的极限是否存在 . xyo11 xy11 xy解解因为因为)(lim0 xfx )1(lim0 xx1 )(lim0 xfx )1(lim0 xx1 , )0()0( ff所以所以)(lim0 xfx不存在不存在.内容小结内容小结1. 数列极限的数列极限的 “ N ” 定义及应定义及应用用2. 函数极限的函数极限的”“ 或或”“X 定义及应用定义及应用思考与练习思考与练习1. 若极限若极限)(lim0 xfxx存在存在,)()(lim00 xf

17、xfxx 2. 设函数设函数 )(xf且且)(lim1xfx存在存在, 则则. a3是否一定有是否一定有1,121,2 xxxxa3. 左、右极限定义及左、右极限相等的等价条件左、右极限定义及左、右极限相等的等价条件故故. 0)1()1(limlim2 nxnnnn时时, ,0 xn 例例4-1已知已知,)1()1(2 nxnn证明证明.0lim nnx证证 0nx0)1()1(2 nn2)1(1 nnn111 , 0 要使要使,0 xn 只要只要,1 n即即 n取取, 1 N则当则当Nn .1 N不唯一不唯一,证明时证明时可以适当放大可以适当放大 也可由也可由 2) 1(10nxn取取 11

18、 N有有例例5-1证证. 1lim1 nnaa时时，证证明明当当注意到注意到. 1 na, 0 为了使为了使 1na. 1 na, 01 nna 令令于是于是 a =nn)1( nnnn 1nnnn 1nan 因此因此,an , aN取取则当则当n N 时时,有有, n nna 1na . . 1lim nna即即只要使只要使设设且且求求证证0,lim0,lim.nnnnnxxaxa 证证任任给给0, 故故 lim.nnxa ,limaxnn 使使得得当当时时恒恒有有1,nNnNxa从从而而有有nnnxaxaxa aaxn a1 例例5-2xxysin .0sinlim xxx证证明明证证xx

19、xxsin0sin x1 , ,1x 解解得得, 0 ,1X 取取时时恒恒有有则则当当Xx ,0sin xx. 0sinlim xxx故故例例6-1例例6-2证证.2121lim33 xxx用用定定义义证证明明 X故故取取 212133xx要要使使321 x只只要要, 0 ,213 时时，则则当当Xx ,212133 xx便便有有.2121lim33 xxx即即321x, 例例8证证.lim00 xxxx 证证明明：. 只只要要取取时时，则则当当xx 000)(xxAxf 便便有有.lim00 xxx 即即分析分析0)(xxAxf 要要使使, 0, 0 取取, , 例例9-1 证明证明1)12(lim1 xx证证Axf )(1)12( x12 x要使要使