离散型随机变量课件

1、第二章第二章随机变量及其分布随机变量及其分布一、随机变量概念的产生一、随机变量概念的产生 在实际问题中，随机试验的结果可以用数在实际问题中，随机试验的结果可以用数 1 1 随机变量随机变量量来表示，由此就产生了随机变量的概念量来表示，由此就产生了随机变量的概念. 1、有些试验结果本身与数量有关、有些试验结果本身与数量有关. 例如，掷一颗骰子面上出现的点数例如，掷一颗骰子面上出现的点数,2、有些看似与数量无关的试验，其结果可通过、有些看似与数量无关的试验，其结果可通过例如例如, 掷一颗均匀硬币掷一颗均匀硬币,数量化数量化用数量表示用数量表示. , 6 , 1,iiei点朝上基本事件为基本事件为,

2、61ee 样本空间样本空间对每一对每一 e = ei , 有一数有一数 X=X(ei)=i 与之对应与之对应 . 基本事件为基本事件为 e1=正面朝上正面朝上, e2=反面朝上反面朝上, 若引入若引入, 0, 1)(21 eeeeeXX则对每一则对每一 e ,有一数有一数 X=X(e)与之对应与之对应 . e.X(e)R 说明随机试验的结果一般可用一数说明随机试验的结果一般可用一数 X 表示表示, 定义定义: 设设 为试验为试验 E 的样本空间的样本空间, 若对若对 中中且此数随结果的不同而变化且此数随结果的不同而变化(即在基本事件即在基本事件 e 与与实数间建立了一种对应关系实数间建立了一种

3、对应关系), 其取值带有随机其取值带有随机性性, 很自然地叫它为随机变量很自然地叫它为随机变量, 它是基本事件它是基本事件 e 的函数的函数.的任一基本事件的任一基本事件 e , 都有惟一的实数都有惟一的实数 X(e) 与之对与之对应应, 则称则称X(e) 为为随机变量随机变量, 简记为简记为 X .(1) 随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母 X, Y, Z 或希腊或希腊注注:（2）随机变量定义在）随机变量定义在 上上, 是基本事件是基本事件 e 的函的函字母字母,等表示等表示; 然然 而表示随机变量所取的值而表示随机变量所取的值(即实数即实数)时时,一般一般采用小写字母采用小写字母

4、 x, y, z 等等. 数数(它随试验结果的不同而取不同的值它随试验结果的不同而取不同的值); 由于由于 e的出现是随机的的出现是随机的, 因而因而 X(e) 的取值也是随机的的取值也是随机的,在在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值肯定它将取哪个值, 但一旦结果出现但一旦结果出现, 则则 X(e) 的的值随之而定值随之而定; 由于试验结果的出现具有一定的概由于试验结果的出现具有一定的概率，于是随机变量的取值也有一定的概率率，于是随机变量的取值也有一定的概率. 例如，从某一学校随机选一学生，例如，从某一学校随机选一学生，的身高看

5、作随机变量的身高看作随机变量 X, 然后我们然后我们 测量他的身高测量他的身高. 我们可以把可能我们可以把可能可以提出关于可以提出关于 X 的各种问题的各种问题.?7 . 1 XP如如?5 . 1 XP?7 . 15 . 1 XP 一旦我们实际选定了一个学生并量了他的身高一旦我们实际选定了一个学生并量了他的身高之后，我们就得到之后，我们就得到 X 的一个具体的值，记作的一个具体的值，记作 x.这时这时,要么要么就没有什么意义了就没有什么意义了., 7 . 1 x要么要么 x 1.7米，再去求米，再去求7 . 1 xP 有了随机变量有了随机变量, 随机试验中的各种随机试验中的各种事件事件，就可以

6、，就可以二、引入随机变量的意义二、引入随机变量的意义单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数通过随机变量的关系式表达出来通过随机变量的关系式表达出来.用用 X 表示，它是一个随机变量表示，它是一个随机变量; 则事件则事件收到不少于收到不少于1次呼叫次呼叫,1 X没有收到呼叫没有收到呼叫.0 X如如:再如再如: 某一天某一天10点的温度用点的温度用 T 表示表示, 它是一个随机变量；则事件它是一个随机变量；则事件温度在温度在8到到15度之间度之间,158 T 可见，随机事件这个概念实际上是包含在随机可见，随机事件这个概念实际上是包含在随机变量这个更广的概念内变量这

7、个更广的概念内. 也可以说，也可以说，随机事件是从随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点动态的观点. 随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件事件. 引入随机变量后，对随机现象统计规律的研引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就从对究，就从对事件及事件概率事件及事件概率的研究扩大为对的研究扩大为对随机变随机变量及其取值规律量及其取值规律的研究的研究. 解：解：分析分析例例: 一报童卖报，每份一报童卖报，每份0.15元，其成本为元，其成本为0.10元元. 当当 0.15 X10

8、00 0.1时，报童赔钱时，报童赔钱, 报馆每天给报童报馆每天给报童1000份报，并规定他不得把卖不份报，并规定他不得把卖不出的报纸退回出的报纸退回. 设设 X 为报童每天卖出的报纸份数，为报童每天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.报童赔钱报童赔钱 =卖出的报纸钱不够成本卖出的报纸钱不够成本,故故 报童赔钱报童赔钱 = X 20=PX=30+PX=40=0.6的概率的概率.租一辆汽车，可从出租公司得到租一辆汽车，可从出租公司得到3元元. 因代营业务，因代营业务，每天加油站要多付给职工服务费每天加油站要多付给职工服务费60元元.

9、 设每天出租设每天出租汽汽车数车数 X是一个随机变量，它的概率分布如下：是一个随机变量，它的概率分布如下： 若离散型随机变量若离散型随机变量 X 的分布律为的分布律为 则称则称 X 服从服从 0-1 分布或两点分布分布或两点分布.二、几个常见的离散型随机变量的分布二、几个常见的离散型随机变量的分布XP0 1 p 1p, (0 p xX x注意注意 X是随机变量是随机变量, x 是普通变量是普通变量.F(x) 就是随机变量就是随机变量 X 取值不大于取值不大于 x 的概率的概率. 只要知道随机变量只要知道随机变量 X 的分布函数，的分布函数， 它的统计它的统计规律性就可以得到完整的描述；与规律性

10、就可以得到完整的描述；与 X 有关的所有有关的所有事件的概率都可以分布函数的函数值表示出来。事件的概率都可以分布函数的函数值表示出来。bXaP aXPbXP ),()(aFbF ),(11aFaXPaXP bXaP .)()0(等等aFbF 分布函数是一个普通的函数，正是通过它，分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用微积分等工具来研究我们可以用微积分等工具来研究 随机变量随机变量.对离散型对离散型 随机变量随机变量, 若其分布律为若其分布律为 P X= xk = pk , k =1,2,3,)( xxkkpxXPxF则则其图形是一条阶梯形的曲线其图形是一条阶梯形的曲线, 在在 x =

11、 xk 处有跳跃处有跳跃;其函数形式较复杂其函数形式较复杂, 虽可通过它来描述随机变量虽可通过它来描述随机变量的统计规律的统计规律, 但以分布律清晰但以分布律清晰.X 的分布律为的分布律为例例, 求求 X 的分布函数的分布函数.解解:XP0 1 21/3 1/6 1/2, )(xXPxF 当当 x 0时时, , xX 故故; 0)( xF,10时时当当 x;3/10)( XPxF,21时时当当 x;2/110)( XPXPxF,2 时时当当 x; 1210)( XPXPXPxF故故 2, 121, 2/110, 3/10, 0)(xxxxxF三、分布函数的性质三、分布函数的性质(1) F(x) 非降，即若非降，即若 x1 x2，则，则)()(21xFxF , 0)(lim)()2( xFFx1)(lim)( xFFx(3) F(x) 右连续，即右连续，即)()0(xFxF 解解: 从中解得从中解得./